میانگین همساز — به زبان ساده

یکی از انواع میانگین‌، «میانگین همساز» (Harmonic Mean) است که به میانگین توافقی نیز معروف است. زمانی که مقادیر از نوع نرخ یا نسبت باشند، از این نوع میانگین برای محاسبه متوسط داده‌‌ها استفاده می‌شود. برای مثال چنانچه مقادیر از نوع سرعت (تغییر مکان در زمان) یا نرخ رشد (تغییر مقدار در زمان) باشند میانگین همساز برای محاسبه متوسط داده‌ها به کار می‌رود. میانگین همساز با نماد H نمایش داده می‌شود.

نحوه محاسبه میانگین همساز

اگر n مشاهده به صورت a₁,a₂,a₃...,a_n باشند، برای محاسبه‌ میانگین همساز، از رابطه‌ زیر کمک گرفته می‌شود:

$$H=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\cdots+\frac{1}{a_n}}$$

فیلم آموزش مبانی آنالیز ریاضی – مرور و حل تست کنکور ارشد – بخش دوم در فرادرس

کلیک کنید

در نگاه اول ممکن است که این فرمول کمی پیچیده به نظر برسد ولی برای محاسبه آن کافی است که مراحل زیر را طی کنید:

1. همه مقادیر را معکوس کنید.
2. مقادیر معکوس را جمع کنید.
3. تعداد مشاهدات را تقسیم بر جمع بدست آمده در مرحله‌ ۲ کنید.

برای محاسبه میانگین همساز مقادیر 1،5،8،10 بر اساس مراحلی که در بالا گفته شد، به صورت زیر عمل می‌کنیم:

$$H= \frac{4}{(\frac{1}{10}+\frac{1}{8}+\frac{1}{5}+\frac{1}{1})}=2.81$$

برای درک بهتر و مقایسه میانگین همساز با میانگین حسابی به مثال زیر توجه کنید.

مثال اول

فرض کنید دوچرخه سواری مسافتی 200 کیلومتری را با سرعت‌های مختلف طی کرده‌ است. او 100 کیلومتر از مسافت را با سرعت 25 کیلومتر و مابقی را با سرعت 50 کیلومتر بر ساعت رکاب زده است. در نتیجه زمان طی کردن مسافت در قسمت اول 4 ساعت ($$\frac{100}{25}$$) و برای قسمت دوم نیز 2 ساعت ($$\frac{100}{50}$$) خواهد بود. از آنجایی که مسافت 200 کیلومتری در ۶ ساعت طی شده است، متوسط سرعت او برابر با 33.3 کیلومتر بر ساعت ($$\frac{200}{6}$$) خواهد بود. همچنین اگر از میانگین همساز برای متوسط سرعت دوچرخه سوار استفاده کنیم، خواهیم داشت:

$$H= \frac{2}{(\frac{1}{25}+\frac{1}{50})}=33.3$$

در حالیکه اگر متوسط سرعت را به کمک میانگین حسابی به دست می‌آوردیم، مقدار به صورت زیر محاسبه می‌شد:

$$Mean =\frac{( 25 + 50)}{2} = 37.5$$

تفاوت این دو میانگین در شیوه‌ نگاه به مسئله است. زمانی که از میانگین همساز استفاده شود،  مبنا، میزان فاصله طی شده در طول زمان است که مفهوم سرعت را نشان می‌دهد، در حالیکه در میانگین حسابی، متوسط سرعت‌ها بدون در نظر گرفتن مسافت یا زمان صرف شده در نظر گرفته شده است.

مثال دوم

اگر در یک مدار الکتریکی از دو مقاو‌مت با ظرفیت ۴۰ و ۶۰ اهم به صورت موازی استفاده شده باشد، می‌توان آن‌ها را با یک مقاومت با ظرفیت 24 اهم جایگزین کرد. که نصف میانگین همساز دو مقاومت است.

$$H= \frac{2}{(\frac{1}{40}+\frac{1}{60})}=48$$

همانطور که در مثال‌ها دیده شد، میانگین همساز از میانگین حسابی کمتر است که البته می‌توان ثابت کرد این موضوع همیشه برقرار است. ولی اگر همه مقدارها یکسان باشند، میانگین همساز با میانگین حسابی نیز برابر خواهد بود.

نکته: میانگین همساز فقط برای اعداد مثبت قابل محاسبه است.

فیلم آموزش مبانی آنالیز ریاضی – مرور و حل تست کنکور ارشد – بخش دوم در فرادرس

کلیک کنید

اگر مطلب بالا برای شما مفید بوده است، احتمالاً آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز برایتان کاربردی خواهند بود.

• مجموعه آموزش های SPSS
• مجموعه آموزش های Minitab
• میانگین هندسی --- به زبان ساده
• مجموعه آموزش‌های نرم‌افزارهای آماری
• مجموعه آموزش‌های علوم اقتصاد و مالی
• آموزش آمار و احتمال مهندسی
• روش یافتن میانگین – به زبان ساده

^^