حل معادله درجه دو — به زبان ساده + فیلم آموزش رایگان

با استفاده از جایگزین زیر، معادله داده شده را به معادله درجه دو تبدیل می‌کنیم:

$$\begin{equation}u=\frac{1}{ \sqrt { x } } \quad u^2=\left(\frac{1}{\sqrt { x } }\right)^2=(\frac{1}{x^ { { \frac { 1 } { 2 }}}})^ 2=\frac{1}{x}\end{equation}$$

با قرار دادن جایگزین فوق در معادله $$\frac{2}{x^2}+\frac{17}{x}+21=0$$، داریم:

$$\begin{equation}
\begin{array}{r}
u^2-11 u+18=0 \\
(u-2)(u-9)=0
\end{array}
\end{equation}$$

پاسخ‌های معادله به‌دست آمده برابر $$u = 2 $$ و $$u = 9$$ است. در پایان، u را در رابطه $$u = \frac { 1 } { \sqrt { x }  } $$ قرار می‌دهیم و ریشه‌های معادله $$\frac{1}{x}-\frac{11}{\sqrt{x}}+18=0 $$ را به‌دست می‌آوریم. 

$$\begin{equation}
\begin{aligned}
& u=2: \quad \frac{1}{\sqrt{x}}=2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x}=\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4} \\
& u=9: \quad \frac{1}{\sqrt{x}}=9 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x}=\frac{1}{9} \quad \Rightarrow \quad x=\left(\frac{1}{9}\right)^2=\frac{1}{81}
\end{aligned}
\end{equation}$$

بنابراین، ریشه‌های معادله اصلی برابر هستند با:

$$\begin{equation}
x=-\frac{1}{4} \text { and } x=\frac{1}{81}
\end{equation}$$

بر طبق صورت مسئله، اتومبیل A با سرعت ۴۰ کیلومتر بر ساعت و اتومبیل B با سرعت ۶۰ کیلومتر بر ساعت حرکت می‌کنند. فرض کنید t مدت زمانی است که اتومبیل A حرکت می‌کند. اتومبیل B سه ساعت پس از اتومبیل A و از نقطه مشابهی شروع به حرکت می‌کند. این بدان معنا است که اتومبیل B در مدت زمان $$t-3 $$ حرکت می‌کند. مسیر حرکت دو اتومبیل در تصویر زیر نشان داده شده است. 

برای به‌دست آوردن مدت زمان لازم برای آن‌که فاصله دو اتومبیل از یکدیگر برابر ۵۰۰ کیلومتر شود، باید معادله مناسبی بنویسیم. به تصویر بالا توجه کنید. مسیر حرکت اتومبیل‌ها نسبت به یکدیگر به شکل مثلث قائم‌الزاویه‌ای است که وتر آن برابر ۵۰۰ کیلومتر است. بر طبق قضیه فیثاغورث، مجموع مربعات دو ضلع مجاور به وتر در مثلث قائم‌الزاویه برابر مربع وتر است. 

$$(Distance \ car \ A \ drives ) ^ 2 + (Distance \ car \ B \ drives ) ^ 2 = ( 500 ) ^ 2 = 250000 \\ D _ A ^ 2 + D _ B ^ 2 = 250000$$

بر طبق قوانین حرکت در فیزیک می‌دانیم مسافت طی شده توسط جسم برابر حاصل‌ضرب تندی جسم به مدت زمان حرکت آن است. 

$$D = V t$$

بنابراین، برای هر اتومبیل داریم:

$$D_ A = ( 40 ) ( t ) = 40 t\\ D_ B = ( 60 ) ( t - 3 ) = 60 ( t - 3 )$$

دو رابطه بالا را در رابطه $$D _ A ^ 2 + D _ B ^ 2 = 250000 $$ قرار می‌دهیم:

$$( 40 t ) ^ 2 + ( 60 ( t - 3 ))^ 2 = 250000 \\ 40 ^ 2 t ^ 2 + 60 ^ 2 ( t - 3 ) ^ 2 = 250000 \\ 1600 t ^ 2 + 3600 ( t ^ 2 - 6 t + 9 ) = 250000 \\ 1600 t ^ 2 + 3600 t ^ 2 -21600 t + 32400 = 250000 \\ 5200 t ^ 2 - 21600 t - 217600 = 0$$

به معادله درجه دو بر حسب t رسیدیم. ریشه‌های معادله را می‌توانیم با استفاده از رابطه دلتا و به صورت زیر به‌دست آوریم:

$$t_ { 1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ t = \frac{- ( -21600) \pm\sqrt{ ( -21600 )^2-4 ( 5200) (-217600)}}{2 ( 5200) } = \frac{21600 \pm\sqrt{4992640000}}{10400} \\ t_1 = \frac{-21600 -\sqrt{4992640000}}{10400} = -4.1772 , \ t_2 = \frac{21600 + \sqrt{4992640000} }{10400} = 8.8710$$

دو جواب برای t به‌دست آمده است. زمان $$t_1 $$ منفی است و از نظر فیزیکی هیچ معنایی ندارد. اما زمان $$ t _ 2 $$ مثبت و قابل‌قبول است. این بدان معنا است که در حدود ۹ ساعت پس از شروع حرکت اتومبیل A، فاصله دو اتومبیل از یکدیگر برابر ۵۰۰ کیلومتر می‌شود.

برای حل معادله درجه دو $$x ^ 2 - 8 x + 5 = 0 $$ ، از رابطه زیر استفاده می‌کنیم: 

$$x _ { 1 , 2 } = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

در معادله داده شده، مقدارهای a و b و c به ترتیب برابر یک، ۸- و ۵+ هستند. این مقدارها را در رابطه فوق قرار می‌دهیم:

$$x _ { 1 , 2 } = \frac{- ( - 8 ) \pm\sqrt{( -8 ) ^ 2 -4 ( 1 ) ( 5 )}}{2 ( 1 ) } = \frac{+ 8 \pm\sqrt{64 - 20}}{2 }\\ x_ { 1 , 2 } = \frac{ 8 \pm\sqrt{44}}{2 } \\ x_ { 1 , 2 } = \frac{ 8 \pm\ 2 \sqrt{11}}{2 } = 4 \pm \sqrt { 1 1 } $$

در نتیجه، نسبت ریشه بزرگ‌تر به کوچک‌تر یا $$\frac { x _ 1 } { x _ 2 } $$ برابر است با:

$$\frac { x _ 1 } { x _ 2 } = \frac { 4 + \sqrt { 11} } { 4 - \sqrt  { 11 }}$$

معادله $$a x^ 2 + b x + c = 0 $$ را در نظر بگیرید. این معادله دو ریشه $$x_1 $$ و $$x_2 $$ دارد که با استفاده از رابطه زیر به‌دست می‌آیند:

$$x_ { 1 , 2 } = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

حاصل جمع دو ریشه $$x_1 $$ و $$x_2 $$ به صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$x_ 1 + x_ 2 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac} -b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ = \frac { - 2 b } { 2 a } = - \ \frac { b } { a } $$

به طور مشابه، حاصل‌ضرب دو ریشه $$x_1 $$ و $$x_2 $$ نیز به صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$x_ 1 \times x_ 2 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \times \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac)}( {-b-\sqrt{b^2-4ac}})}{4a} \\ = \frac {b ^ 2 - ( b ^ 2 - 4 a c ) } { 4 a } = \frac { 4ac } { 4a } = \frac { c } { a } $$

در معادله درجه دو $$a x ^ 2 + b x + c = 0 $$ حاصل‌ضرب دو ریشه برابر $$\frac { c } { a } $$ و حاصل جمع دو ریشه برابر $$- \frac { b } { a } $$ است:

$$ef = \frac { c } { a } \\ e + f = - \ \frac { b } { a } $$

e و f ریشه‌های معادله $$ 2x ^ 2 - x - 2 = 0 $$ هستند که در آن مقدار a برابر ۲، مقدار b برابر 1- و مقدار c برابر ۲- است. برای به‌دست آوردن حاصل عبارت $$e f ^ 4 + e ^ 4 f$$ آن را به صورت زیر ساده می‌کنیم:

$$e f ^ 4 + e ^ 4 f = ef ( f ^ 3 + e ^ 3 ) , \ ( e + f ) ^ 3 = e ^ 3 + 3e^ 2 f + 3e f ^ 2 + f ^ 3 \\ ef ( f ^ 3 + e ^ 3 ) = ef ( (e + f ) ^ 3 - 3e ^ 2 f - 3e f ^ 2 \\ = ef (( e + f ) ^ 3 - 3ef ( e + f )) \\ e f ^ 4 + e ^ 4 f = ef ( ( e + f ) ^ 3 - 3 e f ( e + f ))$$

با توجه به مقدارهای a و b و c در معادله $$ 2x ^ 2 - x - 2 = 0 $$، مقدار ef برابر ۱- و مقدار e + f برابر $$\frac { 1 } { 2 } $$ است. با قرار دادن این مقدارها در رابطه بالا، حاصل $$e f ^ 4 + e ^ 4 f$$ برابر $$\frac { - 13 } { 8 } $$ به‌دست می‌آید. 

فرض کنید عرض مستطیل برابر L است. با توجه به صورت مسئله می‌دانیم که طول مستطیل، یک متر کمتر از دو برابر عرض آن و بنابراین، طول مستطیل برابر $$2 L - 1 $$ خواهد بود. مساحت مستطیل برابر حاصل‌ضرب عرض در طول آن است:

$$A = width \times length \\ 100 = ( L ) - ( 2 L - 1 )  \\ 100 = 2 L ^ 2 - L $$

معادله به‌دست آمده برای این مسئله، معادله درجه دو است. برای حل این معادله ابتدا آن را به شکل استاندارد می‌نویسیم:

$$2 L ^ 2 - L - 100 = 0 $$

برای حل معادله درجه دو، از رابطه دلتا، $$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$، استفاده می‌کنیم. با جایگزین کردن مقادیر a و b و c در رابطه دلتا، مقدار آن و سپس مقدار L را به‌دست می‌آوریم. 

$$\begin{equation}
L=\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(2)(-100)}}{2(2)}=\frac{1 \pm \sqrt{801}}{4}
\end{equation}$$

همان‌طور که در رابطه فوق مشاهده می‌شود، دو مقدار برای L به‌دست می‌آید. با ساده کردم مقدار‌های L داریم:

$$\begin{equation}
L=\frac{1-\sqrt{801}}{4}=-6.8255 \quad L=\frac{1+\sqrt{801}}{4}=7.3255
\end{equation}$$

از آنجا که طول منفی برای L معنایی ندارد، مقدار قابل‌قبول برای L برابر ۷/۳۲۵۵ و در نتیجه عرض مستطیل برابر ۷/۳۲۵۵ متر و طول آن برابر ۱۳/۶۵۱ متر است. 

با استفاده از جایگزین زیر، معادله داده شده را به معادله درجه دو تبدیل می‌کنیم:

$$\begin{equation}
u=\frac{1}{x} \quad u^2=\left(\frac{1}{x}\right)^2=\frac{1^2}{x^2}=\frac{1}{x^2}
\end{equation}$$

با قرار دادن جایگزین فوق در معادله $$\frac{2}{x^2}+\frac{17}{x}+21=0$$، داریم:

$$\begin{equation}
\begin{aligned}
2 u^2+17 u+21 & =0 \\
(2 u+3)(u+7) & =0
\end{aligned}
\end{equation}$$

پاسخ‌های معادله به‌دست آمده برابر $$u = - \ \frac { 3 } { 2 } $$ و $$u = - \ 7$$ است. در پایان، u را در رابطه $$u = \frac { 1 } { x } $$ قرار می‌دهیم و ریشه‌های معادله $$\frac{2}{x^2}+\frac{17}{x}+21=0$$ را به‌دست می‌آوریم. 

$$\begin{equation}
\begin{gathered}
u=-\frac{3}{2}: \frac{1}{x}=-\frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad x=\frac{1}{-\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3} \\
u=-7: \quad \frac{1}{x}=-7 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{1}{-7}=-\frac{1}{7}
\end{gathered}
\end{equation}$$

بنابراین، ریشه‌های معادله اصلی برابر هستند با:

$$\begin{equation}
x=-\frac{2}{3} \text { and } x=-\frac{1}{7}
\end{equation}$$