دترمینان یک ماتریس و محاسبه آن — به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)

دترمینان ماتریسی ۲ در ۲ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} \\ det A = ad - bc$$

در نتیجه، دترمینان ماتریس $$\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} \\ det \ A = ad - bc$$ برابر است با:

$$det \ A = ( 2 \times 5 ) - ((-3) \times 4) = 22$$

معکوس ماتریس ۲ در ۲ به صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} \Rightarrow A ^ { -1 } = \frac { 1 } { det \ A } \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} $$

اگر دترمینان ماتریس A برابر صفر باشد، این ماتریس معکوس نخواهد داشت. برای به‌دست آوردن معکوس ماتریس $$\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} $$ ابتدا دترمینام آن را به‌دست می‌آوریم:

$$det \ A = ad - bd = ( 2 \times 5 ) - ( (-3 ) \times 4 )) = 22$$

از آنجا که دترمینان این ماتریس، مخالف صفر است، کعکوس آن را می‌توانیم به‌دست آوریم:

$$A^ { -1 } = \frac { 1 } { det \ A} \begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}= \frac { 1 } { 22 }\begin{bmatrix}5 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}\\ A _ { -1 } \begin{bmatrix} \frac { 5 } { 22} & \frac { 3 } { 22} \\ \frac { -2 } { 11 } & \frac { 1 } { 11 } \end{bmatrix}$$

معکوس ماتریس ۲ در ۲ به صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} \Rightarrow A ^ { -1 } = \frac { 1 } { det \ A } \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} $$

اگر دترمینان ماتریس A برابر صفر باشد، این ماتریس معکوس نخواهد داشت. برای به‌دست آوردن معکوس ماتریس $$\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -6 & 8 \end{bmatrix}$$ ابتدا دترمینان آن را به‌دست می‌آوریم:

$$det \ A = ad - bd = ( 3 \times 8 ) - ( (-4 ) \times (-6 ) )) = 0 $$

این ماتریس، معکوس ندارد، زیرا دترمینان آن برابر صفر است. 

این مسئله را می‌توانیم با دو روش حل کنیم.

روش اول

ابتدا معکوس ماتریس A را به‌دست می‌آوریم، سپس آن را برابر ماتریس B قرار می‌دهیم. معکوس ماتریس A به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$A ^ { - 1 } = \frac { 1 } { det \ A } \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} , det A = 2 - ( -1 ) (3 ) = 5 \\ A ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 5 } \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac { 2 } { 5 } & - \frac { 3 } { 5 } \\ \frac { 1 } { 5 } & \frac { 1 } { 5 } \end{bmatrix}$$

در ادامه، ماتریس B را برابر ماتریس $$A  ^ { -1 } $$ قرار می‌دهیم و مقدار $$x$$ را به‌دست می‌آوریم: 

$$A^ { -1 } = B \\ \begin{bmatrix}\frac { 2 } { 5 } & -\frac { 3 } { 5 } \\ \frac { 1 } { 5 } & \frac { 1 } { 5 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac { 2 } { 5 } & x \\ \frac { 1 } { 5 } & \frac { 1 } { 5 } \end{bmatrix} $$

با برابر قرار دادن تک‌تک مولفه‌ها، مقدار $$x$$ برابر $$- \frac { 3 } { 5 } $$ به‌دست می‌آید.

روش دوم

اگر $$B = A ^ { -1 } $$ باشد، داریم:

$$A . B = B . A = I$$

در رابطه فوق، I ماتریس واحد است. برای به‌دست آوردن مقدار $$x$$ دو ماتریس A و B را در یکدیگر ضری می‌کنیم و حاصل را برابر ماتریس واحد قرار می‌دهیم:

$$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac { 2 } { 5 } & x \\ \frac { 1 } { 5 } & \frac { 1 } { 5 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac { 2 } { 5 } + \frac { 3 } { 5 }& x + \frac { 3 } { 5 } \\ -\frac { 2 } { 5 } + \frac{ 2 } { 5 } & -x +\frac { 2 } { 5 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ x + \frac { 3 } { 5 } = 0 , -x + \frac { 2 } { 5 } = 1 \\ x = - \frac { 3 } { 5 } $$

برای ماتریس 3×3 یعنی ماتریسی که دارای 3 سطر و 3 ستون است:

دترمینان با استفاده از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

$$\mid A \mid = a ( ei -fh ) -b (di -fg) + c ( dh -eh) $$

محاسبه دترمینا ماتریس ۳ در ۳ به صورت تصویری در عکس زیر نشان داده شده است:

برای یافتن دترمیان ماتریس $$3 \times 3$$ مراحل زیر را طی می‌کنیم:

• ابتدا دترمینان ماتریس 2x2 که هیچ درایه آن در سطر و ستون a قرار ندارد را محاسبه می‌کنیم و سپس a را در این مقدار ضرب می کنیم.
• در مورد b و در مورد c نیز همین عمل را تکرار می کنیم.
• مقادیر بدست آمده را باهم جمع می کنیم، اما به یاد داشته باشید که از مقدار منفی عدد b در جمع استفاده می‌کنیم.

با توجه به توضیحات فوق دترمینان ماتریس $$\begin{bmatrix} 7 & -4 & 2 \\ 3 & 1 & -5 \\ 2 & 2 & -5 \end{bmatrix}$$ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\begin{bmatrix} 7 & -4 & 2 \\ 3 & 1 & -5\\ 2 & 2 & -5 \end{bmatrix}= 7 \times det(\begin{bmatrix}1 & -5 \\ 2 & -5 \end{bmatrix}) - (-4)\times det (\begin{bmatrix} 3 & -5 \\2 & -5 \end{bmatrix}) + 2 \times det(\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2\end{bmatrix}) \\ = 7 ( 5 ) + 4 ( -5) + 2 ( 4) = 23

ماتریس واحد به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0
\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$

دترمینان این ماتریس ۳ در ۳ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}= 1 \times det(\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}) - (0)\times det (\begin{bmatrix} 0 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}) + 0 \times det (\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}) \\ = 1 ( 1 ) + 0 ( 1) + 0 ( 0) = 1$$

ماتریس در صورتی معکوس ندارد که دترمینان آن برابر صفر باشد. از این‌رو، برای به‌دست آوردن $$x $$ باید دترمینان ماتریس $$\begin{bmatrix}2 & 0 &10 \\0 & 7 + x & -3 \\ 0 & 4 & x \end{bmatrix} $$  را به‌دست آوریم. در حالت کلی، دترمینان ماتریس 3×3 $$\begin{bmatrix}a & b ، c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$$ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\mid A \mid = a ( ei -fh ) -b (di -fg) + c ( dh -eh) $$

برای یافتن دترمیان ماتریس $$3 \times 3$$ مراحل زیر را طی می‌کنیم:

• ابتدا دترمینان ماتریس 2x2 که هیچ درایه آن در سطر و ستون a قرار ندارد را محاسبه می‌کنیم و سپس a را در این مقدار ضرب می کنیم.
• در مورد b و در مورد c نیز همین عمل را تکرار می کنیم.
• مقادیر بدست آمده را باهم جمع می کنیم، اما به یاد داشته باشید که از مقدار منفی عدد b در جمع استفاده می‌کنیم.

دترمینان ماتریس $$\begin{bmatrix}2 & 0 &10 \\0 & 7 + x & -3 \\ 0 & 4 & x \end{bmatrix}$$ f برابر است با: 

$$$$det(\begin{bmatrix} 2 & 0 & 10 \\ 0 & 7+x & -3\\ 0 & 4 & x \end{bmatrix}) = 0\\= 2 \times det(\begin{bmatrix}7+x & -3 \\ 4 &x \end{bmatrix}) - (0)\times det (\begin{bmatrix} 0 & -3 \\0 & x \end{bmatrix}) + (10) \times det(\begin{bmatrix} 0 & 7+x \\ 0 & 4\end{bmatrix}) = 0 \\ = 2 ((7+x) (x) -(-3) (4))= 2 (7x + x ^ 2 +12) = 0 \\ x ^ 2 + 7x + 12 = 0 \\ (x + 3 ) (x + 4) = 0 \\x = -3 ,x = -4 $$

برای محاسبه دترمینان ماتریس‌های ۴ در ۴ به صورت زیر عمل می‌کنیم: 

$$\begin{bmatrix}a & b & c & d \\e & f & g & h
\\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \end{bmatrix}$$

• مثبت a ضرب در دترمینان ماتریسی که در سطر و ستون a نیست.
• منفی b ضرب در دترمینان ماتریسی که در سطر و ستون b نیست.
• مثبت c ضرب در دترمینان ماتریسی که در سطر و ستون c نیست.
• منفی d ضرب در دترمینان ماتریسی که در سطر و ستون d نیست.

فرمول آن را به صورت زیر نوشت: 

$$det (\begin{bmatrix}a & b & c & d \\e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \end{bmatrix}) \\ a.det (\begin{bmatrix} f & g & h \\ j & k & l \\ n & o & p \end{bmatrix}) - b . det (\begin{bmatrix} e & g & h \\ i & k & l \\ m & o & p \end{bmatrix}) + c. det (\begin{bmatrix} e & f & h \\ i & j & l \\ m & n & p \end{bmatrix}) - d. det (\begin{bmatrix}e & f & g \\ i & j & k \\m & n & O \end{bmatrix})$$

به الگوی -+-+ دقت کنید (... a … -b … + c … -d+). این الگو را باید به خاطر بسپارید. مقدار دترمینان ماتریس داده شده پس از انجام محاسبات برابر ۹۰۰ به‌دست می‌آید.