فرادرسانتگرال و روش های محاسبه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
همان‌طور که در بخش اول مبحث انتگرال نیز بیان شد، از این مفهوم می‌توان در محاسبه مساحت، حجم و بسیاری دیگر از پارامترها استفاده کرد. اما ریشه کاربرد انتگرال، محاسبه مساحت سطح زیر نمودارها است. در این بخش قصد داریم تا در مورد قوانین حاکم در محاسبات انتگرال بحث کنیم. قوانین مطرح شده در محاسبه انتگرال دوگانه و انتگرال روی سطوح خمیده نیز کاربرد خواهد داشت. البته در آینده نحوه محاسبه انتگرال در دستگاه استوانه‌ای نیز توضیح داده میشود.
فیلم آموزشی انتگرال و روش های محاسبه
انتگرال توابع پایه
به منظور محاسبه انتگرال یک تابع در ابتدا بایستی با قوانین حاکم در عبارت‌های انتگرالی آشنا باشیم. با استفاده از انتگرال توابع بنیادی، می‌توان این مقدار را برای بسیاری دیگر از توابع نیز محاسبه کرد.
در جدول زیر انتگرال چند تابع پرکاربرد و همچنین قوانین حاکم بر آن‌ها ذکر شده است.
| ax+C | $$\int a dx$$ | تابع ثابت |
| $${x^2 \over 2} + C$$ | $$\int x dx$$ | تابع خطی |
| $${x^3 \over 3} + C$$ | $$\int x^2 dx$$ | سهمی درجه ۲ |
| $$Ln|x| + C$$ | $$\int{ 1 \over x} dx$$ | تابع وارون |
| $$e^x +C$$ | $$\int e^x dx$$ | توابع نمایی |
| $${a^x \over ln(a)}+ C$$ | $$\int a^x dx$$ | |
| x ln(x) − x + C | $$\int ln(x)dx$$ | |
| sin(x)+C | $$\int cos(x)dx$$ | توابع مثلثاتی |
| - cos(x)+C | $$\int sin(x)dx$$ | |
| tan (x) + C | $$\int sec^2xdx$$ | |
| $$c \int f(x)dx$$ | $$\int cf(x)dx$$ | ضرب در یک ثابت |
| $${x^{n+1} \over {n+1}}+C$$ | $$\int x^n dx$$ | قانون توان |
| $$\int {fdx}+ \int {g dx}$$ | $$\int {(f+g)} dx$$ | قانون جمع |
مثال‌ها
در این قسمت به بررسی مثال‌هایی خواهیم پرداخت که در آن‌ها از قوانین معرفی شده در جدول بالا استفاده شده است.
مثال ۱
انتگرال تابع $$\sqrt x$$ را بیابید.
در جدول بالا قانون توان را به شکل زیر معرفی کردیم.
$$\int x^n dx= {x^{n+1} \over {n+1}}+C$$
با جایگذاری 0.5 به جای n، خواهیم داشت.
$$\int {\sqrt {x}}dx=\int {x^{1 \over 2}}dx={x^{1.5} \over 1.5}+C$$
مثال ۲
حاصل انتگرال تابع $$6x^2$$ را بیابید.
با توجه به ثابت بودن عدد ۶، آن را از انتگرال خارج کرده و داریم:
$$\int 6x^2dx=6 \int x^2dx$$
حال با استفاده از قانون توان و جایگذاری 2 به‌جای n، خواهیم داشت:
$$6 \int x^2dx=6{x^3 \over 3}+C=2x^3+C$$
مثال ۳
حاصل عبارت $$\int (cos x +x )dx$$ را بیابید.
با استفاده از قانون جمع، می‌توان انتگرال دو عبارت را به صورت مجزا با یکدیگر جمع کرد. بنابراین داریم:
$$\int (cos x +x )dx=\int cos xdx+ \int xdx=sin x + {x^2 \over 2} +C$$
مثال ۴
انتگرال تابع $$8z+4z^3-6z^2$$ را بیابید.
با استفاده از قانون جمع می‌توان نوشت:
$$\int {(8z+4z^3-6z^2)} dz=\int 8zdz+\int 4z^3dz-\int6z^2dz$$
حال قادریم تا ضرایب ثابت را از زیر انتگرال بیرون کشیده و عبارت بالا را به صورت زیر بازنویسی کنیم.
$$\int {(8z+4z^3-6z^2)} dz=8 \int zdz+4 \int z^3dz-6 \int z^2dz$$
در عبارت بالا هریک از انتگرال‌ها را می‌توان با استفاده از قانون توان بدست آورد. بنابراین حاصل آن برابر است با:
$$= {8z^2 \over 2} + {4z^4 \over 4} −{ 6z^3 \over 3} + C$$
$$= 4z^2+z^4-2z^3+ C$$
در بخش آینده، حل انتگرال به روش جزء به جزء را تشریح خواهیم کرد. همچنین انتگرال‌گیری به روش کسرهای جزئی در مطلب «انتگرال گیری به روش کسرهای جزئی» مورد مطالعه قرار گرفته است.
لطفا صدا پس زمینه رو کمتر کنید
ممنون
خیلی خیلی ازتون ممنونیم. فقط اگر میشود موزیک را هنگام آموزش حذف کنید.
(∫ (x^t) dt from 0 to 2 ) = 3
چند میش؟
خیلی عالی و مفهمومی توضیح دادید خیلی ممنونم از شما
چقدر خوشحالم که این سایت وجود داره، هم قسمت آموزک ها عالیه، هم دوره های فرادرس خوب هستن. صمیمانه ازتون تشکر می‌کنم، همیشه سلامت باشید.
عالی بود
بسیار عالی بود
ممنون
ممنون فقط اون موزیک بک گراتد صداش از شما بیشتر بود
با سلام حضور استاد گرامی آقای عوض زاده، مطالب شما بسیار آموزنده بود از جنابعالی بسیار سپاسگزارم.
عالی
آموزنده بود اگه میشه از انتگرال دوگانه هم توضیع بدین ممنون
با سلام و ممنون از بازخوردتون
مفهوم انتگرال دوگانه در این مطلب توضیح داده شده است.
عالی بود اقای عیوض زاده. فقط اگر در مورد تغییر متغیرهای سینوس کسینوسی تو حل انتگرال هم توضیح بدید ممنون میشم
با سلام و ممنون از توجه شما.
بله این مطلب با عنوان «انتگرال تغییر متغیر مثلثاتی» ارائه شده است.
خوب توضیح دادین قدم به قدم
منتظر اموزش جز ب جز هستم سپاسگزارم
با سلام استاد گرامی جناب اقای عوض زاده،اموزش بسیار عالی بود تشکر