مشتق قدر مطلق — به زبان ساده

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با مفهوم قدر مطلق آشنا شدیم. همچنین، در مطلبی به معادلات و نامعادلات قدر مطلق پرداختیم. در این آموزش یاد می‌گیریم که چگونه مشتق قدر مطلق را محاسبه کنیم.

فرمول مشتق قدر مطلق

تابع $$ | f ( x ) | $$ را به عنوان قدر مطلق تابع $$ f ( x ) $$ در نظر بگیرید. فرمول مشتق $$ |f(x)| $$ (برای $$f(x)\neq 0$$) به صورت زیر است:‌

$$ \large | f ( x )| ^\prime = \frac { f ( x)} { |f (x)| } f' ( x ) $$

فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

در واقع، با یک نمادگذاری دیگر می‌توان چنین گفت که اگر $$ u $$ تابعی مشتق‌پذیر از $$ x $$ باشد. آنگاه، برای $$ u \neq 0 $$ داریم:

$$ \large \dfrac d { d x } | u | = \dfrac u { | u| } \dfrac {d u} { d x } $$

در $$ u = 0 $$، تابع $$ | u | $$ مشتق‌پذیر نیست.

مشتق قدر مطلق x

طبق فرمولی که در بالا ارائه کردیم، مشتق قدر مطلق $$ x $$ برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
| x | ^ { \prime } & = \frac { x } { | x | } \cdot ( x ) ^ { \prime } \\
| x | ^ { \prime } & = \frac { x } { | x | } \cdot ( 1 ) \\
| x | ^ { \prime } & = \frac { x } { |x| }
\end{align*} $$

توجه کنید که تابع $$ y  = |x|' = \frac { x } { | x | } $$ در $$ x = 0 $$ تعریف نشده است، زیرا مخرج آن را صفر می‌کند. برای رسم نمودار $$ y = |x|' $$ می‌توانیم به ازای چند مقدار $$ x $$، مقدار $$ y $$ متناظر را به دست آوریم و از روی آن نمودار را رسم کنیم.

اکنون، براساس جدول بالا می‌توانیم نمودار مشتق $$ |x| $$ را رسم کنیم که شکل آن به صورت زیر است.

اثبات فرمول مشتق قدر مطلق x

با توجه به تساوی $$ | x | = \sqrt { x ^ 2 } $$، خواهیم داشت:

$$ \begin {align*}
\frac {d}{ d x } & = \frac { d } { d x } \sqrt { x ^ 2 } = \frac { d } { d x } (x ^ 2 ) ^ \frac 12 \\
& = \frac 12 (x^ 2 ) ^ {-\frac 12} \cdot 2 x = \frac { x } { \sqrt {x^2 }} = \frac { x } { |x|}
\end {align*} $$

فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

اکنون مشتق را در $$ x = 0 $$ بررسی می‌کنیم. طبق تعریف مشتق، داریم:

$$ \large \begin {align*} \dfrac { d | x | } { x} \Bigg \vert _{ x = 0 } & = \lim _{x \to 0 } \frac { | x | - 0 } { x - 0 } \\
& = \begin {cases} \lim _ { x \to 0 ^ + } \dfrac x x & : x > 0 \\ \lim _ { x \to 0 ^ - } \dfrac { - x } x & : x < 0 \end {cases}
\\ & = \begin {cases} 1 & : x > 0 \\ -1 & : x < 0 \end{cases}
\end {align*} $$

می‌بینیم که حدهای چپ و راست در $$ x = 0 $$ برابر نیستند و تابع در این نقطه مشتق‌پذیر نیست.

در صورت علاقه به یادگیری روش‌های تعیین مشتق توابع مختلف، مطالعه مطلب «فرمول‌های مشتق مهم + سوال با جواب و دانلود PDF» را به شما پیشنهاد می‌کنیم.

مثال‌های محاسبه مشتق قدر مطلق

در این بخش، مثال‌های متنوعی را از محاسبه مشتق توابع قدر مطلق حل می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱: مشتق $$ | 2 x + 1 | $$ را نسبت به $$ x $$ به دست آورید.

حل: با استفاده از فرمول مشتق تابع قدر مطلق، داریم:

$$ \large \begin {align*}
| 2 x + 1 | ^ { \prime } & = \frac { ( 2 x + 1 ) } { | 2 x + 1 | } \cdot ( 2 x + 1 ) ^ { \prime } \\
| 2 x + 1 | ^ { \prime } & = \frac { ( 2 x + 1 ) } { | 2 x + 1 | } \cdot 2 \\
| 2 x + 1 | ^ { \prime } & = \frac { 2 ( 2 x + 1 ) } { | 2 x + 1 | }
\end{align*} $$

مثال ۲: مشتق تابع $$ | x ^ 3 + 1 | $$ را نسبت به $$ x $$ پیدا کنید.

حل: با استفاده از فرمول مشتق تابع قدر مطلق، می‌توان نوشت:

$$ \large \begin {align*}
\left | x ^ { 3 } + 1 \right | ^ { \prime } & = \frac { \left ( x ^ { 3 } + 1 \right ) } { \left| x ^ { 3 } + 1 \right| } \cdot \left ( x ^ { 3 } + 1 \right ) ^ { \prime } \\
\left | x ^ { 3 } + 1 \right | ^ { \prime } & = \frac { \left ( x ^ { 3 } + 1 \right ) } { \left | x ^ { 3 } + 1 \right | } \cdot 3 x ^ { 2 } \\
\left | x ^ { 3 } + 1 \right | ^ { \prime } & = \frac { 3 x ^ { 2 } \left ( x ^ { 3 } + 1 \right) } { \left | x ^ { 3 } + 1 \right |
} \end{align*} $$

مثال ۳: مشتق $$ | x | ^ 3 $$ را نسبت به $$ x $$ بیابید.

حل: از رابطه $$ (u^3)' = 3 u^2u' $$ استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:

$$ \large
\begin {aligned}
\left ( | x | ^ { 3 } \right ) ^ { \prime } & = \left \{ 3 | x | ^ { 2 } \right \} \cdot \frac { x} { | x | } \cdot ( x) ^ { \prime } \\
\left ( | x | ^ { 3 } \right ) ^ { \prime } & = \left \{ 3 | x | ^ { 2 } \right \} \cdot \frac { x } { | x | } \cdot ( 1 ) \\
\left ( | x | ^ { 3 } \right ) ^ { \prime } & = 3 x | x |
\end{aligned} $$

مثال ۴: مشتق $$ | 2 x - 5 | $$ را نسبت به $$ x $$ به دست آورید.

حل: با استفاده از فرمول مشتق قدر مطلق جواب به دست می‌آید:‌

$$ \large \begin {align*}
| 2 x - 5 | ^ { \prime } & = \frac { ( 2 x - 5 ) } { | 2 x - 5 | } \cdot ( 2 x - 5 ) ^ { \prime } \\
|2 x - 5 | ^ { \prime } & = \frac { ( 2 x - 5 ) } { | 2 x - 5 | } \cdot 2 \\
| 2 x - 5 | ^ { \prime } & = \frac { 2 ( 2 x - 5 ) } { | 2 x - 5 | }
\end{align*} $$

مثال ۵: مشتق $$ ( x - 2 ) ^ 2 + | x - 2 | $$ را نسبت به $$ x $$ محاسبه کنید.

حل: با استفاده از فرمول مشتق قدر مطلق می‌توان نوشت:

$$ \large
\begin {align*}
\left \{ ( x - 2 ) ^ { 2 } + | x - 2 | \right \} ^ { \prime } & = \left[ ( x - 2 ) ^ { 2 } \right ] ^ { \prime } + | x - 2 | ^ { \prime } \\
\left \{ ( x - 2 ) ^ { 2 } + | x - 2 | \right \} ^ { \prime } & = 2 ( x - 2 ) + \frac { ( x - 2 ) } { | x - 2 | } \cdot ( x - 2 ) ^ { \prime } \\
\left \{ ( x - 2 ) ^ { 2 } + | x - 2 | \right \} ^ { \prime } & = 2 ( x - 2 ) + \frac { ( x - 2 ) } { | x - 2 | } \cdot ( 1 ) \\
\left \{ ( x - 2 ) ^ { 2 } + | x - 2 | \right \} ^ { \prime } & = 2 ( x - 2 ) +\frac { x - 2 } { | x - 2 | }
\end{align*} $$

مثال ۶: مشتق $$ 3 | 5 x + 7 | $$ را نسبت به $$ x $$ محاسبه کنید.

حل: با استفاده از فرمول مشتق قدر مطلق جواب به راحتی به دست می‌آید:

$$ \large \begin {align*}
3 | 5 x + 7 | ^ { \prime } & = 3 \cdot \frac { ( 5 x + 7 ) } { | 5 x + 7 | } \cdot ( 5 x + 7 ) ^ { \prime } \\
3 | 5 x + 7 | ^ { \prime } & = 3 \cdot \frac { ( 5 x + 7 ) } { | 5 x + 7 | } \cdot 5 \\
3 | 5 x + 7 | ^ { \prime } & = \frac { 1 5 ( 5 x + 1 )} { | 5 x + 7 | }
\end {align*} $$

مثال ۷: مشتق  $$ | \sin x | $$ را نسبت به $$ x $$ محاسبه کنید.

حل: با استفاده از فرمول مشتق قدر مطلق داریم:

$$ \large \begin {align*}
| \sin x | ^ { \prime } & = \frac { \sin x } { | \sin x | } \cdot ( \sin x ) ^ { \prime } \\
| \sin x | ^ { \prime } & = \frac { \sin x } { | \sin x | } \cdot \cos x \\
| \sin x | ^ { \prime} & = \frac { ( \sin x \cdot \cos x ) } { | \sin x | }
\end{align*} $$

مثال ۸: مشتق $$ | \cos x | $$ را نسبت به $$ x $$ محاسبه کنید.

حل: با استفاده از فرمول مشتق قدر مطلق، داریم:

$$ \large \begin {align*}
| \cos x | ^ { \prime } & = \frac { \cos x } { | \cos x | } \cdot ( \cos x ) ^ { \prime } \\
| \cos x | ^ { \prime } & = \frac { \cos x } { | \cos x | } \cdot(-\sin x ) \\
| \cos x | ^ { \prime } & = \frac { - ( \sin x \cdot \cos x ) } { | \cos x | }
\end{align*} $$

مثال ۹: مشتق تابع $$ | \tan x | $$ را به دست آورید.

حل: با استفاده از فرمول بالا، به راحتی داریم:

$$ \large \begin {align*}
| \tan x | ^ { \prime } & = \frac { \tan x } { | \tan x | } \cdot ( \tan x ) ^ { \prime } \\
| \tan x | ^ { \prime } & = \frac { \tan x } { | \tan x | } \cdot \sec ^ { 2 } x \\
| \tan x | ^ { \prime } & = \frac { \sec ^ { 2 } x \cdot \tan x } { | \tan x | }
\end{align*} $$

مثال ۱۰: مشتق تابع $$ | \sin x + \cos  x | $$ را نسبت به $$ x $$ محاسبه کنید.

حل: با استفاده از فرمول بالا، داریم:

$$ \large \begin {align*}
| \sin x + \cos x | ^ { \prime } & = \frac { ( \sin x + \cos x ) } { | \sin x + \cos x | } \cdot ( \sin x + \cos x ) ^ { \prime } \\
| \sin x + \cos x | ^ { \prime } & = \frac { ( \cos x + \sin x ) } { | \sin x+\cos x | } \cdot ( \cos x - \sin x ) \\
| \sin x + \cos x | ^ { \prime } & = \frac {\left ( \cos ^ { 2 } x - \sin ^ { 2 } x \right ) } { | \sin x + \cos x | } \\
| \sin x + \cos x | ^ { \prime } & = \frac { \cos 2 x } { | \sin x + \cos x | }
\end {align*} $$