نماد علمی چیست؟ — به زبان ساده

نماد علمی که به آن حالت استاندارد نیز می‌گویند، یکی از روش‌های رایج در ریاضیات و فیزیک برای نمایش اعداد بزرگ و کوچک است. در کنار نماد علمی، نماد مهندسی نیز حضور دارد. این مطلب به صورت دقیق و با استفاده از چند مثال به بررسی این دو نماد و شیوه استفاده از آن‌ها می‌پردازد. همچنین نحوه نام‌گذاری و کاربرد آن‌ها در مسائل مختلف و با جزئیات مورد مطالعه قرار می‌گیرد.

نماد علمی

همانطور که اشاره شد، نماد علمی یکی از روش‌های خاص برای نوشتن اعداد است. به عنوان مثال دو عدد 700 و 4900000000 را می‌توان با استفاده از نماد علمی به صورت زیر نمایش داد.

در واقع این نماد، استفاده و نمایش اعداد بزرگ و کوچک را بسیار ساده می‌کند. در ادامه با استفاده از چند مثال، شیوه استفاده از این نماد برای نمایش اعداد مختلف را مورد بررسی قرار می‌دهیم.

مثال 1

عدد 700 را به فرم نماد علمی بنویسید.

ابتدا این عدد را به صورت حاصل ضرب یک عدد بین یک تا ده (در اینجا این عدد برابر با 7 است) در یکی از توان‌های 10 (در اینجا توان دوم 10 یعنی 100 مورد نظر ما است) می‌نویسیم. این موضوع در رابطه زیر به خوبی نشان داده شده است.

حال عدد 100 به به صورت توان دوم 10 می‌نویسیم و عبارت بالا را به شکل زیر بازنویسی می‌کنیم.

بنابراین با استفاده از روندی که در بالا توضیح داده شد، عدد 700 را می‌توان به صورت نماد علمی یعنی به فرم $$7 \times 10 ^ 2$$ نمایش داد. این دو عدد یعنی 700 و $$7 \times 10 ^ 2$$ مقادیر یکسانی دارند و تنها شیوه نمایش آن‌ها متفاوت است.

مثال 2

عدد 4900000000 را به صورت نماد علمی بنویسید.

توجه کنید که عبارت 1000000000 را می‌توان به صورت زیر بیان کرد.

بنابراین 4900000000 را می‌توان به صورت ضرب یک عدد بین یک تا ده یعنی 4.9 در 10⁹ نوشت. این موضوع را می‌توان به صورت زیر نمایش داد.

بنابراین همانطور که در دو مثال بالا نیز نمایش داده شد، برای نوشتن یک عدد به فرم نماد علمی، عدد را به صورت حاصل ضرب دو بخش در هم می‌نویسیم.

بخش اول تنها از یک عدد تشکیل شده است. این عدد در بین دو عدد یک و ده قرار دارد. بنابراین در مثال بالا (نوشتن عدد 4900000000 به فرم نماد علمی) بخش اول نماد علمی به صورت یک عدد بین یک و ده یعنی 4.9 نوشته می‌شود.

بخش دوم در نماد علمی، به صورت توان‌دار از 10 نشان داده می‌شود. این بخش در مثال بالا برابر با 10⁹ است.

مطابق توضیحات بالا، دو بخش نماد علمی برای عدد 5326.6 را می‌توان مطابق رابطه زیر نمایش داد.

توجه کنید که عدد 10 در بخش دوم نماد علمی را می‌توان با استفاده از نماد E یا e نیز نمایش داد. این نحوه نمایش در کامپیوترها، کدهای مهندسی و برخی از منابع ریاضی به صورت رایج استفاده می‌شود.

بنابراین با توجه به توضیحاتی که در بالا داده شد، عبارت $$6 \times 10 ^ 5$$ را می‌توان به صورت 6e+5 نیز نمایش داد. این موضوع در رابطه زیر نیز به خوبی نشان داده شده است.

به عنوان یک مثال دیگر می‌توان عدد 31200 را در نظر گرفت. این عدد را می‌توان در نماد علمی به صورت $$3.12 \times 10 ^ 4$$ یا 3.12e4 نمایش داد. این موضوع در رابطه زیر نیز به خوبی نشان داده شده است.

هنگام محاسبه یک عدد به صورت نماد علمی، به سه نکته بسیار مهم باید توجه کرد.

نکته اول این است که اگر عددی که می‌خواهیم آن را به صورت نماد علمی بنویسیم، بزرگتر از ۱۰ باشد (به عنوان مثال 4950.6)، توان ۱۰ در رابطه نماد علمی، عددی مثبت خواهد بود.

نکته دوم این است که اگر عددی که قرار است آن را به صورت نماد علمی بنویسیم کوچکتر از 1 باشد (به عنوان مثال 0.007)، توان 10، عددی منفی خواهد بود.

نکته سوم نیز این است که اگر عددی که قرار است آن را به صورت نماد علمی بنویسیم بین 1 و 10 باشد (توجه کنید که خود 10 منظور ما نیست. به عنوان مثال 4.9 عددی بین ۱ و ۱۰ است)، توان 10، برابر با صفر خواهد بود. شیوه استفاده از این سه نکته در دو مثال زیر به خوبی مورد بررسی قرار گرفته است.

مثال 3

عدد 0.0055 را به صورت نماد علمی بنویسید.

همانطور که اشاره شد، زمانی که عدد ما، کمتر از 1 باشد، توان ۱۰ در حالت نماد علمی منفی خواهد بود. بنابراین با توجه به این نکات، در گام اول قسمت اول موجود در نماد علمی که یک عدد بین یک تا ده است را مشخص می‌کنیم. این عدد برابر با 5.5 خواهد بود.

در گام دوم توان عدد 10 موجود در نماد علمی را مورد مطالعه قرار می‌دهیم. در اینجا می‌توان‌دارم عدد 0.0055 را به صورت حاصل ضرب عدد 5.5 در عدد 0.001 بنویسیم. بنابراین فرم نهایی روند بیان شده به صورت زیر قابل نمایش است.

مثال 4

عدد 3.2 را به صورت نماد علمی بنویسید.

همانطور که در بالا اشاره شد، زمانی که عدد ما بین یک و ده باشد، توان 10 برابر با صفر خواهد بود. بنابراین این عدد را می‌توان به صورت زیر و با استفاده از نماد علمی نمایش داد.

نکته بسیار مهمی که باید به آن توجه کنید این است که بعد از محاسبه عدد در حالت نماد علمی، حتما چک کنید که بخش اول، عددی میان یک و ده باشد. توجه کنید که این عدد می‌تواند برابر با یک باشد ولی هرگز برابر با ده نخواهد بود.

دلیل استفاده از نماد علمی برای نمایش اعداد

در قسمت‌های قبل نیز اشاره شد که وقتی از نماد علمی برای نمایش اعداد استفاده می‌شود، نمایش آن عدد بسیار راحت خواهد بود. بنابراین نمایش اعداد بسیار بزرگ و بسیار کوچک با استفاده از نماد علمی بسیار راحت است. این اعداد به صورت رایح در علوم مختلف و کارهای مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرند.

برای مثال نمایش عدد 0.0000000013 به فرم $$1.3 \times 10 ^ {-9}$$ بسیار راحت‌تر است. نکته بسیار مهم دیگری که باید به آن اشاره کرد این است که انجام محاسبات روی اعداد با استفاده از نماد علمی بسیار ساده‌تر خواهد بود. این موضوع در مثال زیر به خوبی مورد بررسی قرار گرفته است.

مثال 5

قطعه بسیار کوچکی در کامپیوتر موجود است که طول، عرض و ارتفاع آن به ترتیب با اعداد 0.00000256، 0.00000014 و 0.000275 نشان داده می‌شوند. اعداد بیان شده در واحد متر هستند. حجم این قطعه را بیابید.

در قدم اول، طول، عرض و ارتفاع را به صورت نماد علمی نمایش می‌دهیم. این موضوع در روابط زیر به خوبی نشان داده شده است.

در قدم بعدی، قسمت اول موجود در نماد علمی هرکدام از اعداد بالا یعنی 2.56، 1.4 و 2.75 را در یکدیگر ضرب می‌کنیم. رابطه زیر حاصل ضرب این سه عدد را نمایش داده است.

در انتها نیز قسمت دوم موجود در نماد علمی یعنی اعداد توان‌دار با پایه 10 را در یکدیگر ضرب می‌کنیم. این موضوع در رابطه زیر به خوبی مورد مطالعه قرار گرفته است.

برای محاسبه ضرب بالا از نکات موجود در ضرب اعداد توان‌دار با پایه یکسان استفاده شده است. طبق این نکات، ضرب چند عدد توان‌دار در یکدیگر با پایه یکسان (مثلا 10) برابر با عددی با همان پایه (در اینجا پایه برابر با 10 است) خواهد بود و توان این عدد نهایی برابر با مجموع توان اعداد اولیه است.

بنابراین طبق روند توضیح داده شده و محاسبات بالا، حجم این محصول کامپیوتری برابر با عدد زیر خواهد بود.

توجه کنید که اگر عدد اول عبارت بالا (9.856) بیشتر از 10 می‌شد، باید دوباره آن را به فرم نماد علمی می‌نوشتیم. یکی دیگر از کاربردهایی که با استفاده از آن می‌توان اهمیت استفاده از نماد علمی را نشان داد، در مثال زیر مورد بررسی قرار گرفته است.

مثال 6

جرم خورشید با استفاده از نماد علمی برابر با $$1.988 \times 10 ^ {30} \enspace kg$$ است. این عدد را به صورت معمولی با استفاده از عدد زیر نمایش می‌دهند.

بنابراین همانطور که در این مثال نیز به وضوح نشان داده شد، نمایش اعداد بزرگ به کمک نماد علمی، درک و بیان آن عدد و همچنین استفاده از آن را بسیار ساده می‌کند.

نماد مهندسی

نماد مهندسی بسیار شبیه به نماد علمی است و تنها تفاوت میان آن‌ها این است که توان عدد 10 در نماد مهندسی تنها ضرایب 3 مانند 3، 3- و 12 را در بر می‌گیرد.

در اینجا نیز مانند نماد علمی، نمایش عدد از دو بخش تشکیل می‌شود. بخش اول یک عدد در محدوده 1 تا 1000 است. مشابه حالت قبل می‌توان بیان کرد که این عدد می‌تواند مقداری برابر با یک داشته باشد ولی به هیچ وجه نباید برابر با 1000 یا بیشتر از آن باشد.

بخش دوم نیز همانطور که اشاره شد یک عدد توان‌دار در پایه 10 است و مقدار توان آن مضربی از سه در نظر گرفته می‌شود. این موضوع با استفاده از مثال زیر به خوبی نشان داده شده است.

مثال 7

عدد 0.00012 را به صورت نماد مهندسی بنویسید.

ابتدا قسمت اول این عدد را طوری تعیین می‌کنیم که توان عدد 10 در قسمت دوم ان مضربی از سه باشد. توجه شود که برای آن‌که قسمت اول در نماد مهندسی این عدد بین 1 تا ۱۰۰۰ باشد، توان عدد ۱۰ تنها می‌تواند برابر با 6- در نظر گرفته شود. بنابراین این عدد را می‌توان به صورت حاصل ضرب 120 در ^6-10 بیان کرد. این موضوع با استفاده از عبارت زیر نمایش داده شده است.

توجه کنید که در فیزیک و مهندسی توان‌های مختلف 10 که مضرب 3 هستند، نام‌گذاری‌های مختلفی دارند. برای مثال 10³ را با کیلو نشان می‌دهند و 10⁶ نشان‌دهنده مگا است. به همین ترتیب می‌توان گیگا، ترا و پتا را با نماد 10⁹، 10¹² و 10¹⁵ نمایش داد. همچنین توان‌های منفی نیز با نام‌های مختلفی قابل بیان و نام‌گذاری هستند. این نام‌گذاری‌ها در جدول زیر به خوبی بیان شده‌اند.

با توجه به توضیحاتی که در بالا داده شد، مقدار 19300 متر را می‌توان با نماد مهندسی $$19.3 \times 10 ^ {3} \enspace m$$ نمایش داد. این عدد برابر با 19.3km است.

به عنوان یک مثال دیگر برای نام‌گذاری اعداد مختلف با نماد مهندسی می توان 0.00012 ثانیه را در نظر گرفت. این عدد را می‌توان با نماد مهندسی $$120 \times 10 ^ {-6} \enspace s$$ نشان داد که برابر با 120 میکروثانیه است.

بنابراین همانطور که نشان داده شد، نمایش اعداد بزرگ و کوچک با استفاده از نماد علمی، تحلیل مسئله و درک آن را بسیار ساده‌تر خواهد کرد. همچنین شیوه دیگری از نمایش اعداد، مانند نمایش اعداد با استفاده از نماد علمی وجود دارد که به آن، نماد مهندسی گفته می‌شود. توان‌های مختلف عدد ۱۰ در نماد مهندسی اسامی مختلفی نیز دارند که درک فیزیکی پدیده مورد نظر را بسیار ساده می‌کنند. برای مثال اندازه 1 کیلومتر یک مقدار شناخته شده برای اکثر افراد است. این شیوه نام‌گذاری یعنی استفاده از پیشوند کیلو، از نماد مهندسی گرفته شده است.

این مطلب ابتدا به صورت دقیق و با استفاده از چندین مثال نماد علمی و شیوه استفاده از آن را مورد بررسی قرار داد. در ادامه کاربردهای مختلف نماد علمی نشان داده شد و در انتهای مطلب نیز نماد مهندسی و شیوه استفاده از آن به کمک چند مثال و به صورت دقیق مورد بررسی قرار گرفت.