هر عدد به توان صفر | صفر به توان هر عدد — به زبان ساده و با مثال

۵۸۴۳۸ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۱ شهریور ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۳ دقیقه
هر عدد به توان صفر | صفر به توان هر عدد — به زبان ساده و با مثال

در این آموزش از مجله فرادرس می‌خواهیم درباره چند مورد از پرسش‌های رایج دانش‌آموزان در درس ریاضی بحث کنیم؛ پرسش‌هایی از قبیلِ نتیجه هر عدد به توان صفر چیست؟ صفر به توان هر عدد چگونه محاسبه می‌شود؟ حاصل صفر به توان صفر چیست؟

هر عدد به توان صفر

حاصل هر عدد به توان صفر برابر با یک است. البته در اینجا منظورمان عددی غیر از صفر است. این یعنی اینکه برای عدد غیرصفر $$a\neq 0 $$، می‌توان چنین نوشت:

$$ \large \boxed { a ^ 0 = 1 }  $$

برای مثال، داریم:

$$ \large \begin {align*}
0.0002 ^ 0 & = 1 \\
(-2.3) ^ 0 & = 1 \\
6 ^ 0 & = 1 \\
10000 ^ 0 & = 1 \\
( - 1 ) ^ 0 & = 1 \\
1 ^ 0 & = 1 \\
(-4528) ^ 0 & = 1 \\
1.3 ^ 0 & = 1
\end {align*} $$

اما چرا هر عدد به توان صفر همیشه برابر با یک می‌شود؟‌ یکی از مواردی که برای پاسخ به این پرسش مطرح می‌شود، با بهره‌گیری از مفهوم توان در ریاضیات است. همان‌طور که می‌دانیم، در تقسیم دو عدد با پایه مشابه و توان متفاوت، پایه ثابت می‌ماند و توان‌ها از یکدیگر کم می‌شوند.

برای مثال، عدد دلخواه $$ a $$ را در نظر بگیرید. حاصل تقسیم $$a^m$$ بر $$a^ n $$ به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large \frac { a ^ m } { a ^ n } = a ^ { m - n } $$

برای مثال، داریم:

$$ \large \frac { 3 ^ 8 } { 3 ^ 6 } = 3 ^ { 8 - 6 } = 3 ^ 2 = 9 $$

حال فرض کنید $$a $$ یک عدد صحیح غیرصفر باشد و $$n=m$$. بنابراین، می‌توان نوشت:

$$ \large a ^ { m - m } = \frac { a ^ m } { a ^ m } = 1 $$

یکی دیگر از راه‌هایی که می‌توان به این نتیجه رسید که هر عدد به توان صفر برابر با یک است، استفاده از قاعده ضرب اعداد توان‌دار است. همان‌طور که می‌دانیم، برای عدد صحیح غیرصفر $$a$$ و اعداد صحیح $$m$$ و $$n$$ می‌توان نوشت:

$$ \large a ^ { m + n } = a ^ m a ^ n $$

 با قرار دادن $$ m = 1 $$ و $$ n= 0$$، داریم:

$$ \large a ^ { 1 + 0 } = a ^ 1 a ^ 0 $$

و در نتیجه:

$$ \large a ^ 1 = a ^ 1 a ^ 0 $$

با تقسیم طرفین بر $$ a ^ 1 $$، می‌توان نوشت:

$$ \large \frac { a ^ 1 } { a ^ 1 } = \frac {a ^ 1 a ^ 0 } { a ^ 1 } $$

بنابراین، به تساوی زیر می‌رسیم که نشان می‌دهد هر عدد به توان صفر برابر با یک است:

$$ \large 1 = a ^ 0 $$

برای آشنایی با مباحث ریاضیات دبیرستان، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

یکی از راه‌هایی شهودی که می‌توانید مقدار هر عدد به توان صفر را تخمین بزنید، استفاده از ماشین حساب است. اما چگونه؟ برای مثال، به جای عدد صفر عددی بسیار کوچک و نزدیک به صفر در نظر بگیرید و محاسبه را در ماشین‌حساب انجام دهید. اگر مثلاً عدد ۵ را به توان عدد بسیار کوچک ۰٫۰۰۰۰۰۰۰۰۰۳ برسانید، عدد زیر به دست خواهد آمد که بسیار نزدیک به ۱ است.

عدد به توان صفر در ماشین حساب

صفر به توان هر عدد

اگر $$n$$ یک عدد صحیح مثبت و غیرصفر باشد. در این صورت، صفر به توان هر عدد برابر با صفر خواهد بود. یعنی، داریم:

$$ 0 ^ n = 0 $$

این تساوی واضح به نظر می‌رسد. زیرا، داریم:

$$ \large \begin {align*}
& n = 1 \rightarrow 0 ^ 1 = 0 \\
& n = 2 \rightarrow 0 ^ 2 = 0 \times 0 = 0 \\
& n = 3 \rightarrow 0 ^ 3 = 0 \times 0 \times 0= 0 \\
& \vdots
\end {align*} $$

صفر به توان صفر

اگر دو بخش بالا را خوانده باشید، احتمالاً این پرسش برایتان پیش آمده که پس صفر به توان صفر چه می‌شود؟ چرا در دو بخش قبلی به آن نپرداختیم. واقعیت این است که برای پاسخ به این پرسش، دودستگی وجود دارد. عده‌ای صفر به توان صفر را مبهم می‌دانند و عده‌ای در برخی موارد آن را برابر با یک در نظر می‌گیرند و البته دلایل منطقی نیز برای آن دارند.

معمولاً در ریاضیات دانشگاهی و آنالیز ریاضی مقدار $$ 0 ^ 0 $$، تعریف‌نشده و صورت مبهم در نظر گرفته می‌شود. دلیل این امر نیز نشان دادن این موضوع است که برای مثال، تابع $$ x ^ y $$ در نقطه $$ ( 0 , 0 ) $$ نه مشتق‌پذیر و نه پیوسته است. البته قرار دادن صفر به توان صفر برابر با $$ 1 $$ نیز مشکلی ایجاد نخواهد کرد.

برای آشنایی بیشتر با پاسخ صفر به توان صفر، پیشنهاد می‌کنیم به مطلب «صفر به توان صفر — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» از مجله فرادرس  مراجعه کنید.

جمع‌بندی

آنچه را که گفتیم، می‌توان در موارد زیر خلاصه کرد:

  1. هر عدد صحیح غیرصفر به توان صفر برابر با یک است.
  2. صفر به توان یک عدد صحیح مثبت برابر با صفر است.
  3. صفر به توان صفر معمولاً در آنالیز ریاضی (حسابان) مبهم است، اما در جبر، ترکیبیات، یا نظریه مجموعه‌ها، برابر با یک در نظر گرفته می‌شود.
بر اساس رای ۹۴ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرس
۱۱ دیدگاه برای «هر عدد به توان صفر | صفر به توان هر عدد — به زبان ساده و با مثال»

سلام وقت شما بخیر باشه
به عنوان مثال، ۵ به توان چه عددی برابر با صفر میشود؟

جناب سراج عزیز خدا قوت بسیار کار امد و دقیق

سلام محمد عزیز.
از پیام محبت‌آمیزتان بسیار سپاسگزاریم.
سالم و سربلند باشید.

سلام
ببخشید در قسمت با تقسیم طرفین بر ….، در مخرج یک a اضافی هست

سلام یه دلیل منطقی بیارید که ۰ عدد زوج چون وقتی هیچی توی یه ظرف نیست چطوری میخوایم اون رو بین بقیه تقسیم کنیم

سلام مانی عزیز.
متن اصلاح شد.
سپاس از همراهی و بازخورد دقیقتان.
شاد و پیروز باشید.

صفر به توان صفر چند میشه؟

با اینکه نمیفهمم ولی یک😔

با درود و سپاس
ظاهرا یک اشتباه تایپی دررمتن وجود دارد ـ
در مثالهای اولیه به جای 1.3 به توان صفر
تایپ شده 1.3×0=1

سلام.
متن بازبینی و اصلاح شد.
سپاس از همراهی و بازخوردتان.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *