مماس در مختصات قطبی — به زبان ساده

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس مختصات‌های قطبی را توضیح دادیم. هم‌چنین در ادامه مفاهیم مرتبط با مختصات قطبی هم‌چون انتگرال در این مختصات نیز ارائه شدند. در همین راستا در این مطلب قصد داریم تا در مورد نحوه بدست آوردن مماس در مختصات قطبی بحث کنیم.

خط مماس

به منظور بدست آوردن مماس در ابتدا معادله‌‌ای را در مختصات قطبی به صورت $$ r = f \left ( \theta \right ) $$ در نظر بگیرید. با این فرض می‌توان مشتق $$ \frac { d y } { d x } $$ را در مختصات قطبی، بر حسب $$r,\theta$$ ارائه کرد. بدین منظور در ابتدا رابطه‌های مربوط به تبدیل مختصا‌ت‌ها به یکدیگر را به شکل زیر یادآوری می‌کنیم.

$$\large x = r \cos \theta \ \ , \ \ y = r \sin \theta $$

فیلم آموزش هندسه ۳ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

با استفاده از تبدیلات فوق، مشتقات را می‌توان بر حسب $$r,\theta$$، به شکل زیر بیان کرد.

$$ \large \begin{align*}\frac { { dx } } { { d \theta }} & = f'\left( \theta \right)\cos \theta - f\left( \theta \right ) \sin \theta & \hspace {0.75in} \frac { { d y } }{ { d \theta } } & = f'\left( \theta \right)\sin \theta + f \left( \theta \right ) \cos \theta \\ & = \frac { {d r } }{ { d \theta } } \cos \theta - r\sin \theta & \hspace {0.75in} & = \frac{{dr}}{{d\theta }}\sin \theta + r \cos \theta \end{align*} $$

بنابراین نهایتا مشتقِ $$ \frac { d y} { d x } $$ مطابق با رابطه زیر بدست خواهد آمد.

$$ \large \frac {{ d y } }{ { d x } } = \frac { {\displaystyle \frac { {d r} } { { d \theta } } \sin \theta + r \cos \theta } } { {\displaystyle \frac { { dr } } { {d \theta } } \cos \theta - r \sin \theta } } $$

به منظور درک بهتر سخن را کوتاه کرده و به سراغ حل مثال‌ها می‌رویم.

مثال ۱

معادله خط مماس به منحنی $$ r = 3 + 8\sin \theta $$ را در زاویه $$ \displaystyle \theta = \frac{\pi }{6} $$ بدست آورید.

در اولین قدم باید المان‌های موجود در رابطه کلی را بدست آورید. بدین منظور داریم:

$$\large \frac { { d r} } { { d \theta } } = 8 \cos \theta $$

در نتیجه مشتق $$ \frac { { d y}}  {{ d x } } $$ نیز برابر است با:

$$ \large \begin {align*} \frac { { d y } } { { dx } } & = \frac { { 8 \cos \theta \sin \theta + \left( {3 + 8\sin \theta } \right)\cos \theta } } { {8 { { \cos } ^ 2 } \theta - \left( { 3 + 8\sin \theta } \right)\sin \theta } } \\\\ & = \frac { { 16\cos \theta \sin \theta + 3\cos \theta } } { { 8 {{ \cos }^2}\theta - 3\sin \theta - 8 { { \sin } ^ 2 } \theta } } \end {align*} $$

بنابراین شیب خط برابر است با:

$$ \large m = {\left. { \frac { { d y} } { {d x } } } \right|_{\theta = \frac { \pi } { 6} }} = \frac { {4 \sqrt 3 + \frac { { 3 \sqrt 3 } } { 2} } } { {4 - \frac { 3 } {2 } } } = \frac{{11\sqrt 3 } } { 5 }$$

با جایگذاری $$\theta$$ در معادله $$r$$ ارائه شده در صورت سوال، اندازه $$r=7$$ بدست می‌آید. با داشتن $$r,\theta$$،‌ مختصات‌های $$x,y$$ نیز برابر می‌شوند با:

$$ \large x = 7\cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{7\sqrt 3 }}{2} \hspace{0.5in} , \hspace{0.5in}y = 7\sin \left ( { \frac { \pi } { 6 } } \right) = \frac{7}{2}$$

بنابراین معادله خط مماس به این منحنی به صورت زیر بدست می‌آید. در تصویر زیر این منحنی و خط مماس به آن در زاویه مذکور نشان داده شده‌اند.

مثال ۲

معادله خط مماس به منحنی $$ r = \sin \left ( { 4 \theta } \right ) \cos \left ( \theta \right ) $$ را در زاویه $$ \displaystyle \theta = \frac { \pi } { 6 } $$ بدست آورید.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ در فرادرس

کلیک کنید

همانند مثال ۱، مشتق $$ r $$ نسبت به $$ \theta $$ مطابق با رابطه زیر بدست خواهد آمد.

$$ \large \frac { {d r } } { { d \theta } } = 4 \cos \left ( { 4 \theta } \right ) \cos \left ( \theta \right ) - \sin \left( { 4 \theta } \right ) \sin \left( \theta \right) $$

در مرحله بعد با استفاده از فرمول ارائه شده، مشتق $$x$$ نسبت به $$y$$ برابر خواهد بود با:

$$ \large \begin{align*}\frac { {d y } } { { d x } } & = \frac{{\displaystyle \frac{{dr}}{{d\theta } } \sin \theta + r\cos \theta } } { { \displaystyle \frac { { dr } } { { d \theta }}cos\theta - r\sin \theta } } \\ & \\ & = \frac{{\left( {4\cos \left( {4\theta } \right)\cos \left( \theta \right) - \sin \left ( { 4 \theta } \right ) \sin \left( \theta \right)} \right)\sin \theta + \left( {\sin \left( { 4 \theta } \right ) \cos \left( \theta \right)} \right)\cos \theta } } { { \left( {4\cos \left( { 4 \theta } \right)\cos \left( \theta \right) - \sin \left( {4\theta } \right)\sin \left( \theta \right)} \right)cos\theta - \left( {\sin \left( {4\theta } \right)\cos \left( \theta \right)} \right)\sin \theta }}\end{align*} $$

همان‌طور که می‌بینید رابطه فوق، رابطه‌ای با جملات زیاد است. توجه داشته باشید که معمولا در این روش، عبارت‌ مشتق، پیچیده است. از این رو باید در جایگذاری مقادیر $$r$$ و $$\theta$$ دقت لازم را داشته باشید. در ادامه این جایگذاری برای این مسئله انجام شده است.

$$ \large { \left. {\frac { { d y} } { { dx } } } \right| _ { \theta = \,\frac{\pi }{6}}} = \frac{1}{ { 3 \sqrt 3 } } \hspace {0.4in} , \hspace {0.4in} {\left. r \right|_{\theta = \frac{\pi }{6}}} = \frac { 3} { 4 } $$

دلیل بدست آوردن $$r$$ این است که برای محاسبه $$x,y$$ به مقدار آن نیاز داریم. در نتیجه مقادیر $$ x , y $$ برابرند با (در مثال ۱ این مرحله انجام نشده بود):

$$ \large x = r \cos \left ( \theta \right ) = \frac { 3 } { 4 }\cos \left( {\frac { \pi } { 6} } \right) = \frac{{3\sqrt 3 } } { 8} \hspace{0.75in} y = r \sin \left( \theta \right) = \frac{ 3 }{ 4 } \sin \left( { \frac{\pi }{6}} \right) = \frac { 3} { 8 } $$

با بدست آمدن مقادیر $$ x , y $$ معادله خط مماس برابر است با:

$$ \large \require {bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{y = \frac { 3} { 8 } + \frac { 1 }{ { 3 \sqrt 3 } } \left( {x - \frac { { 3 \sqrt 3 } }{ 8 } } \right) = \frac { 1 }{ { 3\sqrt 3 }}x + \frac{ 1} { 4 } }}$$

مثال ۳

معادله خط مماس به منحنی $$ r = \theta - \cos \left( \theta \right)$$ را در زاویه $$ \displaystyle \theta = \frac { { 3 \pi } } { 4 } $$ بدست آورید.

مشتق در مختصات قطبی برابر است با:

$$ \large \frac { {d r } } { { d \theta } } = 1 + \sin \left ( \theta \right ) $$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

در نتیجه مشتق در مختصات کارتزین نیز به صورت زیر بدست می‌آید:

$$ \large \begin{align*}\frac { { dy } } { { d x } } & = \frac{{\displaystyle \frac{{dr}}{ { d \theta } } \sin \theta + r\cos \theta } } { { \displaystyle \frac{{dr}}{{d\theta } } cos \theta - r\sin \theta } } \\ & \\ & = \frac { { \left ( {1 + \sin \left( \theta \right)} \right ) \sin \theta + \left ( { \theta - \cos \left ( \theta \right ) } \right ) \cos \theta } } { { \left( { 1 + \sin \left( \theta \right ) } \right ) cos \theta - \left ( { \theta - \cos \left( \theta \right)} \right)\sin \theta } } \end{align*}$$

همان‌طور که می‌بینید در این حالت نیز به عبارتی پیچیده رسیده‌ایم. مشتق در مختصات کارتزین و مقدار $$ r $$ نیز در این زاویه برابرند با:

$$\large { \left. { \frac { { d y } } { { d x } } } \right|_{\theta = \,\frac { { 3 \pi } } { 4 } }} = 0.2843 \hspace{0.2in} , \hspace{0.2in} {\left. r \right|_{\theta = \frac{ { 3 \pi } }{4 } } } = 3.0633 $$

در نتیجه مختصات‌های کارتزین در این زاویه به صورت زیر قابل محاسبه هستند.

$$ x = r \cos \left ( \theta \right ) = 3.0633 \cos \left ( { \frac { { 3 \pi } } { 4} } \right) = - 2.1661 \\ y = r \sin \left ( \theta \right) = 3.0633 \sin \left ( { \frac { { 3 \pi } } { 4 } } \right ) = 2.1661 $$

بنابراین نهایتا معادله خط مماس برابر می‌شود با:

$$\large \require{bbox} \bbox [2pt,border:1px solid black] { { y = 2.1661 + 0.2843 \left ( {x + 2.1661 } \right ) = 0.2843 x + 2.7819 } } $$

در صورت علاقه‌مندی به مباحث در زمینه ریاضیات، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• آموزش ریاضیات عمومی ۱
• مختصات قطبی — از صفر تا صد
• انتگرال دوگانه در مختصات قطبی — به زبان ساده
• معادله خط — به زبان ساده

^^