گزاره ها و سورهای منطقی — به زبان ساده

۱۴۳۱۳ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۰۶ خرداد ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۹ دقیقه
گزاره ها و سورهای منطقی — به زبان ساده

کلمات گزاره و سور منطقی و گزاره نما از اصطلاحات مربوط به منطق محسوب می‌شوند. اغلب در زندگی روزانه، از عبارت یا جملاتی استفاده می‌کنیم که خبر یا اتفاقی را بیان می‌کنند. در ریاضیات به چنین جملاتی، «گزاره» (Proposition) گفته می‌شود. درستی یا نادرستی هر گزاره با انجام محاسبات یا آزمایش‌های علمی قابل سنجش است. در مقابل جملاتی داریم که به بیان احساسات می‌پردازند. چنین جملاتی از نظر ریاضیات و منطق، گزاره نیستند زیرا قابلیت سنجش درستی یا نادرستی برای آنان وجود ندارد. بررسی روابط بین گزاره‌ها و تعیین ارزش درستی با نادرستی آن‌ها از مباحث مهم در منطق و ریاضیات محسوب می‌شود. از طرفی ممکن است که جملات و عبارت‌های خبری داشته باشیم که تعیین صحت آن‌ها وابسته به یک یا چند پارامتر است. در این حالت به این جملات «گزاره‌نما» (Propositional function) گفته می‌شود. همچنین «سور» (Quantifier) نیز برای تبدیل گزاره‌نما به یک گزاره که صحت آن قابل بررسی است به کار می‌رود. این سه بخش، اساس منطق و جبر گزاره‌ها را تشکیل می‌دهند.

ارتباط بین گزاره‌ها و گزاره‌نماها بواسطه سورها انجام شده و سنجش درستی آن‌ها بوسیله اصول منطقی میسر است. در این میان منطقی که به منطق ارسطویی شهرت دارد، از اهمیت و کاربرد بیشتری برخوردار است و ما نیز در این نوشتار به بررسی گزاره‌ها، گزاره‌نماها و سورهایی می‌پردازیم که ارزش درستی آن‌ها برمبنای منطق ارسطویی است.

گزاره‌، گزاره‌نما و سور

فرض کنید به شما گفته شده است که امروز هوا ابری است. این عبارت، یک جمله خبری است که می‌توانید صحت آن را بررسی کنید. کافی است از پنجره به بیرون نگاهی بیاندازید تا درستی این ادعا را بررسی کنید. به این ترتیب به نظر می‌رسد که جمله «امروز هوا ابری است» یک گزاره است. حال جمله «به! چه هوای مطلوبی است» را در نظر بگیرید. ممکن است مطلوبیت از نظر یک فرد آفتابی و از نظر فرد دیگر بارانی بودن باشد. در نتیجه تعیین درستی یا نادرستی این عبارت برای همه افراد یکسان نیست. اینجا است که بحث منطق و گزاره‌ آغاز می‌شود. معمولا جملات و قضیه‌های ریاضی به زبان گزاره‌ و سورهای منطقی بیان می‌شود.

قوانین و گزاره‌هایی که به نظر می‌رسد در همه حالات صحیح است و همه افراد بشر در صحت آن‌ها اتفاق نظر دارند، اصول (Axioms) نامیده می‌شوند. با استفاده از اتفاق نظر روی اصول، قضیه‌ها و عبارت‌های دیگر اثبات یا محاسبه می‌شوند. اگر ارتباط بین این قضیه‌ها و اصول به درستی برقرار شده و براساس اصول منطق باشد، در صحیح بودن اثبات قضیه‌ها شک نخواهیم داشت. اصول منطق، روش‌های ارزش‌گذاری بر روی گزاره‌ها است که همه افراد بشر بر آن توافق دارند و از آنجایی به آن‌ها اصول گفته می‌شود احتیاج به اثبات نداشته و هر عقل سلیم، درستی آن را استنباط می‌کند. در ادامه به معرفی گزاره و گزاره‌نما و سورها پرداخته و ترکیب یا جبر گزاره‌ها را دنبال خواهیم کرد.

گزاره

عبارت یا جمله‌ای خبری که براساس اصول منطقی، ارزش درستی آن قابل تعیین باشد، یک گزاره نامیده می‌شود. معمولا گزاره‌ها را با حروف p, q و r نشان می‌دهیم. از آنجایی در این نوشتار از «منطق ارسطویی» (Aristotelian logic) استفاده خواهیم کرد، ارزش برای هر گزاره به صورت صحیح یا غلط است. معمولا ارزش درست را با «د» یا «T» و ارزش نادرست را با «ن» یا «F» نشان می‌دهیم. همچنین برای مشخص کردن حالت‌های مختلف ارزش یک گزاره از جدول ارزش‌ها که در زیر دیده می‌شود استفاده می‌کنیم.

p (گزاره) و ارزش آن
درست (د)
نادرست (ن)

گزاره‌هایی که قابل تفکیک به گزاره‌های دیگر نباشند، گزاره ساده نامیده می‌شوند. ولی امکان ترکیب گزاره‌ها نیز وجود دارد که باعث ایجاد گزاره‌های پیچیده می‌شود. حاصل چنین ترکیب‌هایی، گزاره‌های مرکب است که در مطلب وبلاگ فرادرس با عنوان ترکیب گزاره‌های منطقی --- به زبان ساده، به بررسی جدول درستی آن‌ها می‌پردازیم. اگر لازم باشد که حالت‌های مختلف ارزش‌های دو گزاره با یکدیگر مقایسه و نمایش داده شود، از جدولی به شکل زیر کمک می‌گیریم.

qp
درست (د)درست (د)
نادرست (ن)درست (د)
درست (د)نادرست (ن)
نادرست (ن)نادرست (ن)

همانطور که دیده می‌شود، کلیه حالت‌هایی که می‌توان ارزش‌های مربوط به این گزاره‌ها را با یکدیگر ترکیب کرد، در جدول بالا نوشته شده است. از آنجایی که هر گزاره دارای دو نوع ارزش است، اگر تعداد گزاره‌ها برابر با k باشد، آنگاه چنین جدولی دارای k ستون و $$2^k$$ سطر خواهد بود (بدون احتساب سطر اول که اسامی گزاره‌ها را نشان می‌دهد). بنابراین اگر گزاره‌ها را به صورت $$p_1,p_2,\ldots,p_k$$ مشخص کرده باشیم، جدول زیر حالت‌های مختلف ترکیب ارزش این گزاره‌ها را نشان می‌دهد.

$$p_k$$...$$p_3$$$$p_2$$$$p_1$$
دددد
نددد
............
دننن
نننن

نکته: به گزاره‌ای که ارزشش همیشه درست باشد، «گزاره همیشه درست»، «راستگو» یا «تاتولوژی» (Tautology Statement) و به گزاره‌ای که همیشه ارزشش نادرست باشد، «تناقض» (Contradiction) گفته می‌شود که آن‌ها را به ترتیب با T و F نشان می‌دهند.

نقیض یک گزاره

فرض کنید p یک گزاره باشد. منظور از نقیض گزاره p که به صورت $$\sim p$$ نشان داده می‌شود، گزاره‌ای است که ارزش آن عکس ارزش گزاره p‌ است. به این معنی که هرگاه ارزش p درست باشد ارزش $$\sim p$$ نادرست است و برعکس، هرگاه ارزش گزاره $$\sim p$$ درست است، ارزش گزاره p نادرست است. این ارتباط را به کمک جدول زیر بهتر می‌توان نمایش داد.

$$\sim p$$p
نادرستدرست
درستنادرست

هم‌ارزی دو گزاره

اگر دو گزاره دارای جدول ارزشی یکسانی باشند، هم‌ارز هستند. به بیان دیگر اگر ارزش گزاره p‌ درست به مانند ارزش گزاره q باشد آن‌ها را «هم‌ارز» (Equivalent) می‌گویند. واضح است که نقیض نقیض یک گزاره هم‌ارز با خود گزاره است. یعنی می‌توان نوشت:

$$\large \sim(\sim p)\equiv p$$

aristotelian logic

گزاره‌نما

اگر سنجش صحت یک جمله خبری به یک یا چند پارامتر بستگی داشته باشد که در حال حاضر مشخص نیستند، آن عبارت یا جمله را یک گزاره‌نما می‌نامند. به این ترتیب به نظر می‌رسد که گزاره‌نما بسیار به یک گزاره نزدیک است. در حقیقت نیز چنین است. اگر مقدار پارامتر یا پارامترها گزاره نما تعیین شوند، آن را به یک گزاره تبدیل خواهند کرد. برای مثال عبارتی مانند «عدد x زوج است.» یک گزاره‌نما است، زیرا بدون دانستن مقدار x امکان ارزش‌گذاری برای آن وجود ندارد ولی به محض مشخص شدن x (مثلا x=4) گزاره‌نما به گزاره تبدیل شده و صحت آن قابل بررسی می‌شود. معمولا گزاره‌نما با یک پارامتر را به صورت $$p(x)$$ نشان می‌دهند. ممکن است تعداد پارامترهای یک گزاره‌نما برابر با n باشد، در این حالت می‌نویسیم $$p(x_1,x_2,\ldots,x_n)$$.

مجموعه مقدارهایی که می‌توان به جای پارامتر یا پارامترهای یک گزاره‌نما قرار داد تا آن را به یک گزاره تبدیل کند، «دامنه گزاره‌نما» (Domain) گفته و آن را با D نشان می‌دهند. برای مثال گزاره‌نمای x=4 به ازای مجموعه اعداد حقیقی تبدیل به یک گزاره می‌شود. مثلا اگر مقدار x را ۳ انتخاب کنیم، گزاره دارای ارزش نادرست و در صورتی که x با ۴ برابر باشد، ارزش گزاره ایجاد شده درست خواهد بود. همچنین به مجموعه مقدارهایی از دامنه گزاره‌نما که آن را تبدیل به یک گزاره درست کنند، مجموعه جواب می‌گویند. برای مثال قبلی مشخص است که مجموعه جواب اعداد زوج است که زیرمجموعه اعدادحقیقی است.

سور و انواع آن

برای تبدیل یک گزاره‌نما به گزاره، از سور‌ها کمک می‌گیریم. در زبان عربی، سور به حصار دور شهر گفته می‌شود که آن را از بقیه قسمت‌ها جدا می‌کند. در منطق نیز، سور باعث می‌شود که دامنه گزاره‌نما محدود شده و با استفاده از مقدارهایی خاص، گزاره‌نما تبدیل به یک گزاره شود. در این حالت گزاره را گزاره سوری می‌گویند. استفاده از سورها باید به دقت انجام شود زیرا می‌خواهیم براساس آن‌ها، گزاره‌نما را به یک گزاره درست تبدیل و مجموعه جواب برای گزاره‌نما را پیدا کنیم.

در این نوشتار به سه نوع سور می‌پردازیم که کاربرد بیشتری دارند. «سور عمومی» (Universal Quantification)، «سور وجودی» (Existential Quantifier) و «سور صفر» (Not Existential Quantifier) سه نوع از سورهایی هستند که بخصوص در ریاضیات زیاد به کار می‌روند.

سور عمومی

اگر بخواهیم برای تبدیل یک گزاره‌نما به گزاره، از همه مقدارهای دامنه استفاده شود، از سور عمومی استفاده می‌کنیم. سور عمومی در ریاضیات به صورت $$\forall$$ نشان داده می‌شود که معکوس حرف اول عبارت انگلیسی All است. فرض کنید گزاره‌نما $$p(x)$$ به صورت « 2x زوج است.» نوشته شده است. بنابراین می‌توان آن را با سور عمومی تبدیل به یک گزاره کرد و نوشت:

$$\large \forall \; x \in N;\;\; 2x$$ زوج است

این عبارت به صورت «به ازاء همه xهای متعلق به اعداد طبیعی، ۲x زوج است» خوانده می‌شود. همچنین ممکن است آن را به صورت «برای هر عدد طبیعی x، می‌توان نتیجه گرفت، ۲x زوج است» خواند. اگر دامنه این گزاره‌نما یعنی D، اعداد طبیعی در نظر گرفته شود، ارزش گزاره حاصل به ازای همه اعضای دامنه، درست خواهد بود. یعنی ارزش یک گزاره سور عمومی، زمانی درست است که دامنه گزاره‌نما با مجموعه جواب برابر باشد، به بیان دیگر همه اعضای دامنه در گزاره‌نمای $$p(x)$$ صدق کنند.

سور وجودی

اگر بخواهیم نشان دهیم که به ازاء بعضی از مقدارهای دامنه، گزاره‌نما به یک گزاره تبدیل می‌شود، از سور وجودی استفاده می‌کنیم. در ریاضیات سور وجودی را به صورت $$\exists$$ نشان می‌دهند که مانند تصویر آینه‌ای حرف اول کلمه Exist به معنی وجود است. فرض کنید می‌خواهیم بیان کنیم که بعضی از مقدارهای اعداد حقیقی (R) از ۳ بزرگتر هستند. در این حالت گزاره‌نما را به صورت $$p(x): x-3>0$$ مشخص کرده و به کمک سور وجودی آن را به یک گزاره تبدیل می‌کنیم. در این حالت می‌توان نوشت:

$$\large \exists\; x \in R;\;\; x-3>0$$

با توجه به تعیین علامت نامعادله یا نامساوی داده شده، فقط $$x>3$$ گزاره‌نما را به یک گزاره با ارزش درست تبدیل می‌کند. بنابراین با توجه به اینکه دامنه گزاره‌نما، در این حالت اعداد حقیقی است، می‌توان گفت، زمانی ارزش گزاره سور وجودی صحیح است که مجموعه جواب گزاره‌نما، زیرمجموعه‌ای از دامنه گزاره‌نما باشد. یعنی بعضی از اعضای دامنه، گزاره سور وجودی را به گزاره با ارزش درست تبدیل کند. به بیان دیگر اگر مجموعه جواب گزاره سور وجودی غیرتهی باشد، آنگاه آن گزاره دارای ارزش درست است.

سور صفر

فرض کنید می‌خواهیم یک گزاره‌نما را به یک گزاره تبدیل کنیم بطوری که هیچ مقداری از دامنه آن به کار نرود. در این حالت از سور صفر استفاده می‌کنیم که به صورت $$\nexists$$ نوشته می‌شود. فرض کنید می‌خواهیم بیان کنیم که هیچ عدد حقیقی نمی‌توان یافت که مربع آن منفی باشد. این عبارت را به شکل یک گزاره سور صفر و به صورت زیر می‌نویسم.

$$\large \nexists\; x \in R;\;\; x^2<0$$

یک گزاره سور صفر زمانی صحیح است که مجموعه جواب برای آن تهی باشد. یعنی هیچ یک از اعضای دامنه گزاره‌نما در مجموعه جواب وجود نداشته باشند. یک گزاره سور صفر را می‌توان به صورت سور عمومی و نقیض گزاره‌نما نشان داد. یعنی اگر $$p(x)$$ گزاره‌نما و D دامنه آن باشد می‌توان نوشت:

$$\large \nexists\; x \in D; \;\; p(x) \equiv \forall \;x\in D; \sim p(x)$$

نقیض یک گزاره سور‌ی

از آنجایی که گزاره‌های سوردار نیز یک گزاره هستند می‌توان نقیض آن‌ها را هم به عنوان یک گزاره در نظر گرفت و ارزش‌گذاری کرد.

نقیض سور عمومی

فرض کنید براساس یک سور عمومی یک گزاره برحسب $$p(x)$$ ایجاد کرده‌اید. یعنی داریم:

$$\large \forall\; x\in D;\;\; p(x)$$

این عبارت را به صورت «به ازاء هر x در D، داریم $$p(x)$$» می‌خوانیم. حال قرار است که نقیض این گزاره را بسازیم. اصول منطقی حکم می‌کند که سور عمومی باید به سور وجودی تبدیل و گزاره‌نمای $$p(x)$$ نیز نقیض شود. در این حالت دو گزاره زیر یکسان هستند.

$$\large \sim \big(\forall\; x \in D; \;\;p(x) \big)\equiv \exists\; x \in D;\;\; \sim p(x)$$

برای مثال فرض کنید که با یک گزاره سوردار بیان کرده‌ایم که مربع هر عدد حقیقی مثبت است. اگر این گزاره سوری به صورت $$\forall\; x\in R; \;\; x^2>0$$ نوشته شده باشد، نقیض آن به صورت $$\exists x \in R;\;\; x^2\leq 0$$ خواهد بود. این گزاره به صورت «بعضی از اعداد حقیقی وجود دارند که مربعشان کمتر یا مساوی با صفر است» خوانده می‌شود.

نقیض سور وجودی

براساس قواعد و اصول منطق نقیض یک گزاره سور وجودی باید به صورت گزاره‌ای با سور صفر نوشته شود. بنابراین در این حالت دو گزاره زیر یکسان در نظر گرفته می‌شوند.

$$\large \sim \big(\exists\; x \in D; \;\;p(x)\big) \equiv \nexists\; x \in D;\;\; p(x)$$

البته می‌توان براساس سور عمومی نیز نقیض سور وجودی را بیان کرد. در این حالت داریم:

$$\large \sim \big(\exists\; x \in D; \;\;p(x) \big) \equiv \forall\; x \in D;\;\; \sim p(x)$$

برای مثال اگر بخواهیم نشان دهیم که بعضی از اعداد حقیقی بیشتر از ۳ هستند از گزاره سور وجودی به صورت $$\exists x \in R;\;\; x-3>0$$ استفاده می‌کنیم. در این حالت، نقیض آن به صورت زیر خواهد بود:

$$\large \sim \big(\exists\; x \in R; \;\;x-3>0 \big) \equiv \nexists\;x \in R;\;\; x-3>0$$

که به صورت «هیچ عدد حقیقی بزرگتر از ۳ وجود ندارد» خوانده می‌شود. اگر لازم باشد که نقیض گزاره اول را برحسب سور عمومی نشان دهیم خواهیم داشت، «همه اعداد حقیقی کمتر یا مساوی با ۳ هستند. این گزاره به صورت زیر نوشته می‌شود.

$$\large \sim \big(\exists\; x \in R; \;\;x-3>0\big) \equiv \forall\; x \in R;\;\; x-3\leq 0$$

نقیض سور صفر

نقیض یک گزاره با سور صفر می‌تواند به صورت یک سور وجودی نوشته می‌شود. در این حالت دو گزاره زیر یکسان تلقی خواهند شد.

$$\large \sim \big(\nexists\; x\in D;\;\;p(x) \big)\equiv \sim \big(\forall\; x\in D;\;\;\sim p(x)\big )\equiv \exists\; x \in D; \;\; p(x)$$

برای مثال اگر گزاره سور صفر به صورت «هیچ عدد فردی بر ۲ بخش‌پذیر نیست»، نوشته شده باشد، نقیض آن به صورت زیر خواهد بود:

$$\large \sim \big(\nexists\; x\in N;\;\; \frac{2x+1}{2} \in N\big ) \equiv \exists\; x\in N;\;\; \frac{2x+1}{2} \in N$$

در این حالت نقیض گزاره سور صفر را به صورت «بعضی از اعداد فرد بر ۲ بخش‌پذیر هستند»، می‌خوانیم.

در مطلب بعدی با عنوان ترکیب گزاره‌های منطقی به زبان ساده به بررسی عملگر یا ترکیب‌هایی می‌پردازیم که روی گزاره‌های منطقی اثر کرده و گزاره‌های مرکب ایجاد می‌کنند.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط با منطق و مبانی منطقی، آموز‌ش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۸۶ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرس
۵ دیدگاه برای «گزاره ها و سورهای منطقی — به زبان ساده»

سلام وقت بخیر
اگر داشته باشیم :

~(∄x P(x))
معادل است با

∀x(~p(x)) 

معادل است با
∃x P(x)

چطور ثابت کنیم این معادل درسته؟

سپاس بابت مطالب مفیدتون

اگر ارزش گزاره نما همیشه درست باشه، میشه گزاره و دیگه بهش گزاره نما نمیگن؟

درود
وجه اشتراک گزاره و گزاره نما: جفت آنها جمله ای خبری هستند
تفاوتشان: گزاره فقط یک ارزشدارد ولی گزاره نما دوتا
با توجه به توضیح بالا
اگر جمله ای خبری فقط یک ارزش داشته باشد گزاره هست و گزاره نما نیست

سلام. اگر منابع رو هم ذکر بفرمایید، مطالب سایت خیلی برای ما کارایی بیشتری خواهد داشت. چون میتوانیم برای اطلاعات بیشتر به اونها رجوع کنیم. خیلی ممنون از مطالب خوبتون.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *