سیکل برایتون (Brayton Cycle) و محاسبات مربوط به آن — از صفر تا صد

«سیکل برایتون» (Brayton Cycle) عبارت است از سیکلی حرارتی که مبتنی بر دو فرآیند فشار ثابت کار می‌کند. اسم این سیکل برگرفته از نام مهندس آمریکایی، «جرج برایتون» (George Brayton) است. او شخصی بود که برای اولین بار سیکلِ موتورِ مبتنی بر فرآیند‌های فشار ثابت را ارائه کرد.

شکل بالا نمونه اولیه موتور مبتنی بر سیکل برایتونی را نشان می‌دهد که مربوط به سال ۱۸۷۲ است. سیستم نشان داده شده در بالا اولین موتور احتراق داخلی است که به منظور تولید توان از آن استفاده می‌شود. در سال ۱۸۷۵، «John Holland» از این موتور به منظور ایجاد نیروی پیشران اولین زیردریایی خودکششی استفاده کرد.

اصول و مفاهیم

در حالت کلی سیکل برایتون شامل چهار فرآیند است. این فرآیند‌ها به همراه اجزاء اصلی آن‌ها در شکل زیر نشان داده شده‌اند.

فرآیند‌های تشکیل‌دهنده سیکل برایتون به ترتیب زیر هستند. این مراحل مطابق با شکل بالا بیان شده‌اند.

• در ابتدا جریان طی فرآیند a-b به صورتی شبه پایا و برگشت‌پذیر فشرده می‌شود.
• در مرحله b-c، فرآیند احتراق و دریافت گرما در فشار ثابت اتفاق می‌افتد.
• در مرحله c-d انبساط شبه‌پایا، آدیاباتیک و برگشت‌پذیر رخ می‌دهد.
  ۱. مقداری کار از هوا گرفته می‌شود و بخشی از آن به کمپرسور داده می‌شود.
  ۲. مابقی کار تولید شده، در موتورهای جت صرف شتاب دادن به هوا و در نیروگاه‌ها صرف تولید توان می‌شود.
• در مرحله d-a سیال کاری (در اکثر کاربردها از هوا استفاده می‌شود) در فشار ثابت سرد شده و به حالت اولیه برمی‌گردد.

فیلم آموزش تولید انرژی الکتریکی (تولید و نیروگاه) – بخش یکم در فرادرس

کلیک کنید

شکل زیر مولفه‌های سیکل برایتونی را نشان می‌دهد که به عنوان سیستم پیشرانش در جت مورد استفاده قرار می‌گیرد.

مدل ترمودینامیکی سیکل برایتون را به صورت زیر نشان می‌دهند.

بایستی بدانید که در حالت کلی می‌توان از سیکل برایتون در دو حالت باز و بسته استفاده کرد. مدل‌های ترمودینامیکی سیکل برایتون باز و بسته در شکل زیر نشان داده شده‌اند.

چگونه کار و راندمان را در سیکل برایتون محاسبه کنیم؟

هدف ما در این قسمت محاسبه کار، راندمان و گرمای دریافت شده توسط سیکل است. فرض کنید مطابق شکل زیر سیکلی فرآیند‌های زیر را طی کرده و نهایتا به حالت اولیه خود باز می‌گردد.

با نوشتن قانون اول ترمودینامیک برای این سیکل داریم:

فیلم آموزش ترمودینامیک ۱ در فرادرس

کلیک کنید

توجه داشته باشید که معادلات بالا در واحد جرم نوشته شده‌اند. سمت چپ معادله بالا تغییرات انرژی کل سیستم را نشان می‌دهد که در این حالت برابر با صفر است. دلیل صفر بودن این عبارت این است که انرژی کل یک سیستم تابع حالت بوده و از آنجایی که سیستم به حالت اولیه خود باز می‌گردد، بنابراین تغییر خالصی در انرژی آن اتفاق نیفتاده است. از این رو با صفر قرار دادن سمت چپ، داریم:

مقادیر q₁ و q₂ عبارتند از میزان حرارتی که سیال کاری در دو مرحله مختلف جذب کرده است. البته بایستی توجه داشته باشید که علامت q₁ منفی است چرا که میزان حرارتی را نشان می‌دهد که توسط سیستم از دست رفته. هم‌چنین گفتنی است که این انتقال حرارت‌ها در فرآیند‌های b-c و d-a اتفاق می‌افتند.

همان‌طور که در مطلب سیکل‌های ترمودینامیکی نیز بیان کردیم، برای یک فرآیند فشار ثابت و شبه‌پایا میزان حرارت منتقل شده بر واحد جرم را می‌توان با استفاده از رابطه زیر توصیف کرد.

رابطه بالا نشان می‌دهد که تغییرات آنتالپی یک فرآیند فشار ثابت، معادل با انتقال حرارت خالص سیال کاری با محیط اطرافش است. از این رو با فرض این‌که سیال کاری، گاز کامل باشد، حرارت دریافت شده در محفظه احتراق را می‌توان با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد.

به همین شکل حرارت از دست رفته در فرآیند d-a نیز با استفاده از رابطه زیر قابل توصیف است.

حال با استفاده از رابطه مربوط به قانون اول که در بالا بیان شد، می‌توان کار انجام شده را به شکل زیر محاسبه کرد.

با بدست آمدن حرارت خالص دریافتی و کار انجام شده، زمان آن فرا رسیده تا راندمان سیکل را محاسبه کنیم. بنابراین می‌توان نوشت.

رابطه بالا راندمان سیکل مورد بررسی را بر حسب دماهای چند نقطه نشان می‌دهد، اما با توجه به این‌که در بررسی سیکل برایتونِ ایده‌آل، سیال کاری را به عنوان گاز ایده‌آل در نظر گرفته‌ایم، بنابراین می‌توان با استفاده از روابط بین دما، فشار و حجم راندمان را به شکلی راحت‌تر محاسبه کرد.

برای نمونه فرض کردیم که فرآیند d-a فشار ثابت است، از این رو فشار دو نقطه a و d با یکدیگر برابر هستند. با همین استدلال فشار دو نقطه b و c نیز با یکدیگر برابر است [با توجه به شکل ۱ می‌توان این روابط را مشاهده کرد]. بنابراین می‌توان گفت:

از طرفی دو فرآیند دیگرِ این سیکل به صورت آدیاباتیک رخ می‌دهند. هم‌چنین از ترمودینامیک می‌دانیم که رابطه زیر در یک فرآیند آدیاباتیک برقرار است.

با توجه به این که P_a=P_d و P_b=P_c است، روابط میان دماهای a ,b ,c ,d به شکل زیر بدست می‌آیند.

بنابراین نهایتا می‌توان گفت که نسبت دماها نیز به صورت زیر است.

با استفاده از عبارت بالا و رابطه 1 می‌توان معادله مربوط به راندمان سیکل را به شکل زیر محاسبه کرد.

نرخ دمای خروجی به ورودی کمپرسور را «نسبت دما می‌نامند» و آن را با TR نشان می‌دهند. در حقیقت رابطه TR برابر است با:

معمولا در سیکل برایتون نسبت فشار خروجی به فشار ورودی کمپرسور را «نسبت فشار» می‌نامند و آن را با PR نشان می‌دهند. با توجه به رابطه 1 که راندمان سیکل برایتون را نشان می‌دهد، می‌توان مقدار آن را همان‌گونه که در زیر بیان شده به صورت تابعی از PR و TR نشان داد.

شکل زیر دما و فشار سیال را در بخش‌های مختلف یک موتور جت نشان می‌دهد. موتور زیر از نوع PW4000 است که در بوئینگ ۷۴۷ از آن استفاده می‌شود.

معادله (2) نشان می‌دهد که می‌توان با افزایش نسبت فشار در کمپرسور، راندمان سیکل برایتون را افزایش داد. شکل زیر راندمان موتور مبتنی بر سیکل برایتون را بر حسب نسبت فشارِ کمپرسورش نشان می‌دهد.

جالب است بدانید که در طول ۵ دهه اخیر ضریبِ نسبت فشارِ استفاده شده در کمپرسور‌های توربین‌های گازی و موتور‌های جت افزایش یافته است. شکل زیر این افزایش را نشان می‌دهد.

تکنولوژی توربین گاز و محدودیت‌های ترمودینامیکی

دمای ورودی به توربین گاز که با T_C نشان داده می‌شود با توجه به تکنولوژی و مواد به کار رفته در توربین تعیین می‌شود. شکل‌ زیر دمای ورودی به توربین‌های ساخته شده توسط شرکت «Rolls Royce» را با گذشت زمان نشان می‌دهد.

یکی از سوالات مهم در طراحی توربین گازی و یا موتور جت این است که با فرض معلوم بودن بیشترین دمای مجاز ورودی به توربین، بر چه اساسی می‌توان نسبت فشار ایده‌آل کمپرسور را یافت؟ با توجه به کدام پارامتر این نسبت ایده‌آل یافت شود؟ بیشترین راندمان؟ بیشترین کار؟ یا شاید بتوان با بررسی ترکیبی از این پارامتر‌ها به نسبت ایده‌آل رسید.

نمودار زیر را تصور کنید.

این نمودار دو سیکل برایتون را نشان می‌دهد. طبق روابطی که در بالا محاسبه کردیم (رابطه 2) بیشترین راندمان کمپرسور به ازای دمای ثابت ورودیِ T_C زمانی حاصل می‌شود که نسبت فشار، بالاترین حد ممکن باشد. این جمله به این معنی است که دمای T_b به دمای T_c میل کند ($$T_b \rightarrow T_c$$). مستطیل کوچکی که در نمودار قرار گرفته این نزدیک شدن را نشان می‌دهد. چنین سیکلی بیشترین راندمان را دارد، اما به راستی کاری انجام می‌دهد؟

فیلم آموزش ترمودینامیک مهندسی شیمی در فرادرس

کلیک کنید

همان‌گونه که از ترمودینامیک می‌دانید، مقدار کار انجام شده توسط یک فرآیند برابر با $$\int pdv$$ است که برابر با مساحت سطح سیکل است. در شکل بالا هاشور مشکی رنگ کار انجام شده در حالت نرمال و قرمز رنگ میزانِ کار را در حالتی نشان می‌دهد که دمای Tb به دمای Tc نزدیک شده است. همان‌طور که در شکل نیز می‌بینید مقدار کار انجام شده در این حالت به صفر نزدیک می‌شود! بنابراین اگر معیار ما برای طراحی یک موتور مبتنی بر سیکل برایتون، فقط راندمان باشد، به سیکلی دست می‌یابیم که کار خروجی آن به صفر نزدیک است.

از این رو سناریوی دوم را به منظور دست‌یابی به بهترین سیکل ممکن، معادل با بیشترین کار خروجی در نظر می‌گیریم. در بالا رابطه کار خروجی یک سیکل را به شکل زیر محاسبه کردیم.

در معادله بالا T_c نشان دهنده بیشترین دمای ورودی به توربین و T_a دمای اتمسفر را نشان می‌دهد. با فرض ثابت بودن دمای T_a نسبت فشار ایده‌آل کمپرسور را می‌توان با پیدا کردن دمای ایده‌آل خروجی از کمپرسور (T_b) تعیین کرد. از این رو از رابطه بالا نسبت به T_b مشتق می‌گیریم.

عبارت اول و چهارمِ سمت راست معادله بالا برابر با صفر هستند [دلیل صفر بودن این عبارات، ثابت بودن دمای ورودی توربین (T_c) و دمای اتمسفر (T_a) هستند]. بنابراین دمای معادل با بیشترین کار ممکن را می‌توان با استفاده از رابطه زیر بدست آورد.

برای استفاده از رابطه بالا باید رابطه بین T_d و T_b را بیابیم. در بالا نحوه بدست آمدن رابطه زیر را بین دماها نشان دادیم.

حال می‌توان مشتق مورد نیاز را به صورت زیر محاسبه کرد.

با قرار دادن مشتق محاسبه شده بالا در رابطه (4)، دمای کمپرسور به منظور رسیدن به بیشترین کار خروجی ممکن، برابر با $$T_b=\sqrt{T_aT_c}$$ بدست می‌آید. با استفاده از دمای بدست آمده نسبت دمای کمپرسور را می‌توان با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد.

شرایط لازم برای دست‌یابی به بیشترین کار خروجی در یک سیکل برایتون و شرایط لازم برای رسیدن به ماکزیمم راندمانِ ممکن، با یکدیگر متفاوت هستند. با توجه به نسبت دمای بدست آمده، بیشترین کار خروجی ممکن برای یک سیکل را می‌توان با جایگذاری این نسبت در رابطه 3 بدست آورد.

با فاکتورگیری T_a از رابطه بالا، عبارت زیر حاصل می‌شود.

واضح است که برای محاسبه توان موتور مبتنی بر این سیکل، می‌توان نسبت کار به جرم بدست آمده را در نرخ جریان ($$\dot {m}$$) ضرب کرد. بنابراین میزان توان بدست آمده از این سیکل برابر با مقدار زیر خواهد بود.

در شکل زیر می‌توانید تغییرات کار ایده‌آل بدست آمده از یک سیکل برایتون را با توجه به نسبت دما و فشار کمپرسور مشاهده کنید.

توجه کنید که در حالت واقعی نمی‌توان به این مقدار ایده‌آل دست یافت، اما نکته این‌جا است که با توجه به روابط بالا نسبت فشار مناسب به‌منظور طراحی یک کمپرسور بدست می‌آید. نمودار زیر رابطه بین دمای ورودی به توربین و کار ایده‌آل خروجی را نشان می‌دهد. هم‌چنین در این نمودار توان خروجی چند توربین واقعی نیز بر حسب دمای ورودی به توربین نشان داده شده.

سیکل برایتون در موتور رم‌جت

عمدتا موتور‌های جت، مبتنی بر سیکل برایتون کار می‌کنند. «رم‌جت» (Ramjet) یک نوع موتور جت است که در سرعت‌های بالا مورد استفاده قرار می‌گیرد. در این موتور‌ها از کمپرسور استفاده نمی‌شود؛ بنابراین از حرکت رو به جلوی موتور به‌منظور فشرده‌سازی هوا استفاده می‌شود. در زیر شماتیکی از این موتور نشان داده شده است.

جالب است بدانید که در این نوع از موتور، بخش متحرکی وجود ندارد. فرآیند‌های انجام شده در موتور رم‌جت به شرح زیر هستند.

• $$0 \to 3$$: فشرده‌سازی آیزنتروپیک به همراه کاهش شدید عدد ماخ ($$M_0 \to M_3<<1$$)
• $$3 \to 4$$: احتراق فشار ثابت
• $$4 \to 5$$: انبساط آیزنتروپیک در نازل

فیلم آموزش ترمودینامیک ۲ – مرور و تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

با توجه به این‌که عمدتا این موتور‌ها به منظور ایجاد سرعت‌‌های بالا تولید می‌شوند، بنابراین راندمان آن‌ها را بر حسب عدد ماخ ورودی به موتور (M₀) بیان می‌کنند. در ادامه رابطه بین راندمان یک موتور رم‌جتِ مبتنی بر سیکل برایتون و ماخ ورودی به آن، شرح داده شده.

مثال‌

مطابق با شکل زیر سیکل برایتونی را تصور کنید که هوا با دمای ۲۷ درجه و فشار ۰.۱ مگاپاسکال به آن وارد می‌شود. با فرض این‌که نسبت فشارِ کمپرسور و توربین، ۶.۲۵ و ماکزیمم دمای سیکل ۸۰۰ درجه باشد، موارد زیر مطلوب است:

1. کار خالص انجام شده توسط توربین
2. کار مصرفی کمپرسور
3. مقدار حرارت اضافه شده در فرآیند احتراق
4. راندمان سیکل

از آنجایی که سیال در کمپرسور فرآیندی آیزنتروپیک را تجربه می‌کند، بنابراین می‌توان با استفاده از نسبت فشار ارائه شده برای آن، نسبت دمایش را محاسبه کرد و پس از آن با توجه به معلوم بودن دمای ورودی، دمای خروجی کمپرسور را بدست آورد. این مراحل به صورت زیر انجام می‌شوند.

از قانون اول می‌دانیم که انرژی منتقل شده به سیال در کمپرسور، برابر با کار انجام شده روی سیال است. در نتیجه کارِ کمپرسور را می‌توان به شکل زیر محاسبه کرد.

دقیقا به همین شکل می‌توان دمای خروجی از توربین را یافت و پس از آن، کار انجام شده توسط توربین را محاسبه کرد. در نتیجه می‌توان گفت:

از آنجایی که دمای خروجی از محفظه احتراق (همان دمای ماکزیمم که در صورت مسئله بیان شده) و دمای ورودی به آن معلوم است، انتقال حرارت صورت گرفته در محفظه احتراق به صورت زیر بدست می‌آید.

با بدست آمدن حرارت ورودی به سیستم و کار خروجی از توربین، راندمان به شکل زیر قابل محاسبه است.

مثال بالا نمونه‌ای بسیار ساده از محاسبات مربوط به سیکل برایتون است. در حالت واقعی، فرآیند‌ها دقیقا به صورت فشار ثابت و آیزنتروپیک نیستند، بنابراین برای آن‌ها ضرایبی از خطا را در نظر می‌گیرند. برای فراگیری روابط حاکم بر دیگر سیکل‌های ترمودینامیکی می‌توانید از آموزش ترمودینامیک ۲ استفاده کنید.

^^