نقطه بحرانی در ریاضیات — به زبان ساده

در مطالب قبلی وبلاگ فرادرس، مباحث مختلف مربوط به مشتق، مانند مشتق جزئی به صورت دقیق مورد مطالعه قرار گرفت. با بررسی اکثر مباحث موجود در ریاضیات پایه متوجه می‌شویم که یکی از مباحث بسیار مهم پر کاربرد در ریاضیات، مبحث نقطه بحرانی است. مفهوم نقطه بحرانی در ریاضیات در بسیاری از مسائل ریاضی برای یافتن ماکزیمم و مینیمم توابع مختلف مورد استفاده قرار می‌گیرد.

این مطلب به بررسی مفهوم نقطه بحرانی در ریاضیات می‌پردازد. همچنین در ادامه به کمک چندین مثال، شیوه یافتن نقطه بحرانی به صورت دقیق و در حالات مختلف، مورد بررسی قرار می‌گیرد.

نقطه بحرانی چیست؟

همانطور که اشاره شد، نقطه بحرانی کاربرد بسیار زیادی در ریاضیات دارد و برای رسم توابع مختلف و همچنین محاسبه ماکزیمم و مینیمم این توابع، از مفهوم نقطه بحرانی استفاده می‌شود. این مفهوم را می‌توان به صوت زیر تعریف کرد.

تابعی مانند $$ f \left ( x \right )$$ را در نظر بگیرید. نقطه $$ x = c $$، نقطه بحرانی این تابع است در صورتی که مقدار تابع $$ { f } $$ در این نقطه، یعنی $$ { f \left ( c \right ) } $$، موجود باشد و همچنین یکی از دو شرط زیر برقرار باشد.

شرط اول:

شرط اول این است که مشتق تابع $$ { f } $$ در نقطه $$ x = c $$ برابر با صفر باشد. این موضوع در رابطه زیر نشان داده شده است.

$$ { \large f ^ \prime \left ( c \right ) = 0 } $$

شرط دوم:

شرط دوم این است که مشتق تابع $$ { f } $$ در نقطه $$ x = c $$ یعنی $$ { f ^ \prime \left ( c \right ) } $$ موجود نباشد.

در واقع همانطور که بیان شد، برای آنکه بتوان $$ { x = c } $$ را به عنوان نقطه بحرانی تابع $$ f $$ در نظر گرفت، $$ { f \left ( c \right ) } $$ حتما باید موجود باشد و همچنین یکی از دو شرط بالا نیز برقرار باشد. توجه کنید که معمولا در مسائل مختلف شرط موجود بودن مقدار تابع در نقطه $$ { x = c } $$ فراموش می‌شود. بنابراین فراموش نکنید که شرط لازم برای بررسی یک نقطه به عنوان نقطه بحرانی این است که مقدار تابع در نقطه مورد نظر موجود باشد.

بر این اساس تمام نقاط بحرانی یک تابع در دامنه آن تابع حضور دارند. برای آشنایی با شیوه محاسبه دامنه یک تابع به مطلب «دامنه و برد تابع — به زبان ساده» مراجعه کنید. نکته مهم دیگری که باید به آن اشاره کرد این است که در این مطلب با اعداد حقیقی سر و کار داریم و اعداد مختلط در این مطلب نادیده گرفته می‌شوند. در ادامه به صورت دقیق به بررسی مثال‌های مختلف مربوط به نقطه بحرانی پرداخته می‌شود و شیوه یافتن نقاط بحرانی یک تابع در قالب چند مثال مورد بررسی قرار می‌گیرد.

مثال 1

نقاط بحرانی تابع زیر را به دست بیاورید.

$$ { \large f \left ( x \right ) = 6 { x ^ 5 } + 3 3 { x ^ 4 } - 3 0 { x ^ 3 } + 1 0 0 } $$

گام اول برای محاسبه نقطه بحرانی این است که از تابع فوق، مشتق بگیریم. در ادامه برای حل کردن معادله $$ { f ^ { \prime } \left ( x \right ) = 0 } $$ نیاز به استفاده از اتحادهای مختلف و فاکتورگیری داریم. توجه کنید که برای آموزش شیوه فاکتورگیری می‌توانید به مطلب «اتحاد و تجزیه در ریاضی — به زبان ساده» مراجعه کنید. روندی که در بالا توضیح داده شد به شکل زیر قابل بیان است.

$$ { \large \begin {align*} f ^ \prime \left ( x \right ) & = 3 0 { x ^ 4 } + 1 3 2 { x ^ 3 } - 9 0 { x ^ 2 } \\ & = 6 { x ^ 2 } \left ( { 5 { x ^ 2 } + 2 2 x - 1 5 } \right ) \\ & = 6 { x ^ 2 } \left ( { 5 x - 3 } \right ) \left ( { x + 5 } \right ) \end {align*} } $$

بنابراین همانطور که مشاهده می‌شود، عبارت نهایی به صورت یک چند جمله‌ای است و برای به دست آوردن نقطه بحرانی کافی است که این عبارت را برابر با صفر قرار دهیم. بنابراین باید رابطه فوق را برابر با صفر قرار دهیم و معادله حاصل را حل کنیم. این معادله را می‌توان به شکل زیر بیان کرد.

$$ { \large 6 { x ^ 2 } \left ( { 5 x - 3 } \right ) \left ( { x + 5 } \right ) = 0 } $$

از آنجایی که رابطه بالا به فرم حاصل ضرب چند عبارت نوشته شده، در صورتی که هرکدام از عبارات برابر با صفر باشد، کل عبارت برابر با صفر می‌شود. بنابراین هر سه عبارت $$ { 6 { x ^ 2 } } $$، $$ { 5 x - 3 } $$ و $$ { x + 5 } $$ را برابر با صفر قرار می‌دهیم. بر این اساس، سه معادله نهایی به شکل زیر در می‌آیند.

 $$ { \large 6 { x ^ 2 } = 0 } $$

 $$ { \large 5 x - 3 = 0 } $$

 $$ { \large x + 5 = 0 } $$

بنابراین سه نقطه بحرانی تابع صورت سوال را می‌توان به شکل زیر بیان کرد.

 $$ { \large x = - 5 , \, \, \, \, \, \, x = 0 , \, \, \, \, \, \, x = \frac { 3 } { 5 } } $$

توجه کنید که هر سه نقطه بالا در دامنه تابع این مسئله حضور دارند.

نقطه بحرانی توابع رادیکالی و کسری

همانطور که در بخش قبل مشاهده کردید، یافتن نقطه بحرانی یک تابع که به صورت چند جمله‌ای بیان شده، بسیار ساده است. دلیل این موضوع این است که معمولا فاکتور گرفتن از یک عبارت چند جمله‌ای کار ساده‌ای محسوب می‌شود. اما توجه کنید که همواره ما با چند جمله‌ای‌ها سر و کار نداریم و در برخی حالات ممکن است یافتن نقطه بحرانی یک تابع مشکل به نظر برسد. برخی از این توابع، توابع رادیکالی و توابع کسری هستند.

برای آشنایی با این توابع به مثال‌های زیر توجه کنید.

مثال 2

نقاط بحرانی تابع زیر را به دست آورید.

$$ { \large { g \left ( t \right ) = \sqrt [ 3 \ \ \ \ \leftroot 1 ] { t ^ 2 } \left ( { 2 t - 1} \right ) } } $$

برای محاسبه نقاط بحرانی تابع فوق، ابتدا باید از این تابع مشتق بگیریم. همچنین توجه کنید که مشتق گرفتن از این تابع، کار پیچیده‌ای به نظر می‌رسد. بر این اساس در گام اول، تابع نشان داده شده را به شکل ساده‌تری می‌نویسیم. بنابراین داریم:

 $$ { \large g \left ( t \right ) = { t ^ { \frac { 2 } { 3 } } } \left ( { 2 t - 1 } \right ) = 2 { t ^ { \frac { 5 } { 3 } } } - { t ^ { \frac { 2 } { 3 } } } } $$

در ادامه از تابع فوق مشتق می‌گیریم. این موضوع در رابطه زیر به خوبی نشان داده شده است.

 $$ { \large g ^ \prime \left ( t \right ) = \frac { { 1 0 } } { 3 }{ t ^ { \frac { 2 } { 3 } } } - \frac { 2 } { 3 } { t ^ { - \frac { 1 } { 3 } } } } $$

برای محاسبه پاسخ این مسئله باید دقت بسیار زیادی انجام دهیم. در واقع از آنجایی که با توان منفی مواجه شدیم، بهترین راه این است که توان منفی را حذف و عبارت را به مخرج کسر منتقل کنیم. این موضوع در رابطه زیر نشان داده شده است.

 $$ { \large g ^ \prime \left ( t \right ) = \frac { { 1 0 } } { 3 }{ t ^ { \frac { 2 } { 3 } } } - \frac { 2 } { 3 } { t ^ { - \frac { 1 } { 3 } } } = \frac { { 1 0 { t ^ { \frac { 2 } { 3 } } } } } { 3 } - \frac { 2 } { { 3 { t ^ { \frac { 1 } { 3 } } } } } } $$

بنابراین همانطور که مشاهده می‌شود، عبارت $$ { t ^ { 1 \over 3 } } $$ در مخرج کسر حضور دارد. بنابراین مشتق تابع یعنی  $$ { g ^ \prime } $$ در نقطه $$ { t = 0} $$ موجود نیست و این نقطه یکی از نقاط بحرانی تابع  $$ { g } $$ محسوب می‌شود. توجه کنید که یکی از مباحث مهم این است که شما بدانید چرا یک نقطه به عنوان نقطه بحرانی در نظر گرفته می‌شود. در واقع نقطه $$ { t = 0} $$ یک نقطه بحرانی برای تابع این مثال است و دلیل این موضوع این است که مشتق تابع در این نقطه وجود ندارد.

همانطور که مشاهده می‌شود، نقطه بحرانی که در آن، مشتق تابع وجود ندارد مورد محاسبه قرار گرفت. بنابراین در ادامه به دنبال یافتن نقطه بحرانی هستیم که در آن مشتق تابع برابر با صفر است. بر این اساس، مشتق تابع را به شکل ساده شده زیر و مانند یک کسر گویا می‌نویسیم.

 $$ { \large g ^ \prime \left ( t \right ) = \frac { { 1 0 t - 2 } }{ { 3 { t ^ { \frac { 1 } { 3 } } } } } } $$

در ادامه برای یافتن نقاط بحرانی دیگر این تابع، کسر فوق را برابر با صفر قرار می‌دهیم و ریشه‌های آن را محاسبه می‌کنیم. همانطور که مشاهده می‌شود، زمانی که $$ { t = \frac { 1 } { 5 } } $$ است، مشتق تابع g یعنی $$ { g ^ \prime } $$ برابر با صفر می‌شود. بنابراین این تابع دو نقطه بحرانی دارد که در رابطه زیر بیان شده‌اند.

 $$ { \large t = 0 \hspace { 0.5 in } \, , \, \hspace { 0.5 in } t = \frac { 1 } { 5 } } $$

نکته مهمی که باید به آن توجه کنید، این است که این دو نقطه در دامنه تابع صورت سوال قرار دارند.

مثال 3

نقاط بحرانی تابع زیر را محاسبه کنید.

 $$ { \large R \left ( w \right ) = \frac { { { w ^ 2 } + 1 } } { { { w ^ 2 } - w - 6 } } } $$

همانطور که در دو مثال قبل بیان شد، برای محاسبه نقاط بحرانی این تابع، ابتدا باید از آن مشتق بگیریم. این موضوع در رابطه زیر نشان داده شده است.

 $$ { \large R ^ \prime \left ( w \right ) = \frac{ { - {w ^ 2 } - 14 w + 1 } } { { { { \left ( { { w ^ 2 } - w - 6 } \right ) } ^ 2 } } } = - \frac { { { w ^ 2 } + 1 4 w - 1 } } { { { { \left ( { { w ^ 2 } - w - 6 } \right ) } ^ 2 } } } } $$

برای یافتن نقاط بحرانی، در ابتدا به بررسی نقاطی می‌پردازیم که مشتق تابع در آن نقاط وجود ندارد. این نقاط ریشه‌های مخرج عبارت فوق هستند. در واقع زمانی که مخرج مشتق فوق برابر با صفر باشد، مشتق وجود ندارد. بنابراین ابتدا باید مخرج را تجزیه کنیم. این موضوع در رابطه زیر نشان داده شده است.

 $$ { \large { w ^ 2 } - w - 6 = \left ( { w - 3 } \right ) \left ( { w + 2 } \right ) = 0 } $$

بنابراین ریشه عبارت فوق برابر با $$ { w = 3 } $$ و $$ { w = - 2 } $$ هستند. توجه کنید این دو عدد، ریشه مخرج تابع $$ { R ( w ) } $$ نیز هستند. بنابراین این دو عدد، در دامنه تابع وجود ندارند و نقطه بحرانی محسوب نمی‌شوند.

در ادامه به دنبال یافتن حالاتی هستیم که در آن، مشتق تابع داده شده، برابر با صفر است. بنابراین صورت کسر مشتق را مانند رابطه زیر برابر با صفر قرار می‌دهیم.

 $$ { \large w ^ 2 + 1 4 w − 1 = 0 } $$

این یک عبارت درجه دو است که ریشه‌های آن را می‌توان با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد.

 $$ { \large \begin {align*} w = \frac { { - 1 4 \pm \sqrt { { { \left ( { 1 4 } \right ) } ^ 2 } - 4 \left ( 1 \right ) \left ( { - 1 } \right ) } } } { { 2 \left ( 1 \right ) } } & = \frac { { - 1 4 \pm \sqrt { 2 0 0 } } } { 2 } \\ & = \frac { { - 1 4 \pm 1 0 \sqrt 2 } } { 2 } \\ & = - 7 \pm 5 \sqrt 2 \end {align*} } $$

بنابراین تنها دو نقطه بحرانی در این تابع وجود دارد که این دو نقطه در رابطه بالا محاسبه شدند و به صورت خلاصه به شکل زیر قابل نمایش هستند.

$$ { \large w = - 7 + 5 \sqrt 2 , \, \, \, \, \, w = - 7 - 5 \sqrt 2 } $$

همانطور که در این مثال بیان شد، مهم‌ترین نکته این است که نقاط بحرانی محاسبه شده، در دامنه تابع اصلی نیز حضور داشته باشند.

نقطه بحرانی توابع مثلثاتی و نمایی

در بسیاری از حالات ممکن است با چندجمله‌ای‌ها و توابع کسری در ارتباط نباشیم و در تابع ما چند ترم شامل توابع نمایی و مثلثاتی حضور داشته باشد. بنابراین در این قسمت به بررسی این نوع از توابع پرداخته می‌شود.

مثال 4

نقطه بحرانی تابع زیر را محاسبه کنید.

 $$ { \large y = 6 x - 4 \cos \left ( { 3 x } \right ) } $$

در ابتدا برای محاسبه نقاط بحرانی تابع فوق، از طرفین این تابع مشتق می‌گیریم. بنابراین داریم:

 $$ { \large y ^ \prime = 6 + 12 \sin \left ( { 3 x } \right ) } $$

همانطور که مشاهده می‌شود، تابع مشتق در تمام نقاط موجود است. بنابراین باید به دنبال نقاطی باشیم که در آن نقاط، مشتق تابع برابر با صفر است. بنابراین $$ { y ^ \prime } $$ را برابر با صفر قرار می‌دهیم و معادله حاصل را به شکل زیر ساده می‌کنیم.

 $$ { \large \begin {align*} 6 + 1 2 \sin \left ( { 3 x } \right ) & = 0 \end {align*} } $$

$${ \large \begin {align*} \sin \left ( { 3 x } \right ) & = - \frac { 1 } { 2 } \end {align*} } $$

پاسخ این معادله مثلثاتی را می‌توان به شکل زیر بیان کرد.

 $$ { \large \begin {align*} 3 x & = 3 . 6 6 5 2 + 2 \pi n , \hspace { 0.25 in } n = 0 , \pm 1 , \pm 2 , \ldots \\ 3 x & = 5 . 7 5 9 6 + 2 \pi n ,\hspace { 0.25 in } n = 0 , \pm 1 , \pm 2 , \ldots \end {align*} } $$

توجه کنید که با توجه به دوره تناوب توابع مثلثاتی باید حتما عبارت $$ { 2 \pi n } $$ بیان شود و در صورتی که این عبارت بیان نشود، تعداد زیادی از پاسخ‌های معادله مثلثاتی فوق را از دست می‌دهیم. بنابراین عبارت $$ x $$ که نقاط بحرانی تابع را نمایش می‌دهد به شکل زیر قابل بیان است.

 $$ { \large \begin {align*} x & = 1 . 2 2 1 7 + \frac { { 2 \pi n } } { 3 } , \hspace { 0.5 in } n = 0 , \pm 1 , \pm 2 , \ldots \\ x & = 1 . 9 1 9 9 + \frac { { 2 \pi n } }{ 3 } , \hspace { 0.5 in } n = 0 , \pm 1 , \pm 2 , \ldots \end {align*} } $$

همانطور که مشاهده می‌شود، تعداد بینهایت نقطه بحرانی برای تابع موجود در این مثال وجود دارد و این موضوع در برخی از حالات و توابع ممکن است رخ دهد و به هیچ وجه نگران کننده نیست.

مثال 5

نقطه بحرانی تابع زیر را محاسبه کنید.

 $$ { \large h \left ( t \right ) = 1 0 t { { \bf { e } } ^ { 3 - { t ^ 2 } } } } $$

برای محاسبه نقطه بحرانی تابع فوق، در ابتدا باید از این تابع مشتق بگیریم. این موضوع در رابطه زیر بیان شده است.

 $$ { \large \begin {align*} h ^ \prime \left ( t \right ) & = 1 0 { { \bf { e } } ^ { 3 - { t ^ 2 } } } + 1 0 t { { \bf { e } } ^ { 3 - { t ^ 2 } } } \left ( { - 2 t } \right ) \\ & = 1 0 { { \bf { e } } ^ { 3 - { t ^ 2 } } } - 2 0 { t ^ 2 } { { \bf { e } } ^ { 3 - { t ^ 2 } } } \end {align*} } $$

همانطور که مشاهده می‌شود، تابع فوق اندکی پیچیده به نظر می‌رسد و برای بررسی راحت‌تر آن بهتر است که با اعمال فاکتورگیری، اندکی تابع داده شده را به فرم ساده‌تری بنویسیم. بنابراین داریم:

 $$ { \large h ^ \prime \left ( t \right ) = 1 0 { { \bf { e } } ^ { 3 - { t ^ 2 } } } \left ( { 1 - 2 { t ^ 2 } } \right) } $$

بنابراین مشتق این تابع همواره موجود است و تنها باید به دنبال نقاطی باشیم که در آن نقاط، مشتق تابع صورت سوال برابر با صفر باشد. از آنجایی که $$ { \bf { e } } ^ { 3 - { t ^ 2 } } $$ برابر با صفر نمی‌شود، می‌توان نتیجه گرفت که برای صفر بودن مشتق تابع، کافی است که ریشه عبارت  $$ { \left ( { 1 - 2 { t ^ 2 } } \right) } $$ را محاسبه کنیم. این موضوع در رابطه زیر به خوبی بیان شده است.

$$ { \large \begin {align*} 1 - 2 { t ^ 2 } & = 0 \end {align*} } $$

$$ { \large \begin {align*} 1 & = 2 { t ^ 2 } \end {align*} } $$

$$ { \large \begin {align*} \frac { 1 } { 2 } & = { t ^ 2 } \end {align*} } $$

پاسخ رابطه فوق را می‌توان به شکل زیر بیان کرد.

 $$ { \large t = \pm \frac { 1 } { { \sqrt 2 } } } $$

در مثال بعد نیز به بررسی نقاط بحرانی یک تابع در حالتی که تابع مورد نظر به صورت ضرب دو تابع نوشته شده باشد می‌پردازیم. در واقع در مثال بعدی، تابع مورد نظر به صورت حاصل ضرب یک چند جمله‌ای در یک تابع نمایی نوشته شده است.

مثال 6

نقطه بحرانی تابع زیر را محاسبه کنید.

 $$ { \large f \left ( x \right ) = { x ^ 2 } \ln \left ( { 3 x } \right ) + 6 } $$

قبل از اینکه به بررسی نقطه بحرانی و مشتق گرفتن از تابع بپردازیم، بهتر است که دامنه تابع را تعیین کنیم. همانطور که می‌دانیم دامنه یک تابع لگاریتمی تنها شامل اعداد مثبت است، بنابراین تنها نقاط بحرانی قابل قبول است که در محدود  $$ { x > 0 } $$ قرار بگیرند.

حال برای محاسبه نقاط بحرانی، از تابع فوق مشتق می‌گیریم. این موضوع در رابطه زیر نشان داده شده است.

 $$ { \large \begin {align*} f ^ { \prime } \left ( x \right ) & = 2 x \ln \left ( { 3 x } \right ) + { x ^ 2 } \left ( { \frac { 3 } { { 3 x } } } \right ) \\ & = 2 x \ln \left ( { 3 x } \right ) + x \\ & = x \left ( { 2 \ln \left ( { 3 x } \right ) + 1 } \right ) \end {align*} } $$

با دقت به رابطه بالا متوجه می‌شویم که اگر $$ x $$ مقداری منفی داشته باشد یا $$ x = 0 $$ باشد، مشتق تابع موجود نیست. اما این نقاط، نقاط بحرانی تابع موجود در این سوال محسوب نمی‌شوند. دلیل این موضوع این است که خود تابع نیز در این نقاط تعریف نشده است و نقاط منفی و $$ x = 0 $$ در دامنه تابع قرار ندارند. بنابراین برای محاسبه نقاط بحرانی تابع فوق، تنها به دنبال حالاتی می‌گردیم که در آن‌ها، مشتق تابع برابر با صفر باشد.

از آنجایی که مقدار $$ x = 0 $$ در دامنه تابع قرار ندارد، بنابراین تنها باید به دنبال ریشه‌های عبارت $$ { 2 \ln \left ( { 3 x } \right ) + 1 } $$ باشیم. این موضوع در رابطه زیر به خوبی بیان شده است.

$$ { \large \begin {align*} 2 \ln \left ( { 3 x } \right ) + 1 & = 0 \end {align*} } $$

$$ { \large \begin {align*} \ln \left ( { 3 x } \right ) & = - \frac { 1 } { 2 } \end {align*} } $$

برای محاسبه پاسخ معادله فوق، طرفین آن را به توان عبارت نمایی e می‌رسانیم. بنابراین داریم:

 $$ { \large \begin {align*} { { \bf { e } } ^ { \ln \left ( { 3 x } \right ) } } & = { { \bf { e } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } \end {align*} } $$

$$ { \large \begin {align*} 3 x & = { { \bf { e } } ^ { - \frac {1 } { 2 } } } \end {align*} } $$

$$ { \large \begin {align*} x & = \frac { 1 } { 3 } { { \bf { e } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } = \frac { 1 } { { 3 \sqrt { \bf { e } } } } \end {align*} } $$

بر این اساس، تابع نشان داده شده در این مثال، تنها یک نقطه بحرانی دارد.

نکته بسیار مهم دیگری که باید به آن اشاره کرد این است که تمام توابع، نقطه بحرانی ندارند. بنابراین ممکن است در برخی از حالات با توابعی مواجه شویم که هیچ نقطه بحرانی در دامنه آن‌ها حضور ندارد.