مشتق سینوس – محاسبه و فرمول مشتق Sin + مثال و تمرین

مشتق سینوس (مشتق sin) برابر با کسینوس (cos) است. سینوس یکی از توابع مثلثاتی اصلی به شمار می‌رود. این تابع، در بسیاری محاسبات هندسی و ریاضی کاربرد دارد. مشتق sin، به عنوان شیب مماس بر منحنی این تابع تعریف می‌شود. روابط متعددی برای محاسبه مشتق سینوس و توابع مرتبط با آن نظیر سینوس توان‌دار، ضرب سینوس، تقسیم سینوس، وارون سینوس، سینوس هیپربولیک و غیره وجود دارد. در این مقاله، ضمن معرفی فرمول های مشتق سینوس (sin) و توابع مرتبط با آن، چندین مثال و تمرین متنوع را حل می‌کنیم.

مشتق چیست ؟

«مشتق» (Derivative)، شیب خط مماس بر نمودار در یک نقطه خاص است. این مفهوم پرکاربرد ریاضی، به عنوان نرخ تغییرات تابع بر حسب یک متغیر نیز تعریف می‌شود.

تصویر زیر، مفهوم مشتق و پارامترهای مورد نیاز برای محاسبه آن را نمایش می‌دهد.

فرمول کلی مشتق یک تابع عبارت است از:

$$
\frac { \Delta y } { \Delta x } = \lim _ { \Delta x \to ۰ } \frac { f ( x + \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x }
$$

با استفاده از این فرمول می‌توان مشتق هر نوع تابعی را به دست آورد.

 

سینوس چیست ؟

رابطه بین ضلع‌ها و زاویه‌های مثلث قائم‌الزاویه را می‌توان بر اساس توابع مخصوصی به نام توابع مثلثاتی بیان کرد.

«سینوس» (Sine)، یکی از توابع مثلثاتی اصلی است. مثلث قائم‌الزاویه زیر را در نظر بگیرید.

بر اساس پارامترهای نمایش داده شده در تصویر بالا، سینوس زاویه θ، از تقسیم ضلع مقابل به این زاویه بر وتر به دست می‌آید.

مشتق سینوس چیست ؟

مشتق sin، شیب خط مماس بر منحنی تابع سینوس در زاویه مورد نظر است. مقدار تمام توابع سینوسی بین ۱- تا ۱ قرار دارد.

تصویر زیر، نمودار تابع سینوس در بازه ۰ تا ۲π (بازه ۰ تا ۳۶۰ درجه) را نمایش می‌دهد.

در نقطه $$ x = \frac { \pi } { ۲ } $$ (زاویه ۹۰ درجه)، خطی را بر منحنی sin(x) مماس می‌کنیم (خط سبز در تصویر پایین). همان‌طور که مشاهده می‌کنید، این خط مماس، خطی کاملا افقی با شیب ۰ است.

در مثال بالا می‌گوییم مشتق sin در نقطه $$ \frac { \pi } { ۲ } $$ برابر با ۰ است. مشتق سینوس، فرمول مختص به خود را دارد. در بخش بعدی، به معرفی این فرمول می‌پردازیم.

مشتق سینوس چگونه نمایش داده می شود ؟

در دنیای ریاضی، توابع مختلف را معمولا به صورت g(x) ،f(x) و غیره نمایش می‌دهند و برای نمایش مشتق آن، از علامت «'» در کنار عنوان تابع استفاده می‌کنند. به عنوان مثال، مشتق تابع f(x) با f'(x) نشان داده می‌شود. به علامت مشتق، «پرایم» یا «پریم» می‌گویند. مشتق f(x) را می‌توانیم به صورت زیر نیز بنویسیم:

$$ f ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } f ( x ) $$

مشتق سینوس چگونه به دست می آید ؟

مشتق سینوس، با استفاده از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
\frac { d } { d x } \sin ( x ) = \cos ( x )
$$

$$ \left ( \sin ( x ) \right ) ^ { \prime } = \cos ( x ) $$

$$
\sin ^ { \prime } ( x ) = \cos ( x )
$$

به عبارت دیگر، مشتق sin، برابر با cos است.

مثال ۱: محاسبه مشتق سینوس

مقدار عددی مشتق $$ \sin ( ۶۰ ^ { \circ } ) $$ را به دست بیاورید.

می‌دانیم که مشتق سینوس یک زاویه برابر با کسینوس آن زاویه است. بنابراین داریم:

$$
\frac { d } { d x } \sin ( ۶۰ ^ { \circ } ) = \cos ( ۶۰ ^ { \circ } )
$$

کسینوس ۶۰ درجه برابر است با:

$$
\cos ( ۶۰ ^ { \circ } ) = \frac { ۱ } { ۲ }
$$

به این ترتیب:

$$
\frac { d } { d x } \sin ( ۶۰ ^ { \circ } ) = \frac { ۱ } { ۲ }
$$

در نتیجه، مشتق سینوس ۶۰ درجه برابر با یک‌دوم است.

اثبات فرمول مشتق سینوس

به منظور اثبات فرمول مشتق سینوس، از رابطه کلی مشتق توابع استفاده می‌کنیم.

این رابطه به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
\frac { \Delta y } { \Delta x } = \lim _ { \Delta x \to ۰ } \frac { f ( x + \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x }
$$

رابطه بالا را بر حسب سینوس بازنویسی می‌کنیم:

$$
\frac { d } { d x } \sin ( x ) = \lim _ { \Delta x \to ۰ } \frac { \sin( x + \Delta x ) - \sin ( x ) } { \Delta x }
$$

بر اساس قوانین مثلثات، سینوس جمع دو زاویه ($$ \sin( x + \Delta x ) $$) از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
\sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
$$

$$
\sin( x + \Delta x ) = \sin ( x ) \cos ( \Delta x ) + \cos ( x ) \sin ( \Delta x )
$$

بنابراین، داریم:

$$
\frac { d } { d x } \sin ( x ) = \lim _ { \Delta x \to ۰ } \frac { \sin ( x ) \cos ( \Delta x ) + \cos ( x ) \sin ( \Delta x ) - \sin ( x ) } { \Delta x }
$$

عبارت کسری سمت راست معادله را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$
\frac { d } { d x } \sin ( x ) = \lim _ { \Delta x \to ۰ } \left ( \frac { \sin ( x ) \cos ( \Delta x ) - \sin ( x ) } { \Delta x } + \frac { \cos ( x ) \sin ( \Delta x ) }{ \Delta x } \right )
$$

در کسر اول، از $$ \sin ( x ) $$ و در کسر دوم، از $$ \cos ( x) $$ فاکتور می‌گیریم:

$$
\frac { d } { d x } \sin ( x ) = \lim _ { \Delta x \to ۰ } \left ( \sin ( x ) \left ( \frac { \cos ( \Delta x ) - ۱ } { \Delta x } \right ) + \cos ( x )\left ( \frac { \sin ( \Delta x ) }{ \Delta x } \right ) \right )
$$

عبارت‌های درون پرانتز را به صورت جمع دو حد می‌نویسیم:

$$
\frac { d } { d x } \sin ( x ) = \lim _ { \Delta x \to ۰ } \sin ( x ) \left ( \frac { \cos ( \Delta x ) - ۱ } { \Delta x } \right ) + \lim _ { \Delta x \to ۰ } \cos ( x ) \left ( \frac { \sin ( \Delta x ) }{ \Delta x } \right )
$$

مبنای حدهای بالا، $$ \Delta x $$ است. با توجه به این موضوع، عبارت‌های $$ \sin ( x ) $$ و $$ \cos ( x) $$ را به پشت حدها انتقال می‌دهیم:

$$
\frac { d } { d x } \sin ( x ) = \sin ( x ) \lim _ { \Delta x \to ۰ } \left ( \frac { \cos ( \Delta x ) - ۱ } { \Delta x } \right ) + \cos ( x ) \lim _ { \Delta x \to ۰ } \left ( \frac { \sin ( \Delta x ) }{ \Delta x } \right )
$$

بر اساس قوانین حد و پیوستگی، حاصل حد اول برابر با ۰ و حد دوم برابر با ۱ خواهد بود. این مقادیر را درون رابطه بالا قرار می‌دهیم:

$$
\frac { d } { d x } \sin ( x ) = \sin ( x ) \left ( ۰ \right ) + \cos ( x ) \left ( ۱ \right )
$$

$$
\frac { d } { d x } \sin ( x ) = \cos ( x )
$$

در نتیجه، مشتق سینوس ایکس برابر با کسینوس ایکس است. در صورت تمایل به آشنایی با نحوه به دست آوردن $$ \lim _ { \Delta x \to ۰ } \frac { \sin ( \Delta x ) }{ \Delta x } $$، مطالعه مطلب «قضیه فشردگی یا ساندویچ — به زبان ساده» را به شما پیشنهاد می‌کنیم. برای تعیین $$ \lim _ { \Delta x \to ۰ } \frac { \cos ( \Delta x ) - ۱ } { \Delta x } $$، کافی است صورت و مخرج کسر را در $$ \cos ( \Delta x ) + ۱ $$ ضرب کنید و پس از ساده‌سازی عبارت‌ها، عدد ۰ را به جای متغیر x قرار دهید.

مقایسه مشتق سینوس و کسینوس

«کسینوس» (Cosine)، یکی دیگر از توابع مثلثاتی اصلی است. در یک مثلث قائم‌الزاویه با زاویه حاده θ، کسینوس θ به صورت تقسیم ضلع مجاور θ بر وتر تعریف می‌شود.

تصویر زیر، مقایسه نمودار تابع $$ \sin ( x ) $$ و $$ \cos ( x ) $$ در بازه ۰ تا π را نمایش می‌دهد.

مشتق کسینوس در یک زاویه مشخص، شیب مماس بر نمودار این تابع در آن زاویه است. به عنوان مثال، از روی شکل می‌توان دریافت که مشتق کسینوس در زاویه π یا ۱۸۰ درجه برابر با ۰ خواهد بود. فرمول مشتق cos به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ \frac { d } { d x } \cos ( x ) = - \sin ( x ) $$

به عبارت دیگر، مشتق کسینوس، قرینه سینوس است.

مثال ۲: محاسبه مشتق جمع سینوس و کسینوس

مشتق تابع f(x) در $$ x = \frac { \pi } { ۴ } $$ را به دست بیاورید.

$$ f ( x ) = \sin ( x ) + \cos ( x ) $$

مشتق تابع f(x) به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
f ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } \left [ \sin ( x ) + \cos ( x ) \right ]
$$

بر اساس قوانین مشتق‌گیری، مشتق جمع دو تابع با مجموع مشتق هر یک از این توابع برابر است. به زبان ریاضی، داریم:

$$ ( g ( x ) + h ( x ) ) ^ { \prime } = g ^ { \prime } ( x ) + h ^ { \prime } ( x ) $$

اگر $$ g ( x ) = \sin ( x ) $$ و $$ h ( x ) = \cos ( x ) $$ باشد، خواهیم داشت:

$$
g ^ { \prime } ( x ) = \cos ( x )
$$

$$
h ^ { \prime } ( x ) = - \sin ( x )
$$

به این ترتیب:

$$
\frac { d } { d x } \left [ \sin ( x ) + \cos ( x ) \right ] = \cos ( x ) - \sin ( x )
$$

اکنون به جای x، مقدار آن ($$ \frac { \pi } { ۴ } $$) را قرار می‌دهیم:

$$
\frac { d } { d x } \left [ \sin \left ( \frac { \pi } { ۴ } \right ) + \cos \left ( \frac { \pi } { ۴ } \right ) \right ] = \cos \left ( \frac { \pi } { ۴ } \right ) - \sin \left ( \frac { \pi } { ۴ } \right )
$$

می‌دانیم:

$$
\sin \left ( \frac { \pi } { ۴ } \right ) = \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ }
$$

$$
\cos \left ( \frac { \pi } { ۴ } \right ) = \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ }
$$

مقادیر عددی سینوس و کسینوس را درون رابطه مشتق قرار می‌دهیم:

$$
\frac { d } { d x } \left [ \sin \left ( \frac { \pi } { ۴ } \right ) + \cos \left ( \frac { \pi } { ۴ } \right ) \right ] = \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ } - \frac { \sqrt { ۲ } } { ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \sin \left ( \frac { \pi } { ۴ } \right ) + \cos \left ( \frac { \pi } { ۴ } \right ) \right ] = ۰
$$

$$
f ^ { \prime } ( \frac { \pi } { ۴ } ) = ۰
$$

در نتیجه، مشتق تابع f(x) در $$ x = \frac { \pi } { ۴ } $$ برابر با ۰ است.

فرمول کلی مشتق سینوس

توابع مثلثاتی را معمولا با فرم ساده نمایش می‌دهند. به عنوان مثال، فرم ساده تابع سینوس ایکس، $$ \sin ( x ) $$ است.

فرم کلی تابع سینوس به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ f ( x ) = a \sin ( b x + c ) $$

فرم کلی مشتق sin عبارت است از:

$$ f ^ { \prime } ( x ) = a b \cos ( b x + c ) $$

$$ ( a \sin ( b x + c ) ) ^ { \prime } = a b \cos ( b x + c ) $$

مثال ۳: محاسبه مشتق سینوس دو ایکس

مشتق $$ \sin ( ۲ x ) $$ را در $$ x = \frac { \pi } { ۳ } $$ محاسبه کنید.

برای شروع حل مسئله، عبارت مورد سوال را برابر با f(x) قرار می‌دهیم:

$$ f ( x ) = \sin ( ۲ x ) $$

سپس، فرم کلی تابع سینوس را می‌نویسیم:

$$ f ( x ) = a \sin ( b x + c ) $$

با توجه به فرم کلی تابع sin، داریم:

$$ a = ۱ $$

$$ b = ۲ $$

$$ c = ۰ $$

رابطه کلی مشتق sin عبارت است از:

$$
f ^ { \prime } ( x ) = a b \cos ( b x + c )
$$

$$
\sin ^ { \prime } ( ۲ x ) = ۱ \times ۲ \cos ( ۲ x + ۰ )
$$

$$
\sin ^ { \prime } ( ۲ x ) = ۲ \cos ( ۲ x )
$$

در نتیجه، مشتق sin۲x برابر با ۲cos۲x است.

مشتق سینوس توان دار

در بخش قبلی، به معرفی مشتق sin در حالت ساده و کلی پرداختیم. اگر تابع سینوس را به توان برسانیم، رابطه محاسبه مشتق آن تغییر می‌کند.

فرم کلی سینوس توان‌دار به شکل زیر است:

$$ f ( x ) = \sin ^ { n } ( x ) $$

توان n در تابع سینوس می‌تواند مثبت یا منفی باشد. در صورت مثبت بودن n، مشتق سینوس توان‌دار با استفاده از قانون ضرب در مشتق‌گیری به دست می‌آید. بر اساس این قانون، مشتق ضرب دو تابع f(x) و g(x)، برابر است با:

$$ \frac { d } { d x } [ f ( x ) g ( x ) ] = f ( x ) g ' ( x ) + g ( x ) f ' ( x ) $$

در صورت منفی بودن n، می‌توانیم مشتق سینوس توان‌دار را به کمک قانون تقسیم در مشتق‌گیری محاسبه کنیم. برای تقسیم دو تابع f(x) و g(x)، این قانون به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ \frac { d } { d x } [ \frac { f ( x ) } { g ( x ) } ] = \frac { g ( x ) f' ( x ) - f ( x ) g' ( x ) } { [ g ( x ) ] ^ { ۲ } } $$

در ادامه، نحوه استفاده از این روابط برای محاسبه مشتق سینوس توان‌دار را آموزش می‌دهیم.

مثال ۴: محاسبه مشتق سینوس به توان ۲

مشتق $$ \sin ^ ۲ ( x ) $$ را به دست بیاورید.

تابع $$ \sin ^ ۲ ( x ) $$، حاصل‌ضرب تابع $$ \sin ( x ) $$ در خودش است. بنابراین، می‌توانیم این تابع را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

$$
\sin ^ ۲ ( x ) = \sin ( x ) \cdot \sin ( x )
$$

بر اساس قانون ضرب در مشتق دو تابع، داریم:

$$ \frac { d } { d x } [ f ( x ) g ( x ) ] = f ( x ) g ' ( x ) + g ( x ) f ' ( x ) $$

بر این اساس، یکی از سینوس‌ها را برابر با f(x) و دیگری را برابر با g(x) در نظر می‌‌گیریم:

$$
f ( x ) = \sin ( x )
$$

$$
g ( x ) = \sin ( x )
$$

مشتق این توابع، عبارت است از:

$$ f ^ { \prime } ( x ) = \cos ( x ) $$

$$ g ^ { \prime } ( x ) = \cos ( x ) $$

به این ترتیب، داریم:

$$
\frac { d } { d x } \left [ \sin ( x ) \cdot \sin ( x ) \right ] = \sin ( x ) \cos ( x ) + \sin ( x ) \cos ( x )
$$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \sin ( x ) \cdot \sin ( x ) \right ] = ۲ \sin ( x ) \cos ( x )
$$

بر اساس قوانین مثلثات برای زوایای مضاعف، می‌دانیم که:

$$
\sin ( ۲ \theta ) = ۲ \sin ( \theta ) \cos ( \theta )
$$

بنابراین:

$$ ۲ \sin ( x ) \cos ( x ) = \sin ( ۲ x ) $$

با جایگذاری این رابطه در مشتق، خواهیم داشت:

$$
\frac { d } { d x } \left [ \sin ( x ) \cdot \sin ( x ) \right ] = \sin ( ۲ x )
$$

$$
\frac { d } { d x } \sin ^ ۲ ( x ) = \sin ( ۲ x )
$$

در نتیجه، مشتق سینوس به توان دو x برابر با سینوس دو ایکس است.

مثال ۵: محاسبه مشتق سینوس به توان منفی یک

مشتق $$ \left ( \sin ( x ) \right ) ^ { - ۱ } $$ را به دست بیاورید.

برای حل این مثال، عبارت $$ \left ( \sin ( x ) \right ) ^ { - ۱ } $$ را به صورت کسری بازنویسی می‌کنیم:

$$
\left ( \sin ( x ) \right ) ^ { - ۱ } = \frac { ۱ } { \sin ( x ) }
$$

بر اساس قانون مشتق تقسیم دو تابع، داریم:

$$ \frac { d } { d x } [ \frac { f ( x ) } { g ( x ) } ] = \frac { g ( x ) f' ( x ) - f ( x ) g' ( x ) } { [ g ( x ) ] ^ { ۲ } } $$

بر این اساس، صورت و مخرج کسر را برابر با توابع زیر قرار می‌دهیم:

$$
f ( x ) = ۱
$$

$$
g ( x ) = \sin ( x )
$$

مشتق این توابع، عبارت است از:

$$ f ^ { \prime } ( x ) = ۰ $$

$$ g ^ { \prime } ( x ) = \cos ( x ) $$

به این ترتیب، داریم:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sin ( x ) } \right ) = \frac { \sin ( x )\times ۰ - ۱ \times \cos ( x ) } { [ \sin ( x )] ^ { ۲ } }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sin ( x ) } \right ) = \frac { ۰ - \cos ( x ) } { \sin ^ { ۲ } ( x ) }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sin ( x ) } \right ) = - \frac { \cos ( x ) } { \sin ^ { ۲ } ( x ) }
$$

برای ساده‌سازی بیشتر، می‌توانیم عبارت سمت راست را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sin ( x ) } \right ) = - \frac { \cos ( x ) } { \sin ( x ) } \cdot \frac { ۱ } { \sin ( x ) }
$$

تقسیم کسینوس بر روی سینوس برابر با کتانژانت بوده و تقسیم عدد ۱ بر روی سینوس برابر با کسکانت است. بنابراین:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sin ( x ) } \right ) = - \cot ( x ) \csc ( x )
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \sin ( x ) \right ) ^ { - ۱ } = - \cot ( x ) \csc ( x )
$$

در نتیجه، مشتق سینوس به توان منفی یک برابر با منفی کتانژانت در کسکانت است.

مشتق زنجیره ای سینوس

فرم ساده تابع سینوس را در نظر بگیرید. این تابع به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$f ( x ) = \sin ( x ) $$

مشتق فرم ساده تابع سینوس برابر با کسینوس است.

اکنون، فرض کنید بجای x، تابع دیگری درون سینوس قرار دارد:

$$ f \left ( g ( x ) \right ) = \sin \left ( g ( x ) \right ) $$

در این حالت، حاصل مشتق sin با استفاده قاعده زنجیره‌ای به دست می‌آید. بر اساس این قاعده، داریم:

$$ \frac { d } { d x } f \left ( g ( x ) \right ) = f' \left ( g ( x ) \right ) g' (x ) $$

نحوه استفاده از این فرمول را با حل چند مثال توضیح می‌دهیم.

مثال ۶: محاسبه مشتق سینوس یو

تابع سینوسی f(u) را در نظر بگیرید:

$$ f ( u ) = \sin ( u ) $$

اگر $$ u = ۵ x ^ ۳ + x ^ ۲ - ۸ $$ باشد، مشتق sin u چه می‌شود؟

u، یک عبارت چندجمله‌ای بر حسب متغیر x است. می‌توانیم این عبارت را به صورت تابعی از x بیان کنیم:

$$ u = g ( x ) = ۵ x ^ ۳ + x ^ ۲ - ۸ $$

به این ترتیب، داریم:

$$ f ( g ( x ) ) = \sin ( ۵ x ^ ۳ + x ^ ۲ - ۸ ) $$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، f(u)، در واقع یک تابع تو در تو است. مشتق این تابع، با استفاده از رابطه زیر (قاعده زنجیره‌ای) به دست می‌آید:

$$
\frac { d } { d x } f \left ( g ( x ) \right ) = f ' \left ( g ( x ) \right ) g ' ( x )
$$

برای $$ f' \left ( g ( x ) \right ) $$، داریم:

$$ f ' \left ( g ( x ) \right ) = f ' ( u ) = \sin ^ { \prime } ( u ) = \cos ( u ) $$

$$
\cos ^ { \prime } ( u ) = \cos ^ { \prime } ( ۵ x ^ ۳ + x ^ ۲ - ۸ )
$$

$$
\cos ( u ) = \cos ( ۵ x ^ ۳ + x ^ ۲ - ۸ )
$$

$$
f' \left ( g ( x ) \right ) = \cos ( ۵ x ^ ۳ + x ^ ۲ - ۸ )
$$

برای $$ g' ( x ) $$ نیز داریم:

$$
g ^ { \prime } ( x ) = u ^ { \prime } ( x ) = \left ( ۵ x ^ ۳ + x ^ ۲ - ۸ \right ) ^ { \prime }
$$

$$
\left ( ۵ x ^ ۳ + x ^ ۲ - ۸ \right ) ^ { \prime } = ۱۵ x ^ ۲ + ۲ x
$$

$$
g ^ { \prime } ( x ) = ۱۵ x ^ ۲ + ۲ x
$$

در نتیجه:

$$
\frac { d } { d x } f \left ( g ( x ) \right ) = \left ( \cos ( ۵ x ^ ۳ + x ^ ۲ - ۸ ) \right ) \left ( ۱۵ x ^ ۲ + ۲ x \right )
$$

$$
\frac { d } { d x } \sin ( u ) = \left ( \cos ( ۵ x ^ ۳ + x ^ ۲ - ۸ ) \right ) \left ( ۱۵ x ^ ۲ + ۲ x \right )
$$

اگر روابط بالا را بر حسب u بازنویسی کنیم، خواهیم داشت:

$$
\frac { d } { d x } \sin ( u ) = u ^ { \prime } \cos ( u )
$$

$$
\sin ^ { \prime } ( u ) = u ^ { \prime } \cos ( u )
$$

به عبارت دیگر، مشتق سینوس u برابر با مشتق u در کسینوس u است. u می‌تواند هر تابع دلخواه باشد. مثال بعدی را با استفاده از فرمول بالا حل می‌کنیم.

مثال ۷: محاسبه مشتق سینوس تابع نمایی

مشتق $$ \sin ( e ^ { ۳ x } ) $$ را به دست بیاورید.

برای به دست آوردن مشتق مورد سوال، از تغییر متغیر عبارت داخل سینوس استفاده می‌کنیم. برای این کار، $$ e ^ { ۳ x } $$ را برابر با u قرار می‌دهیم:

$$
u = e ^ { ۳ x }
$$

بر اساس این تغییر متغیر، داریم:

$$
\sin ( e ^ { ۳ x } ) = \sin ( u )
$$

می‌دانیم که مشتق سینوس u برابر است با:

$$
\sin ^ { \prime } ( u ) = u ^ { \prime } \cos ( u )
$$

مشتق u، یک تابع نمایی است. مشتق توابع نمایی، با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$
\left ( e ^ { a x } \right ) ^ { \prime } = a e ^ { a x }
$$

بنابراین:

$$
u ^ { \prime } = \left ( e ^ { ۳ x } \right ) ^ { \prime } = ۳ e ^ { ۳ x }
$$

u و 'u را در رابطه مشتق سینوس u قرار می‌دهیم:

$$
\sin ^ { \prime } ( u ) = u ^ { \prime } \cos ( u )
$$

$$
\sin ^ { \prime } ( e ^ { ۳ x } ) = ۳ e ^ { ۳ x } \cos ( e ^ { ۳ x } )
$$

مشتق سینوس وارون

توابع وارون، توابعی هستند که با گرفتن خروجی یک تابع، ورودی آن را مشخص می‌کنند.

معکوس تابع سینوس، به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ \sin ^ { - ۱ } ( x ) = \theta $$

$$
\arcsin ( x ) = \theta
$$

ورودی تابع سینوس، یک زاویه بوده و خروجی آن، یک مقدار عددی بین ۱- تا ۱ است. در طرف مقابل، ورودی سینوس وارون یا سینوس معکوس، یک مقدار عددی بوده و خروجی آن یک زاویه است. مشتق سینوس معکوس از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
\frac { d } { d x } \arcsin ^ { - ۱ } ( x ) = \frac { ۱ }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } }
$$

اگر عبارت داخل آرک‌سینوس، تابعی از x باشد، فرمول مشتق سینوس وارون به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
\frac { d } { d x } \arcsin ^ { - ۱ } ( u ) = \frac { u ^ { \prime } }{ \sqrt { ۱ - u ^ ۲ } }
$$

 

مثال ۸: محاسبه مشتق سینوس اینورس

مشتق y را محاسبه کنید.

$$
y = \arcsin ( \ln | x | )
$$

عبارت داخل تابع وارون سینوس، یک تابع لگاریتمی است. از این‌رو، برای مشتق‌گیری از y، رابطه زیر را مورد استفاده قرار می‌دهیم:

$$
\frac { d } { d x } \arcsin ^ { - ۱ } ( u ) = \frac { u ^ { \prime } }{ \sqrt { ۱ - u ^ ۲ } }
$$

تابع درون سینوس معکوس را برابر با u در نظر می‌گیریم:

$$ u = \ln | x | $$

مشتق ln از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$ \frac { d } { d x } \ln ( x ) = \frac { ۱ } { x } $$

بنابراین:

$$ u ^ { \prime } = \frac { ۱ } { x } $$

با جایگذاری u و 'u در رابطه مشتق arcsin، داریم:

$$
\frac { d } { d x } \arcsin ^ { - ۱ } ( \ln | x | ) = \frac { u ^ { \prime } }{ \sqrt { ۱ - u ^ ۲ } }
$$

$$
\frac { d } { d x } \arcsin ^ { - ۱ } ( \ln | x | ) = \frac { \frac { ۱ } { x } }{ \sqrt { ۱ - \left ( \ln | x | ^ ۲ \right ) } }
$$

$$
\frac { d } { d x } \arcsin ^ { - ۱ } ( \ln | x | ) = \frac { ۱ }{ x \sqrt { ۱ - \left ( \ln | x | ^ ۲ \right ) } }
$$

مشتق سینوس هیپربولیک

توابع هیپربولیک، توابع مثلثاتی تعریف شده بر اساس معادلات هذلولی هستند. به همین دلیل به آن‌ها، توابع هذلولی نیز می‌گویند.

این توابع، با استفاده از عدد اویلر بیان می‌شوند. تابع سینوس هیپربولیک، عبارت است از:

$$
\sinh x = \frac { e ^ x - e ^ { - x } } { ۲ } = \frac { e ^ { ۲ x } - ۱ } { ۲ e ^ x } = \frac { ۱ - e ^ { - ۲ x } } { ۲ e ^ { - x } }
$$

مشتق سینوس هیپربولیک، از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
\frac { d } { d x } \sinh x = \cosh x
$$

البته اگر بخواهیم فرمول مشتق سینوس هیپربولیک را بر حسب e بنویسیم، به رابطه زیر می‌رسیم:

$$
\frac { d } { d x } \sinh x = \frac { ۱ } { ۲ } \left ( e ^ x + e ^ { - x } \right )
$$

اگر عبارت داخل سینوس هیپربولیک، یک تابع باشد، فرمول مشتق sinh به شکل زیر می‌آید:

$$
\sinh ^ { \prime } ( u ) = u ^ { \prime } \cosh ( u )
$$

مشتق سینوس هیپربولیک وارون عبارت است از:

$$
\left ( \sinh ^ { - ۱ } ( x ) \right ) ^ { \prime } = \frac { ۱ }{ \sqrt { ۱ + x ^ ۲ } }
$$

مشتق سینوس هیپربولیک وارون u، از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
\left ( \sinh ^ { - ۱ } ( u ) \right ) ^ { \prime } = \frac { u ^ { \prime } }{ \sqrt { ۱ + u ^ ۲ } }
$$

 

مثال ۹: محاسبه مشتق سینوس هیپربولیک

مشتق $$ \sinh \left ( \frac { x ^ ۶ + ۳ x } { ۳ } \right ) $$ را به دست بیاورید.

عبارت مورد سوال، سینوس هیپربولیک یک تابع چندجمله‌ای است. این چندجمله‌ای را برابر با یک متغیر فرضی مانند u در نظر می‌گیریم:

$$ u = \frac { x ^ ۶ + ۳ x } { ۳ } $$

مشتق $$ \sinh ( u ) $$ توسط فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$
\sinh ^ { \prime } ( u ) = u ^ { \prime } \cosh ( u )
$$

برای به دست آوردن مشتق بالا، به مشتق u نیاز داریم:

$$
u ^ { \prime } = \frac { ۶ x ^ ۵ + ۳ } { ۳ }
$$

$$
u ^ { \prime } = ۲ x ^ ۵ + ۱
$$

u و 'u در رابطه مشتق قرار می‌دهیم:

$$
\sinh ^ { \prime } ( \frac { x ^ ۶ + ۳ x } { ۳ } ) = \left ( ۲ x ^ ۵ + ۱ \right ) \cosh ( \frac { x ^ ۶ + ۳ x } { ۳ } )
$$

مشتق مراتب بالاتر سینوس

به تکرار مشتق‌گیری از مشتق یک تابع، مشتق مراتب بالاتر می‌گویند.

به عنوان مثال، مشتق مرتبه اول، مرتبه دوم و مراتب بالاتر تابع $$ y = f(x) $$ به صورت زیر نمایش داده می‌شود:

$$
\frac { d y } { d x } \, \; \frac { d } { d x } \left ( \frac { d y } { d x } \right ) \, \; \frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \left ( \frac { d y } { d x } \right ) \right ) \, \; ...
$$

$$
\frac { d y } { d x } \, \; \frac { d ^ ۲ y } { d x ^ ۲ } \, \; \frac { d ^ ۳ y } { d x ^ ۳ } \, \; ...
$$

$$
f ^ { \prime } ( x ) \, \; f ^ { \prime \prime } ( x ) \, \; f ^ { \prime \prime \prime} ( x ) \, \; ...
$$

مشتق مرتبه اول سینوس برابر است با:

$$
\frac { d } { d x } \sin ( x ) = \cos ( x )
$$

اگر از حاصل مشتق بالا (کسینوس)، یک بار دیگر مشتق بگیریم، به مشتق مرتبه دوم سینوس می‌رسیم:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \sin ( x ) \right ) = \frac { d } { d x }\cos ( x )
$$

می‌دانیم که مشتق کسینوس برابر با منفی سینوس است. بنابراین:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \sin ( x ) \right ) = \frac { d } { d x }\cos ( x ) = - \sin ( x )
$$

در نتیجه، مشتق مرتبه دوم سینوس، برابر با منفی سینوس می‌شود. به همین صورت، با مشتق‌گیری از مشتق مرتبه دوم (منفی سینوس)، به مشتق مرتبه سوم سینوس می‌رسیم:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \sin ( x ) \right ) \right ) = \frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \cos ( x ) \right ) = - \frac { d } { d x } \sin ( x )
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \sin ( x ) \right ) \right ) = - \cos ( x )
$$

اگر این کار را تا مشتق مرتبه چهارم ادامه دهیم، به تابع سینوس می‌رسیم. به عبارت دیگر، مشتق مرتبه چهارم سینوس، با خودش برابر است. این اتفاق در مشتق مرتبه هشتم، مشتق مرتبه دوازدهم و دیگر مشتق‌های مرتبه ۴n تکرار می‌شود. برای تعیین مشتق مراتب بالاتر sin، به مرتبه مشتق توجه کرده و جواب را بر اساس قواعد زیر تعیین کنید:

• اگر باقیمانده تقسیم مرتبه مشتق (n) بر عدد ۴ برابر با ۰ باشد (مرتبه مشتق بر ۴ بخش‌پذیر باشد)، مشتق مرتبه n سینوس با خودش برابر خواهد بود.
• اگر باقیمانده تقسیم مرتبه مشتق بر عدد ۴ برابر با ۱ باشد ، مشتق مرتبه n سینوس برابر با کسینوس خواهد بود.
• اگر باقیمانده تقسیم مرتبه مشتق بر عدد ۴ برابر با ۲ باشد ، مشتق مرتبه n سینوس برابر با منفی سینوس خواهد بود.
• اگر باقیمانده تقسیم مرتبه مشتق بر عدد ۴ برابر با ۳ باشد ، مشتق مرتبه n سینوس برابر با منفی کسینوس خواهد بود.

به عنوان مثال، برای مشتق مرتبه ۷۴ ام تابع سینوس ($$ \dfrac { d ^ { ۷۴ } } { d x ^ ۷۴ } ( \sin x ) $$)، داریم:

$$
\frac { 74 } { 4 } = ( 18 \times 4 ) + 2
$$

باقیمانده توان سینوس بر 4 برابر با 2 شد. بنابراین:

$$
\dfrac { d ^ { ۷۴ } } { d x } ( \sin x ) = - \sin ( x )
$$

مثال ۱۰: محاسبه مشتق مرتبه سوم سینوس

تابع $$ f ( x ) = x \sin ( x ) $$ را در نظر بگیرید. حاصل $$ f ^ { \prime \prime } $$ را به دست بیاورید.

$$ f ^ { \prime \prime } $$ مشتق مرتبه دوم تابع f(x) است. برای به دست آوردن این مشتق، ابتدا مشتق مرتبه اول یا $$ f ^ { \prime } ( x ) $$ را به دست می‌آوریم:

$$
f ^ { \prime } ( x ) = \frac { d }{ d x } ( x \sin ( x ) )
$$

تابع f(x)، ضرب دو تابع x و sin(x) است. بنابراین، مشتق این تابع، با استفاده از قانون ضرب در مشتق‌گیری تعیین می‌شود. بر اساس این قانون، داریم:

$$
\frac { d } { d x } [ g ( x ) h ( x ) ] = g ( x ) h ' ( x ) + h ( x ) g ' ( x )
$$

یکی از توابع x و sin(x) را به عنوان g(x) و دیگری را به عنوان h(x) در نظر می‌گیریم:

$$
g ( x ) = x
$$

$$
h ( x ) = \sin ( x )
$$

برای به دست آوردن مشتق ضرب دو تابع، به مشتق هر یک از توابع بالا نیاز داریم. این مشتق‌ها عبارت هستند از:

$$
g ^ { \prime } ( x ) = ۱
$$

$$
h ^ { \prime } ( x ) = \cos ( x )
$$

توابع و مشتق آن‌ها را درون فرمول اصلی قرار می‌دهیم:

$$
\frac { d } { d x } [ g ( x ) h ( x ) ] = g ( x ) h ' ( x ) + h ( x ) g ' ( x )
$$

$$
\frac { d } { d x } [ x \sin ( x ) ] = x \cos ( x ) + \sin ( x ) \times ۱
$$

در نتیجه:

$$
f ^ { \prime } ( x ) = x \cos ( x ) + \sin ( x )
$$

اکنون، با داشتن مشتق مرتبه اول f(x) می‌توانیم به محاسبه مشتق مرتبه دوم آن بپردازیم. رابطه مشتق عبارت بالا را می‌نویسیم:

$$
f ^ { \prime \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } [ x \cos ( x ) + \sin ( x ) ]
$$

مشتق جمع دو تابع، با مجموع مشتق‌های دو تابع برابر است. از این‌رو، داریم:

$$
\frac { d } { d x } [ x \cos ( x ) + \sin ( x ) ] = \frac { d } { d x } [ x \cos ( x ) ] + \frac { d } { d x } \sin ( x )
$$

مشتق sin برابر با cos است:

$$
\frac { d } { d x } \sin ( x ) = \cos ( x )
$$

مشتق $$ x \cos ( x ) $$ نیز مانند مشتق مرتبه اول $$ x \sin ( x ) $$، با استفاده از قانون ضرب در مشتق‌گیری به دست می‌آید. در اینجا، این قانون را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$
\frac { d } { d x } [ g ( x ) i ( x ) ] = g ( x ) i ' ( x ) + i ( x ) g ' ( x )
$$

برای توابع درون فرمول بالا و مشتق‌های آن‌ها داریم:

$$
g ( x ) = x
$$

$$
g ^ { \prime } ( x ) = ۱
$$

$$
i ( x ) = \cos ( x )
$$

$$
i ^ { \prime } ( x ) = - \sin( x )
$$

این روابط را درون فرمول جایگذاری می‌کنیم:

$$
\frac { d } { d x } [ g ( x ) i ( x ) ] = g ( x ) i ' ( x ) + i ( x ) g ' ( x )
$$

$$
\frac { d } { d x } [ x \cos ( x ) ] = x ( - \sin( x ) ) + \cos ( x ) \times ۱
$$

$$
\frac { d } { d x } [ x \cos ( x ) ] = - x \sin( x ) + \cos ( x )
$$

اکنون، فرمول مشتق مرتبه دوم در این مثال را در نظر بگیرید:

$$
\frac { d } { d x } [ x \cos ( x ) + \sin ( x ) ] = \frac { d } { d x } [ x \cos ( x ) ] + \frac { d } { d x } \sin ( x )
$$

$$
\frac { d } { d x } [ x \cos ( x ) ] = - x \sin( x ) + \cos ( x )
$$

$$
\frac { d } { d x } \sin ( x ) = \cos ( x )
$$

$$
\frac { d } { d x } [ x \cos ( x ) + \sin ( x ) ] = - x \sin( x ) + \cos ( x ) + \cos ( x )
$$

$$
\frac { d } { d x } [ x \cos ( x ) + \sin ( x ) ] = ۲ \cos ( x ) - x \sin( x )
$$

در نتیجه:

$$
f ^ { \prime \prime } ( x ) = ۲ \cos ( x ) - x \sin( x )
$$

رابطه بین مشتق و انتگرال سینوس

مفهوم مشتق و انتگرال، در مقابل یکدیگر قرار دارند. اگر از مشتق یک تابع انتگرال گرفته یا از انتگرال یک تابع مشتق بگیریم، به خود آن تابع می‌رسیم.

انتگرال سینوس برابر است با:

$$
\int \sin ( x ) d x = - \cos ( x ) + C
$$

در صورت داشتن بازه انتگرال‌گیری، ثابت عددی C از فرمول انتگرال sin حذف می‌شود:

$$
\int \sin ( x ) d x = - \cos ( x )
$$

بنابراین، انتگرال سینوس، برابر با منفی کسینوس است. به خاطر داشته باشید که انتگرال کسینوس برابر با سینوس است. برای درک رابطه بین مشتق و انتگرال سینوس، مشتق مرتبه اول، دوم و سوم سینوس را در نظر بگیرید:

$$
\frac { d } { d x } \sin ( x ) = \cos ( x )
$$

$$
\frac { d ^ ۲ } { d x } \sin ( x ) = - \sin ( x )
$$

$$
\frac { d ^ ۳ } { d x } \sin ( x ) = - \cos ( x )
$$

با انتگرال‌گیری از تمام عبارت‌های بالا، خواهیم داشت:

$$
\int \cos ( x ) dx = \sin ( x )
$$

$$
\int - \sin ( x ) dx = \cos ( x )
$$

$$
\int - \cos ( x ) dx = - \sin ( x )
$$

همانطور که مشاهده می‌کنید، انتگرال مشتق مرتبه اول سینوس، برابر با تابع سینوس است. به همین صورت، انتگرال مشتق مرتبه دوم با مشتق مرتبه اول و انتگرال مشتق مرتبه سوم با مشتق مرتبه دوم برابری می‌کند. بنابراین، با انتگرال‌گیری از مشتق یک تابع، به خود آن تابع می‌رسیم.

مثال ۱۱: محاسبه انتگرال جز به جز سینوس

انتگرال $$ e ^ x \sin ( x ) $$ را به دست بیاورید.

عبارت مورد سوال، ضرب یک تابع جبری ($$ e ^ x $$) در یک تابع مثلثاتی ($$ \sin ( x ) $$) است. انتگرال ضرب دو تابع، معمولا با استفاده از انتگرال‌گیری جز به جز محاسبه می‌شود. فرمول انتگرال جز به جز عبارت است از:

$$ \int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x $$

با توجه به این فرمول، باید یکی از توابع را برابر با f(x) و دیگری را برابر با g'(x) قرار دهیم. قرار است از تابع f(x) مشتق گرفته و از تابع g'(x) انتگرال بگیریم تا f'(x) و g(x) به دست بیاید. بر اساس قواعد انتگرال‌گیری جز به جز، مشتق‌گیری از توابع مثلثاتی نسبت به توابع جبری اولویت دارد. بنابراین:

$$
f ( x ) = \sin ( x )
$$

$$
g ^ { \prime } ( x ) = e ^ x
$$

از تابع f(x) مشتق گرفته و از تابع g'(x) انتگرال می‌گیریم:

$$
f ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } f ( x ) = \frac { d } { d x } \sin ( x ) = \cos ( x )
$$

$$
f ^ { \prime } ( x ) = \cos ( x )
$$

$$
g ( x ) = \int g ^ { \prime } ( x ) d x = \int e ^ x d x = e ^ x
$$

$$
g ( x ) = e ^ x
$$

این عبارت‌ها را درون فرمول انتگرال جز به جز قرار می‌دهیم:

$$
\int \sin ( x ) \cdot e ^ x d x = \sin ( x ) \cdot e ^ x - \int \cos ( x ) \cdot e ^ x d x
$$

$$
\int e ^ x \sin ( x ) d x = e ^ x \sin ( x ) - \int e ^ x \cos ( x ) d x
$$

انتگرال‌گیری را با حل $$ \int e ^ x \cos ( x ) d x $$ ادامه می‌دهیم. حاصل این انتگرال (به روش جز به جز) برابر است با:

$$
\int e ^ x \cos ( x ) d x = e ^ x \cos ( x ) + \int \sin ( x ) e ^ x d x
$$

جواب این انتگرال را درون انتگرال قبلی قرار می‌دهیم:

$$
\int e ^ x \sin ( x ) d x = e ^ x \sin ( x ) - \int e ^ x \cos ( x ) d x
$$

$$
\int e ^ x \sin ( x ) d x = e ^ x \sin ( x ) - \left ( e ^ x \cos ( x ) + \int e ^ x \sin ( x ) d x \right )
$$

$$
\int e ^ x \sin ( x ) d x = e ^ x \sin ( x ) - e ^ x \cos ( x ) - \int e ^ x \sin ( x )d x
$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، انتگرال سمت چپ (انتگرال مورد سوال)، در سمت راست نیز ظاهر شده است. انتگرال سمت راست را به سمت چپ می‌بریم:

$$
\int e ^ x \sin ( x ) d x + \int \sin ( x ) e ^ x d x= e ^ x \sin ( x ) - e ^ x \cos ( x )
$$

$$
۲ \int e ^ x \sin ( x ) d x = e ^ x \sin ( x ) - e ^ x \cos ( x )
$$

$$
\int e ^ x \sin ( x ) d x = \frac { ۱ } { ۲ } \left ( e ^ x \sin ( x ) - e ^ x \cos ( x ) \right )
$$

حل تمرین مشتق sin

برای آشنایی بهتر و بیشتر با مبحث مشتق سینوس و مسائل مرتبط با آن، در این بخش، به حل چندین تمرین متنوع می‌پردازیم.

تمرین ۱: محاسبه مشتق sin ۳x

مشتق مرتبه اول و دوم $$ \sin ( ۳ x ) $$ را به دست بیاورید.

برای حل این تمرین، ابتدا فرم کلی تابع سینوسی را می‌نویسیم:

$$ f ( x ) = a \sin ( b x + c ) $$

 با توجه به فرمول بالا، در عبارت مورد سوال داریم:

$$ a = ۱ \, \; b = ۳ \, \; c = ۰ $$

به این ترتیب، مشتق $$ \sin ( ۳ x ) $$ با استفاده از رابطه زیر تعیین می‌شود:

$$ ( a \sin ( b x + c ) ) ^ { \prime } = a b \cos ( b x + c ) $$

$$ \sin ^ { \prime } ( ۳ x ) = ۱ \times ۳ \times \cos ( ۳ x + ۰ ) $$

$$
\sin ^ { \prime } ( ۳ x ) = ۳ \cos ( ۳ x )
$$

به منظور تعیین مشتق مرتبه دوم، باید از عبارت سمت راست مشتق بگیریم. مشتق این عبارت برابر است:

$$
( ۳ \cos ( ۳ x ) ) ^ { \prime } = ۳ \times ۳ \times ( - \sin ( ۳ x ))
$$

$$ ( ۳ \cos ( ۳ x ) ) ^ { \prime } = - ۹ \sin ( ۳ x ) $$

در نتیجه:

$$ \sin ^ { \prime \prime } ( ۳ x ) = - ۹ \sin ( ۳ x ) $$

تمرین ۲: محاسبه مشتق سینوس به توان ۳

مشتق $$ \sin ^ ۳ ( x ) $$ را تعیین کنید.

این تمرین را به دو روش حل می‌کنیم. در روش اول، تابع سینوس به توان سه را به صورت ضرب سینوس به توان دو در سینوس می‌نویسیم:

$$ \sin ^ ۳ ( x ) = \sin ^ ۲ ( x ) \sin ( x ) $$

مشتق ضرب دو تابع، از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$ \frac { d } { d x } [ f ( x ) g ( x ) ] = f ( x ) g ' ( x ) + g ( x ) f ' ( x ) $$

یکی از توابع را برابر با f(x) و دیگری را برابر با g(x) قرار می‌دهیم:

$$ f ( x ) = \sin ^ ۲ ( x ) $$

$$ g ( x ) = \sin ( x ) $$

مشتق تابع $$ \sin ^ ۲ ( x ) $$ را در مثال ۴ به دست آوردیم. مشتق $$ \sin ( x ) $$ را نیز بارها طی مثال‌های مختلف معرفی کردیم. به این ترتیب، داریم:

$$ f ^ { \prime } ( x ) = ۲ \sin ( x ) \cos ( x ) = \sin ( ۲ x ) $$

$$ g ^ { \prime } ( x ) = \cos ( x ) $$

توابع و مشتق‌های مورد نیاز را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$$ \frac { d } { d x } [ f ( x ) g ( x ) ] = f ( x ) g ' ( x ) + g ( x ) f ' ( x ) $$

$$
\frac { d } { d x } [ \sin ^ ۲ ( x ) \sin ( x ) ] = \sin ^ ۲ ( x ) \cos ( x ) + \sin ( x ) \cdot ۲ \sin ( x ) \cos ( x )
$$

$$
\frac { d } { d x } [ \sin ^ ۲ ( x ) \sin ( x ) ] = \sin ^ ۲ ( x ) \cos ( x ) + ۲ \sin ^ ۲ ( x ) \cos ( x )
$$

$$
\frac { d } { d x } [ \sin ^ ۲ ( x ) \sin ( x ) ] = ۳ \sin ^ ۲ ( x ) \cos ( x )
$$

در نتیجه:

$$
\frac { d } { d x } [ \sin ^ ۳ ( x ) ] = ۳ \sin ^ ۲ ( x ) \cos ( x )
$$

اگر توان سینوس افزایش پیدا کند، زمان مورد نیاز برای رسیدن به جواب طولانی می‌شود. به همین دلیل، از فرمول مخصوص محاسبه مشتق $$ \sin ^ n ( x ) $$ استفاده می‌کنیم. این فرمول عبارت است از:

$$
\frac { d } { d x } [ \sin ^ n ( x ) ] = n \sin ^ { n - ۱ }( x ) \cos ( x )
$$

این فرمول، با استفاده از رابطه مشتق توابع توان‌دار به دست می‌آید:

$$
\frac { d } { d x } u ^ { n} ( x ) = n u ^ { \prime } ( x ) u ^ { n - ۱ }
$$

با یک تغییر متغیر ساده ($$ u = \sin ( x ) $$) می‌توانیم به فرمول مشتق سینوس به توان n برسیم.

تمرین ۳: محاسبه مشتق تقسیم سینوس

مشتق y را به دست بیاورید.

$$ y = \frac { ۲ x + ۲ }{ \sin ( ۴ x ) } $$

y، تقسیم یک تابع جبری بر یک تابع مثلثاتی است. برای ساده شدن روند مشتق‌گیری، تغییر متغیرهای زیر را به صورت و مخرج کسر اعمال می‌کنیم:

$$ u ( x ) = ۲ x + ۳ $$

$$ v ( x )= \sin ( ۴ x ) $$

به این ترتیب، داریم:

$$ y = \frac { u ( x ) }{ v ( x ) } $$

مشتق تقسیم دو تابع، از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
\frac{ d y }{ d x } = \frac {v \frac { d u } { d x } - u \frac { d v } { d x }} { v ^ ۲ }
$$

برای به دست آوردن رابطه بالا، به مشتق u و v‌ نیاز داریم. بنابراین:

$$
\frac { d u } { d x } = \frac { d } { d x } \left ( ۲ x + ۳ \right ) = ۲
$$

$$
\frac { d v } { d x } = \frac { d } { d x } \sin ( ۴ x ) = ۴ \cos ( ۴ x )
$$

اکنون، روابط تغییر یافته برای u و v را به همراه مشتق‌هایشان درون فرمول مشتق تقسیم دو تابع قرار می‌دهیم:

$$
\frac{ d y }{ d x } = \frac { ( \sin ( ۴ x ) \times ۲ ) - ( ( ۲ x + ۳ ) \times ۴ \cos ( ۴ x ) ) } { \sin ^ ۲ ( ۴ x )}
$$

$$
\frac{ d y }{ d x } = \frac { ۲ \sin ( ۴ x ) - ( ۸ x \cos ( ۴ x ) + ۱‍۲ \cos ( ۴ x ) ) } { \sin ^ ۲ ( ۴ x )}
$$

$$
\frac{ d y }{ d x } = \frac { ۲ \sin ( ۴ x ) - ۸ x \cos ( ۴ x ) - ۱‍۲ \cos ( ۴ x ) } { \sin ^ ۲ ( ۴ x )}
$$

تمرین ۴: محاسبه مشتق ضرب سینوس

مشتق عبارت $$ y = \sin ( \cos ( x ) ) \cdot \tan ( x ) $$ را بدون استفاده از فرمول مشتق تانژانت به دست بیاورید.

y، ضرب دو تابع مثلثاتی است. بر اساس فرمول مشتق ضرب دو تابع، داریم:

$$ ( f \cdot g ) ^ { \prime } = f ^ { \prime } \cdot g + f \cdot g ^ { \prime } $$

با توجه به این فرمول، باید توابع f و g و مشتق‌های آن‌ها را تعیین کنیم. یکی از توابع را برابر با f و دیگری را برابر با g قرار می‌دهیم:

$$ f = \sin ( \cos ( x ) ) $$

$$ g = \tan ( x ) $$

$$ \sin ( \cos ( x ) ) $$، یک تابع تو در تو است. مشتق این تابع، از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$
\frac { d } { d x } f \left ( u \right ) = f ' \left ( u \right ) u ^ { \prime }
$$

اگر $$ \cos ( x ) $$ را برابر با u در نظر بگیریم، خواهیم داشت:

$$
\frac { d } { d x } \sin ( u ) = \cos ( u ) u ^ { \prime }
$$

$$ u = \cos ( x ) $$

$$
\frac { d } { d x } \sin ( \cos ( x ) ) = \cos ( \cos ( x ) ) \cos ^ { \prime } ( x )
$$

$$
\frac { d } { d x } \sin ( \cos ( x ) ) = \cos ( \cos ( x ) ) \cdot - \sin( x )
$$

$$
\frac { d } { d x } \sin ( \cos ( x ) ) = - \cos ( \cos ( x ) ) \sin( x )
$$

به این ترتیب، مشتق f را به دست آوردیم. اکنون نوبت به محاسبه مشتق g یا همان tan(x) می‌رسد. فرمول مشتق تانژانت برابر است با:

$$ \frac { d } { d x } \tan ( x ) = \sec ^ ۲ ( x ) $$

بر اساس صورت سوال، مجاز به استفاده مستقیم از این فرمول نیستیم. بنابراین، ابتدا آن را اثبات می‌کنیم. می‌دانیم تانژانت برابر با نسبت سینوس به کسینوس است:

$$ \tan ( x ) = \frac { \sin ( x ) }{ \cos ( x ) } $$

از این‌رو:

$$
\frac { d } { d x } \tan ( x ) = \frac { d } { d x } \left ( \frac { \sin ( x ) }{ \cos ( x ) } \right )
$$

برای به دست آوردن مشتق $$ \frac { \sin ( x ) }{ \cos ( x ) } $$، از فرمول مشتق تقسیم دو تابع استفاده می‌کنیم. بر اساس این فرمول، داریم:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { \sin ( x ) }{ \cos ( x ) } \right ) = \frac { \cos ( x ) \sin ^ { \prime } ( x ) - \sin ( x ) \cos ^ { \prime } ( x ) } { \cos ^ ۲ ( x ) }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { \sin ( x ) }{ \cos ( x ) } \right ) = \frac { \cos ( x ) \cos ( x ) - ( - \sin ( x ) \sin ( x )) } { \cos ^ ۲ ( x ) }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { \sin ( x ) }{ \cos ( x ) } \right ) = \frac { \cos ^ ۲ ( x ) + \sin ^ ۲ ( x ) } { \cos ^ ۲ ( x ) }
$$

مجموع مربعات سینوس و کسینوس یک زاویه برابر با ۱‍ است. بنابراین:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { \sin ( x ) }{ \cos ( x ) } \right ) = \frac { ۱‍ } { \cos ^ ۲ ( x ) }
$$

تقسیم عدد ۱‍ بر روی کسینوس یک زاویه (نسبت عکس کسینوس)، به عنوان سکانت آن زاویه تعریف می‌شود. به این ترتیب:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { \sin ( x ) }{ \cos ( x ) } \right ) = \sec ^ ۲ ( x )
$$

$$ \frac { d } { d x } \tan ( x ) = \sec ^ ۲ ( x ) $$

اکنون، رابطه 'f و 'g را داریم. این روابط را به همراه f و g درون فرمول مشتق ضرب دو تابع قرار می‌دهیم:

$$ ( f \cdot g ) ^ { \prime } = f ^ { \prime } \cdot g + f \cdot g ^ { \prime } $$

$$
( \sin ( \cos ( x ) ) \cdot \tan ( x ) ) ^ { \prime } = ( - \cos ( \cos ( x ) ) \sin( x ) ) \cdot \tan ( x ) + \sin ( \cos ( x ) ) \cdot \sec ^ ۲ ( x )
$$

$$
( \sin ( \cos ( x ) ) \cdot \tan ( x ) ) ^ { \prime } = \sec ^ ۲ ( x )\sin ( \cos ( x ) ) - \tan ( x )\cos ( \cos ( x ) ) \sin( x )
$$

تمرین ۵: محاسبه مشتق sin(xy)

مشتق $$ y = \sin ( x y ) $$ را نسبت به x به دست بیاورید.

جواب این تمرین، با استفاده از قواعد مشتق ضمنی به دست می‌آید. روند این نوع مشتق‌گیری، معمولا کمی پیچیده است. برای شروع، عبارت مورد سوال را در نظر بگیرید:

$$ y = \sin ( x y ) $$

مشتق تابع y به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ \frac { d y } { d x } = \frac { d } { d x } \sin ( x y ) $$

به منظور حل مشتق بالا، از تغییر متغیرهای زیر استفاده می‌کنیم:

$$ a = x y $$

$$ b = \sin ( a ) $$

$$ u = x $$

$$ v = y $$

اگر از u نسبت به x مشتق بگیریم، خواهیم داشت:

$$ \frac { d u } { d x } = ۱ $$

در صورت مشتق‌گیری از v نسبت به x، به عبارت زیر می‌رسیم:

$$ \frac { d v } { d x } = \frac { d y } { d x } $$

با توجه به روابط بالا و بر اساس قانون مشتق ضرب دو تابع، مشتق a نسبت به x برابر است با:

$$ \frac { d a } { d x } = u \frac { d v } { d x } + v \frac { d u } { d x } $$

$$ \frac { d a } { d x } = x \frac { d y } { d x } + y $$

با مشتق‌گیری از b نسبت به a، داریم:

$$ \frac { d b } { d a } = \frac { d } { d a } \sin ( a ) = \cos ( a ) $$

صورت سوال، مشتق y را نسبت به x می‌خواهد. بنابراین، مشتق b را نسبت به x می‌نویسیم:

$$
\frac { d b } { d x } = \frac { d b } { d x } \times \frac { d a } { d a }
$$

جای مخرج دو کسر را با یکدیگر عوض می‌کنیم:

$$
\frac { d b } { d x } = \frac { d b } { d a } \times \frac { d a } { d x }
$$

$$
\frac { d b } { d x } = \cos ( a ) \cdot \left ( x \frac { d y } { d x } + y \right )
$$

$$
\frac { d b } { d x } = \cos ( x y ) \cdot \left ( x \frac { d y } { d x } + y \right )
$$

با ضرب cos(xy) در عبارت‌های درون پرانتز، به رابطه زیر می‌رسیم:

$$
\frac { d b } { d x } = \frac { d y } { d x } x \cos ( x y ) + y \cos ( x y )
$$

توجه داشته باشید که $$ \frac { d b } { a x } $$، همان $$ \frac { d y } { d x } $$ است. بنابراین:

$$
\frac { d y } { d x } = \frac { d y } { d x } x \cos ( x y ) + y \cos ( x y )
$$

عبارت‌های دارای $$ \frac { d y } { d x } $$ را به یک طرف معادله می‌بریم:

$$
\frac { d y } { d x } - \frac { d y } { d x } x \cos ( x y ) = y \cos ( x y )
$$

سپس، از $$ \frac { d y } { d x } $$ فاکتور می‌گیریم:

$$
\frac { d y } { d x } \left ( ۱‍ - x \cos ( x y ) \right )= y \cos ( x y )
$$

در نتیجه، داریم:

$$
\frac { d y } { d x } = \frac { y \cos ( x y ) } { ۱‍ - x \cos ( x y ) }
$$

به این ترتیب، مشتق sin(xy) را به دست آوردیم.

سوالات متداول در رابطه با مشتق سینوس

در این بخش، به برخی از پرتکرارترین سوالات مرتبط با مشتق sin به طور مختصر پاسخ می‌دهیم.

تعریف مشتق sin چیست ؟

مشتق sin، شیب مماس بر منحنی این تابع در یک زاویه مشخص است.

مشتق sin چه می شود ؟

مشتق سینوس برابر با کسینوس است.

فرمول مشتق sin چیست ؟

فرمول مشتق سینوس، sin'(x)=cos(x) است.

مشتق مرتبه دوم sin چیست ؟

مشتق مرتبه دوم سینوس برابر با منفی سینوس (sin-) است.

مشتق مرتبه چندم سینوس با خودش برابر می شود ؟

برای تابع سینوس، مشتق مرتبه ۴n (مرتبه چهارم، هشتم، دوازدهم و غیره) با خودش برابر می‌شود.

مشتق سینوس یو چیست ؟

اگر u، یک تابع باشد، مشتق سینوس u برابر با مشتق u در کسینوس u می‌شود.

مشتق sinh چیست ؟

مشتق سینوس هیپربولیک (مشتق sinh)، برابر با کسینوس هیپربولیک (cosh) است.

مشتق sin به توان 2 چند است ؟

مشتق sin^2 برابر با 2sin است.