مشتق توابع پارامتری — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

۳۶۹۴ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۰۳ مرداد ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۴۴ دقیقه
مشتق توابع پارامتری — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی از مجموعه مقالات ریاضی مجله فرادرس، درباره مفهوم مشتق و روش‌های مشتق‌گیری بحث کردیم و مباحثی مانند مشتق لگاریتم و تابع نمایی، مشتق ضمنی، مشتق جزئی، مشتق زنجیره‌ای و مشتق جهتی را توضیح دادیم. در این آموزش، درباره مشتق توابع پارامتری بحث خواهیم کرد.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

محاسبه مشتق توابع پارامتری

رابطه بین متغیرهای $$ x $$ و $$ y $$ را می‌توان به‌صورت پارامتری و با استفاده از دو معادله زیر بیان کرد:

$$ \large \left \{
\begin {aligned}
x &= x\left( t\right) \\
y &= y\left( t\right)
\end{aligned}
\right., $$

که در آن، متغیر $$t $$، یک پارامتر نامیده می‌شود. برای مثال، دو تابعِ

$$ \large \left \{
\begin {aligned}
x &= R \cos t \\
y &= R \sin t
\end{aligned}
\right. $$

فرم پارامتری دایره‌ای به مرکز مبدأ محتصات و به شعاع $$R$$ هستند. در این حالت، پارامتر $$t $$ از $$ 0 $$ تا $$ 2 \pi $$ تغییر می‌کند.

اکنون می‌خواهیم عبارتی را برای مشتق تابع پارامتری پیدا کنیم. فرض کنید توابع $$ x = x\left( t \right) $$ و $$ y = y\left( t \right) $$، در بازه $$ \alpha \lt t \lt \beta $$ مشتق‌پذیر باشند و داشته باشیم: $$ x’\left( t \right) \ne 0 $$. همچنین فرض کنید معکوس تابع $$ x = x\left( t \right) $$، عبارت $$ t = \varphi \left( x \right) v$$ است.

با استفاده از قضیه تابع معکوس می‌توان نوشت:

$$ \large \frac { { d t }} { { d x}} = { t ’ _ x } = \frac { 1 } {{ { x ’ _ t } } } . $$

تابع اصلی $$ y\left( x \right) $$ را می‌توان به‌صورت تابع ترکیبی زیر در نظر گرفت:

$$ \large  y \left( x \right) = y\left( { t \left( x \right)} \right).$$

مشتق این تابع، برابر است با:

$$ \large { { y ’ _ x} = { y ’ _ t } \cdot { t ’ _ x } }
= { { y ’ _ t } \cdot \frac { 1 } { { { x ’ _ t } } } }
= { \frac { { { y ’ _ t } } } { { { x ’ _ t } } } . } $$

با استفاده از این فرمول می‌توان مشتق یک تابع پارامتری را بدون بیان $$ y\left( x \right) $$ در فرم صریح آن محاسبه کرد.

مثال‌ها

در ادامه، برای آشنایی بیشتر با مشتق‌گیری از توابع پارامتری، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$ \large x = { t ^ 2 },\;\;y = { t ^ 3 } . $$

حل: ابتدا مشتق $$x $$ و $$ y $$ را نسبت به $$ t $$ محاسبه می‌کنیم:

$$ \large { { x ’ _ t } = { \left( { { t ^ 2 } } \right) ^ \prime } = 2 t,\;\;}\kern-0.3pt
{ { y ’ _ t } = { \left( { { t ^ 3 } } \right) ^ \prime } = 3 { t ^ 2 } . } $$

بنابراین، مشتق به‌‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$ \large { \frac { { d y } } { { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { {{ y ’ _ t } } }{ { { x ’ _ t } } } }
= { \frac { { 3 { t ^ 2 } } } { { 2 t } } }
= { \frac { { 3 t } } { 2 }\;\left( { t \ne 0} \right).} $$

مثال ۲

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$ \large { x = 2 t + 1 ,\;\;}\kern-0.3pt{ y = 4 t – 3 . } $$

حل:‌ مشتق دو متغیر نسبت به پارامتر $$t$$‌ به‌صورت زیر است:

$$ \large { { x ’ _ t } = \left( { 2 t + 1 } \right) = 2,\;\;}\kern-0.3pt
{ { y ’ _ t } = {\left( { 4 t – 3 } \right) ^ \prime } = 4.} $$

بنابراین، داریم:

$$ \large { \frac { { d y } } { { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { {{ y ’ _ t } } } { { { x ’ _ t } } } } = { \frac { 4 } { 2 } = 2.} $$

مثال ۳

مشتق تابع پارامتری نمایی زیر را به‌دست آورید:

$$ \large x = { e ^ { 2 t } } ,\;\;y = { e ^ { 3t } } . $$

حل: ابتدا مشتقات را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large { { x ’ _ t } = { \left( { { e ^ { 2 t } } } \right) ^ \prime } = 2 { e ^ { 2 t } } ,\;\;}\kern-0.3pt
{ { y ’ _ t } = { \left( { { e ^ { 3 t } } } \right) ^ \prime } = 3 { e ^ { 3 t } } . } $$

در نتیجه، مشتتق $$ \large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize $$ برابر است با:

$$ \large { \frac { { d y } } { { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { { { y ’ _ t } } } { { { x ’ _ t } } } }
= { \frac { { 3 { e ^ { 3 t } } } } {{ 2 { e ^ { 2 t } }} } }
= { \frac { 3 } { 2 }{ e ^ { 3 t – 2 t } } }
= { \frac { 3 } { 2 } { e ^ t } . } $$

مثال ۴

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$ \large x = a t, \;\; y = b { t ^ 2 } . $$

حل:‌ مشتق دو متغیر نسبت به پارامتر $$ t $$‌ به‌صورت زیر است:

$$ \large { { x ’ _ t } = { \left( { a t } \right) ^ \prime } = a,\;\;}\kern-0.3pt
{ { y ’ _ t } = { \left( { b { t ^ 2 } } \right) ^ \prime } = 2 b t . } $$

بنابراین، داریم:

$$ \large \frac { { d y } } { { d x } } = { y ’ _ x} = \frac { { {y ’_ t } }} {{ { x ’_ t } } }
= \frac { { 2 bt } } { a} . $$

مثال ۵

مشتق تابع پارامتری مثلثاتی زیر را محاسبه کنید:

$$ \large { x = { \sin ^ 2 } t,\;\;}\kern-0.3pt { y = { \cos ^ 2 } t . } $$

حل:‌ مشتق دو متغیر نسبت به پارامتر $$ t $$‌ به‌صورت زیر است:

$$ \large { { x ’ _ t } = { \left( { { { \sin } ^ 2 } t } \right) ^ \prime } = { 2 \sin t \cdot \cos t} = { \sin 2 t ,} } $$

$$ \large { { y ’ _ t } = { \left( { { { \cos } ^ 2 } t } \right) ^ \prime } = { 2 \cos t \cdot \left( { – \sin t} \right)} = {- 2\sin t\cos t} = {- \sin 2 t .}} $$

بنابراین:

$$ \large \require{cancel}
{\frac { { d y } } { { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { { { y ’ _ t } } } {{ { x ’ _ t } }} }
= {\frac{{ – \cancel{\sin 2 t } }} { { \cancel {\sin 2 t } } } = – 1,\;\;}\kern-0.3pt
{\;\;t \ne \frac{{\pi n}} { 2 } ,\;\;}\kern-0.3pt{n \in \mathbb{Z}.} $$

مثال ۶

مشتق تابع پارامتری هذلولوی زیر را محاسبه کنید:

$$ \large { x = \sinh t,\;\;}\kern-0.3pt { y = \cosh t . } $$

حل: ابتدا مشتقات را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large { { x ’ _ t } = { \left( { \sinh t } \right) ^ \prime } = \cosh t,\;\;}\kern-0.3pt
{ { y ’ _ t } = { \left( {\cosh t} \right) ^ \prime } = \sinh t . } $$

بنابراین، مشتق $$\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize $$‌ برابر است با:

$$ \large { \frac { { d y } }{ { dx } } = { y ’ _ x } = \frac { { {y ’ _ t} }}{ { { x ’ _ t }} } }
= { \frac { { \sinh t } }{ { \cosh t}} }
= {\tanh t.} $$

مثال ۷

مشتق تابع پارامتری زیر را محاسبه کنید:

$$ \large { x = a \cos t ,\;\;}\kern-0.3pt{ y = b \sin t . } $$

حل: معادلات بالا، یک بیضی را توصیف می‌کنند. مشتق متغیرهای $$x$$ و $$y$$ نسبت به پارامتر $$t $$ به‌صورت زیر است:

$$ \large { { x ’ _ t } = { \left( { a \cos t} \right) ^ \prime } = – a\sin t,\;\;}\kern-0.3pt
{ { y ’ _ t } = { \left( { b \sin t } \right) ^ \prime } = b \cos t.} $$

مشتق $$ \large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize $$ برابر است با:

$$ \large { \frac { { d y } }{ {d x} } = { y ’_ x } = \frac { {{ y ’_ t} } } {{ {x ’_ t } }} }
= {\frac { { b \cos t } } { {\left( { – a\sin t} \right)}} }
= { – \frac { b }{ a }\cot t.} $$

در این‌جا، پارامتر $$ t$$ از $$ -\pi $$ تا $$ \pi $$ تغییر می‌کند. البته مشتق $$ \large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize $$ در نقاط $$ t = 0, \pm \pi $$ بی‌نهایت می‌شود. بنابراین، دامنه را می‌توان به‌صورت $$ 0 \lt \left| t \right| \lt \pi $$ نشان داد.

مثال ۸

مشتق تابع پارامتری زیر را محاسبه کنید:

$$ \large { x = 2 { t ^ 2 } + t + 1,\;\;}\kern-0.3pt
{ y = 8 { t ^ 3 } + 3 { t ^ 2 } + 2.} $$

حل:‌ از هردو معادله نسبت به $$t$$ مشتق می‌گیریم:

$$ \large {{x’_t} = {\left( {2{t^2} + t + 1} \right)^\prime } ={ 4t + 1,\;\;}} $$

$$ \large {{ y ’_ t } = { \left( {8{ t ^ 3 } + 3 { t ^ 2 } + 2 } \right) ^ \prime } = { 24 { t ^ 2 } + 6t.}} $$

در نتیجه، مشتق $$ \large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize $$ را می‌توان به‌صورت زیر محاسبه کرد:

$$ \large { \frac { { d y }} { { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { { { y ’ _ t } } } {{ { x ’ _ t }} } }
= { \frac { { 2 4 { t ^ 2 } + 6 t } } {{ 4 t + 1} } }
= { \frac { { 6 t \cancel {\left( { 4 t + 1 } \right)}}}{{\cancel{4t + 1 } } } = 6 t . } $$

مثال ۹

مشتق تابع پارامتری زیر را محاسبه کنید:

$$ \large { x = \sqrt { 1 – { t ^ 2 } } ,\;\;}\kern-0.3pt{ y = \arcsin t . } $$

حل: مشتق متغیرهای نسبت به پارامتر به‌شکل زیر است:

$$ \large { { x ’ _ t } = { \left( { \sqrt { 1 – { t ^ 2 } } } \right) ^ \prime } = {\frac { 1 } { { 2 \sqrt { 1 – { t ^ 2 } } } } \cdot {\left( { \sqrt {1 – { t ^ 2} } } \right) ^ \prime }} } \\ \large
= { \frac { { – \cancel { 2 } t } }{{\cancel { 2 }\sqrt { 1 – { t ^ 2 } } } } }
= { – \frac { t } { {\sqrt { 1 – { t ^ 2 } } } },\;\;}$$

$$ \large { { { y ’ _ t } = { \left( { \arcsin t } \right) ^ \prime } }
= { \frac { 1 } { { \sqrt { 1 – { t ^ 2 } } } } .} } $$

مشتق $$ \large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize $$ به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$ \large { \frac { { d y } } { { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { { { y ’ _ t } } } {{ { x ’ _ t } } } }
= { \frac { { \frac { 1 } { { \sqrt { 1 – { t ^ 2 } } }} } }{ { \frac { { – t } }{ { \sqrt { 1 – { t ^ 2 } } }}}} }
= {\frac{1}{{\sqrt {1 – {t^2}} }} \cdot \frac{{\sqrt {1 – {t ^ 2 }} }}{{\left( { – t} \right)}} }
= { – \frac { 1 } { t } ,} $$

که در آن، پارامتر $$t$$ در شرایط $$ \left| t \right| \lt 1,\;t \ne 0 $$ صدق می‌کند.

مثال 10

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$ \large { x = { \sin ^ 3 } t,\;\;}\kern-0.3pt{y = {\cos ^3}t.} $$

حل: ابتدا مشتق‌های $$ x’_t $$ و $$ y’_t $$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large { { x ’ _ t } = { \left( { { { \sin } ^ 3 } t } \right) ^ \prime } = { 3\,{ \sin ^ 2 } t \cos t, }\;\; }\kern-0.3pt
{ { y ’ _ t } = { \left( { { { \cos } ^ 3 } t } \right) ^ \prime } = { - 3 \,{ \cos ^ 2 } t \sin t . } } $$

مشتق $$ \large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize $$‌ برابر است با:

$$ \large { \frac { { d y } }{ { d x } } = { y ’ _ x } = \frac {{ { y’ _ t} }} {{{ x ’ _ t } } } }
= { \frac { { – \cancel { 3 } { { \cos } ^ { \cancel { 2} } } t \cancel{\sin t } }} { { \cancel { 3 } { { \sin } ^ { \cancel{ 2 } } } t \cancel{\cos t}}} }
= { – \frac { { \cos t } } { { \sin t } } = – \cot t , } $$

که در آن، $$ t \ne {\large\frac{{\pi n}}{2}\normalsize} $$. محدودیت‌های مقادیر ممکن $$t$$ در شرط $$ {x’_t} \ne 0 $$ صدق می‌کنند.

 

مثال ۱۱

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$ \large { x = \frac { { t + 1 } } { { t – 1 } }, \;\;}\kern-0.3pt{ y = \frac { { t – 1 } } { { t + 1 } } . } $$

حل: مشتق هر یک از متغیرها به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large { { x ’ _ t } = { \left( { \frac { { t + 1 } } { { t – 1 } } } \right) ^ \prime } }
= { \frac { { 1 \cdot \left( { t – 1 } \right) – \left( { t + 1 } \right) \cdot 1 } } { { { { \left( {t – 1} \right) } ^ 2 } } } }
= { \frac { { \cancel { { t } } – { 1 } – \cancel { { t } } – { 1 } } } { { { { \left( { t – 1 } \right) } ^ 2 } } } }
= { \frac { { – { 2 } } } { { { { \left( { t – 1 } \right) } ^ 2 } } } ; } $$

$$ \large { { y ’ _ t } = { \left( { \frac { { t – 1 } } { { t + 1 } } } \right) ^ \prime } }
= { \frac { { 1 \cdot \left( { t + 1 } \right) – \left( { t – 1 } \right) \cdot 1}}{{{{\left( { t + 1 } \right) } ^ 2 } } } }
= { \frac { { \cancel { { t } } + { 1 } – \cancel { { t } } + { 1 } }} { { { { \left( { t + 1} \right) } ^ 2 } } } }
= { \frac { { 2 }} { { { {\left( { t + 1 } \right) } ^ 2 } } } . } $$

در نتیجه، مشتق $$ \large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize $$ را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$ \large { \frac { { d y } } { { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { { { y ’ _ t } } }{ {{ x ’ _ t} } } }
= {\frac{{\frac{2}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}}}{{\frac{{\left( { – 2 } \right)}}{{{{\left( {t – 1} \right)} ^ 2 } }} } } }
= { – \frac{{{{\left( { t – 1 } \right) } ^ 2 } } } { { {{ \left( {t + 1 } \right) } ^ 2 } } } }
= { – {\left( {\frac { { t – 1 } } { { t + 1 } } } \right) ^ 2 } . } $$

پارامتر $$ t $$ می‌تواند هر مقداری داشته باشد، جز $$ t = \pm 1 $$ که در آن نقاط، متغیرهای $$x$$ و $$y$$ ناپیوسته هستند.

مثال ۱۲

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$ \large { x = \sqrt { { t ^ 2 } + 1 } ,\;\;}\kern-0.3pt { y = \ln \left( { { t ^ 2 } + 1 } \right).} $$

حل: مشتق هر یک از متغیرها به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large { { x ’ _ t } = { \left( { \sqrt { { t ^ 2 } + 1 } } \right) ^ \prime } }
= { \frac { 1 } { { 2 \sqrt { { t ^ 2} + 1 } } } \cdot {\left( { { t ^ 2 } + 1 } \right) ^ \prime } } \\ \large
= { \frac { { \cancel { 2 } t } } { { \cancel { 2 } \sqrt { { t ^ 2 } + 1 } } } }
= { \frac { t } { { \sqrt { { t ^ 2 } + 1 } } } ; }$$

$$ \large { { y ’ _ t } = { \left( {\ln \left( { { t ^ 2 } + 1 } \right) } \right) ^ \prime } }
= { \frac { 1 } { { { t ^ 2 } + 1 } } \cdot { \left( { { t ^ 2 } + 1 } \right) ^ \prime } }
= { \frac { { 2 t } } { { { t ^ 2 } + 1 } } . } $$

در نتیجه:

$$ \large { \frac { { d y } } { { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { { { y ’ _ t } } } { { { x ’ _ t } } } }
= { \frac { { \frac { { 2 t} } {{{ t ^ 2 } + 1 } } } } {{\frac{t}{{\sqrt { { t ^ 2 } + 1 } } } }} } \\ \large
= {\frac { {2 t }}{ {{ t ^ 2 } + 1 } } \cdot \frac{{\sqrt { { t ^ 2 } + 1 } } } { t } }
= { \frac { 2 } {{ \sqrt { { t ^ 2 } + 1 } } } . } $$

مثال ۱۳

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$ \large { x = { e ^ t } \sin t,\;\;}\kern-0.3pt{ y = { e ^ { – t } } \cos t . } $$

حل: ابتدا مشتق‌های $$ x’_t $$ و $$ y’_t $$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large { { x ’ _ t } = { \left( { { e ^ t } \sin t } \right) ^ \prime } }
= { { \left( { { e ^ t } } \right) ^ \prime } \sin t + { e ^ t } { \left( { \sin t } \right) ^ \prime } } \\ \large
= { { e ^ t } \sin t + { e ^ t } \cos t = { e ^ t } \left( { \sin t + \cos t} \right) ; } $$

$$ \large { { y ’ _ t } = { \left( { { e ^ { – t } } \cos t } \right) ^ \prime } }
= { { \left( { { e ^ { – t } } } \right) ^ \prime } \cos t + { e ^ { – t } } { \left( {\cos t } \right) ^ \prime } } \\ \large
= { – { e ^ { – t } } \cos t + { e ^ { – t } }\left( { – \sin t} \right) }
= { – { e ^ { – t } } \left( {\cos t + \sin t} \right).} $$

در نتیجه، داریم:

$$ \large {\frac { { d y } }{ { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { {{ y ’ _ t } }}{ { { x ’_ t }} } }
= { \frac { { – { e ^ { – t } }\cancel{\left( {\cos t + \sin t} \right) } } } { {{ e ^ t } \cancel{\left( {\sin t + \cos t} \right)}}} }
= { – { e ^ { – 2 t } } . } $$

مشتق، در شرایط زیر وجود دارد:

$$ \large { \sin t + \cos t \ne 0,\;\;}\Rightarrow
{ \tan t + 1 \ne 0,\;\; } \\ \large \Rightarrow
{ \tan t \ne – 1,\;\; } \Rightarrow
{ t \ne – \frac { \pi } { 4 } + \pi n,\;\;}\kern-0.3pt{n \in \mathbb { Z } . } $$

مثال 14

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$ \large { x = t – \sin t,\;\;}\kern-0.3pt { y = 1 – \cos t . } $$

حل: ابتدا مشتق‌های $$ x’_t $$ و $$ y’_t $$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large { { x ’ _ t } = { \left( { t – \sin t } \right) ^ \prime } = 1 – \cos t;\;\;}\kern-0.3pt
{ { y ’ _ t } = { \left( { 1 – \cos t } \right) ^ \prime } = \sin t.} $$

اکنون مشتق $$ \large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize $$ را می‌نویسیم:

$$ \large { \frac { { d y } }{ {d x } } = { y ’ _ x } = \frac { { { y ’ _ t } }}{ { { x ’_ t } } } }
= { \frac { { \sin t } } { { 1 – \cos t } } . } $$

عبارت اخیر را می‌توان به‌صورت زیر ساده کرد:

$$ \large { \frac { { d y }} {{ d x }} = \frac { { \sin t } }{ { 1 – \cos t }} }
= { \frac { { \cancel { 2 } \cancel{\sin \frac{t}{2}}\cos \frac{t}{2}}}{{\cancel{2}{{\sin } ^ { \cancel {2 }} } \frac { t} { 2 } } } }
= {\frac { { \cos \frac { t} { 2 }} } { { \sin \frac { t} { 2 }}} }
= {\cot \frac {t }{ 2} } $$

که در آن $$ t \ne 2\pi n,n \in \mathbb{Z} $$.

مثال 15

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$ \large { x = 1 + \sqrt t ,\;\;}\kern-0.3pt
{ y = t – \frac { 1 } { { \sqrt t } },\;\;}\kern-0.3pt
{ \left( { t \gt 0} \right).} $$

حل: مشتق توابع $$x(t)$$ و $$y(t)$$ نسبت به پارامتر $$t$$ به‌صورت زیر است:

$$ \large {{ x ’ _ t } = {\left( { 1 + \sqrt t } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt t }};\;\;} $$

$$ \large { { y ’ _ t } = {\left( {t – \frac{1}{{\sqrt t }}} \right) ^ \prime } }
= { { \left( { t – { t ^ { – \large\frac { 1 } { 2 }\normalsize}}} \right) ^ \prime } }
= {1 + \frac { 1} { 2 } { t ^ { – \large\frac{3}{2}\normalsize}} }
= {1 + \frac{1}{{2\sqrt {{ t ^ 3 } } }}.} $$

در نهایت، مشتق $$ \large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize $$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large {\frac { { d y } } {{ d x } } = { y ’ _ x } = \frac { { { y ’ _ t } }} { {{ x ’ _ t }} } }
= {\frac { { 1 + \frac { 1 }{ { 2\sqrt {{ t^ 3 } } }} }}{{\frac{1}{{2\sqrt t }}}} }
= {\frac{{\frac{ { 2 \sqrt { { t ^ 3 }} + 1 } } { { 2 \sqrt { { t ^ 3 } } } }} }{ { \frac { 1 } { {2 \sqrt t }} } } } \\ \large
= { \frac{{\left( {2 \sqrt { { t ^ 3 } }+ 1} \right) \cdot 2\sqrt t }}{{2\sqrt { { t ^ 3 } } }} }
= {\frac{{2\sqrt { { t ^ 3 } } + 1}}{{\sqrt {{t^2}} }} }
= {\frac{{2\sqrt {{t^3}} + 1}}{{\left| t \right|}} }
= {\frac{{2\sqrt {{ t ^ 3 }} + 1}}{t},\;\;}\kern-0.3pt \;\;t \gt 0.$$

مثال ۱۶

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$ \large {x = {\tan ^2}t,\;\;}\kern-0.3pt{y = {\cos ^2}t.} $$

حل: مشتق توابع $$x(t)$$ و $$y(t)$$ نسبت به پارامتر $$t$$ به‌صورت زیر است:

$$ \large { { x ’ _ t } = {\left( { { { \tan } ^ 2 }t} \right)^\prime } }
= {2\tan t \cdot {\left( {\tan t} \right)^\prime } } \\ \large \large
= {2\tan t \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}t}} }
= {\frac{{2\sin t}}{{\cos t}} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}t}} }
= {\frac{{2\sin t}}{{{{\cos }^3}t}};} $$

$$ \large {{y’_t} = {\left( {{{\cos }^2}t} \right)^\prime } }
= {2\cos t \cdot {\left( {\cos t} \right)^\prime } }\\ \large
= {2\cos t \cdot \left( { – \sin t} \right) }
= { – 2\sin t\cos t.} $$

در نتیجه، داریم:

$$ \large {\frac{{dy}}{{dx}} = {y’_x} = \frac{{{y’_t}}}{{{x’_t}}} } \\ \large
= {\frac{{ – \cancel{2\sin t}\cos t}}{{\frac{{\cancel{2\sin t}}}{{{{\cos }^3}t}}}} }
= { – \cos t \cdot {\cos ^3}t }
= { – {\cos^4}t.} $$

که در این حالت $$ t \ne {\large\frac{{\pi n}}{2}\normalsize} $$.

مثال ۱۷

مشتق تابع پارامتری زیر را محاسبه کنید:

$$ \large {x = \arccos \left( {1 – t} \right),\;\;}\kern-0.3pt{y = \sqrt { 2t – {t ^ 2}} .} $$

حل: ابتدا مشتق $$ x’_t $$ و $$ y’_t $$ را مي‌نویسیم:

$$ \large {{x’_t} = {\left( {\arccos \left( {1 – t} \right)} \right)^\prime } }
= { – \frac{1}{{\sqrt {1 – {{\left( {1 – t} \right)}^2}} }} \cdot {\left( {1 – t} \right)^\prime } } \\ \large
= { – \frac{1}{{\sqrt {1 – \left( {1 – 2t + {t^2}} \right)} }} \cdot \left( { – 1} \right) }
= {\frac{1}{{\sqrt {\cancel{1} – \cancel{1} + 2t – {t^2}} }} }
= {\frac{1}{{\sqrt {2t – {t^2}} }};} $$

$$ \large { { y ’ _ t } = {\left( {\sqrt {2t – {t^2}} } \right)^\prime } }
= {\frac{1}{{2\sqrt {2t – {t^2}} }} \cdot {\left( {2t – {t^2}} \right)^\prime } } \\ \large
= {\frac{{2 – 2t}}{{2\sqrt {2t – {t^2}} }} }
= {\frac{{1 – t}}{{\sqrt {2t – {t^2}} }}.} $$

اکنون به‌راحتی می‌توانیم $$ \large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize $$ را محاسبه کنیم:

$$ \large {\frac{{dy}}{{dx}} = {y’_x} = \frac{{{y’_t}}}{{{x’_t}}} }
= {\frac{{\frac{{1 – t}}{{\sqrt {2t – {t^2}} }}}}{{\frac{1}{{\sqrt {2t – {t^2}} }}}} } \\ \large
= {\frac{{1 – t}}{{\cancel{\sqrt {2t – {t^2}}} }} \cdot \frac{{\cancel{\sqrt {2t – {t^2}}} }}{1} }
= {1 – t.} $$

مقادیر مجاز $$t$$ را می‌توان از نامعادلات زیر به‌دست آورد:

$$ \large {\left\{ \begin{array}{l}
– 1 \le 1 – t \le 1\\
2t – {t^2} \gt 0
\end{array} \right.,\;\;}\Rightarrow
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 – t \ge – 1}\\
{1 – t \le 1}\\
{t\left( {2 – t} \right) \gt 0}
\end{array}} \right.,\;\;} \\ \large \Rightarrow
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – t \ge – 2}\\
{ – t \le 0}\\
{0 \lt t \lt 2}
\end{array}} \right.,\;\;}\Rightarrow
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t \le 2}\\
{t \ge 0}\\
{0 \lt t \lt 2}
\end{array}} \right.,\;\;}\Rightarrow
{0 \lt t \lt 2.} $$

مثال 18

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$ \large {x = {\sin ^4}2t,\;\;}\kern-0.3pt{y = {\cos ^4}2t.} $$

حل: مشتق توابع $$x(t)$$ و $$y(t)$$ نسبت به پارامتر $$t$$ به‌صورت زیر است:

$$ \large {{x’_t} = {\left( {{{\sin }^4}2t} \right)^\prime } }
= {4\,{\sin ^3}2t \cdot {\left( {\sin 2t} \right)^\prime } } \\ \large
= {4\,{\sin ^3}2t \cdot 2\cos 2t }
= {8\,{\sin ^3}2t\cos 2t;} $$

$$ \large {{y’_t} = {\left( {{{\cos }^4}2t} \right)^\prime } }
= {4\,{\cos ^3}2t \cdot {\left( {\cos 2t} \right)^\prime } } \\ \large
= {4\,{\cos ^3}2t \cdot \left( { – 2\sin 2t} \right) }
= { – 8\,{\cos ^3}2t\sin 2t.} $$

اکنون مشتق $$ \large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize $$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \frac{{dy}}{{dx}} = {y’_x} = \frac{{{y’_t}}}{{{x’_t}}} \\ \large
= \frac{{ – 8\,{{\cos }^3}2t\sin 2t}}{{8\,{{\sin }^3}2t\cos 2t}}
= – \frac{{{{\cos }^2}2t}}{{{{\sin }^2}2t}}
= – {\cot ^2}2t. $$

در این مثال، مقادیر مجاز $$t$$ در شرایط زیر صدق می‌کنند:

$$ \large {{x’_t} \ne 0,\;\;}\Rightarrow
{8\,{\sin ^3}2t\cos 2t \ne 0,\;\;}\Rightarrow
{\left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^3}2t \ne 0\\
\cos 2t \ne 0
\end{array} \right.,\;\;}\\ \large \Rightarrow
{\left\{ \begin{array}{l}
2t \ne \pi n\\
2t \ne \frac{\pi }{2} + \pi n
\end{array} \right.,\;\;}\Rightarrow
{\left\{ \begin{array}{l}
t \ne \frac{{\pi n}}{2}\\
t \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi n}}{2}
\end{array} \right.,\;\;}\Rightarrow
{t \ne \frac{{\pi n}}{4},\;n \in \mathbb{Z}.} $$

مثال ۱۹

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$ \large {x = \arcsin {e^t},\;\;}\kern-0.3pt{y = \sqrt {1 – {e^{2t}}} .} $$

حل: مشتق دو متغیر نسبت به پارامتر $$ t $$‌ به‌صورت زیر است:

$$ \large {{x’_t} = {\left( {\arcsin {e^t}} \right)^\prime } }
= {\frac{1}{{\sqrt {1 – {{\left( {{e^t}} \right)}^2}} }} \cdot {\left( {{e^t}} \right)^\prime } }
= {\frac{{{e^t}}}{{\sqrt {1 – {{\left( {{e^t}} \right)}^2}} }};} $$

$$ \large {{y’_t} = {\left( {\sqrt {1 – {e^{2t}}} } \right)^\prime } }
= {\frac{1}{{2\sqrt {1 – {e^{2t}}} }} \cdot {\left( {1 – {e^{2t}}} \right)^\prime } } \\ \large
= {\frac{{ – \cancel{2}{e^{2t}}}}{{\cancel{2}\sqrt {1 – {e^{2t}}} }} }
= { – \frac{{{e^{2t}}}}{{\sqrt {1 – {e^{2t}}} }}.} $$

بنابراین، داریم:

$$ \large {\frac{{dy}}{{dx}} = {y’_x} = \frac{{{y’_t}}}{{{x’_t}}} }
= {\frac{{ – \frac{{{e^{2t}}}}{{\sqrt {1 – {e^{2t}}} }}}}{{\frac{{{e^t}}}{{\sqrt {1 – {e^{2t}}} }}}} }\\ \large
= { – \frac{{{e^{2t}}}}{{\cancel{\sqrt {1 – {e^{2t}}}} }} \cdot \frac{{\cancel{\sqrt {1 – {e^{2t}}}} }}{{{e^t}}} }
= { – \frac{{{e^{2t}}}}{{{e^t}}} }
= { – {e^t}.} $$

پارامتر $$t$$ در بازه زیر قرار دارد:

$$ \large {1 – {e^{2t}} \gt 0,\;\;}\Rightarrow
{{e^{2t}} \lt 1,\;\;}\\ \large \Rightarrow
{{e^{2t}} \lt {e^0},\;\;}\Rightarrow
{2t \lt 0,\;\;}\Rightarrow
{t \lt 0} $$

یعنی پارامتر $$t$$ فقط باید منفی باشد.

مثال 20

مشتق تابع پارامتری زیر را در $$ t = {\large\frac{1}{2}\normalsize} $$ محاسبه کنید.

$$ \large x = t + 2\sin \pi t, \,\,\,\, y = 3t – \cos \pi t $$

حل: مشتق دو متغیر نسبت به پارامتر $$ t $$‌ به‌صورت زیر است:

$$ \large {{x’_t} = {\left( {t + 2\sin \pi t} \right)^\prime } = {1 + 2\pi \cos \pi t,}\;\;} \\ \large
{{y’_t} = {\left( {3t – \cos \pi t} \right)^\prime } = {3 + \pi \sin \pi t.}} $$

بنابراین، داریم:

$$ \large {\frac{{dy}}{{dx}} = {y’_x} = \frac{{{y’_t}}}{{{x’_t}}} }
= {\frac{{3 + \pi \sin \pi t}}{{1 + 2\pi \cos \pi t}}.} $$

با جایگذاری $$ t = {\large\frac{1}{2}\normalsize}$$ در رابطه اخیر، می‌توان نوشت:

$$ \large {\frac{{dy}}{{dx}}\left( {t = \frac{1}{2}} \right) }
= {\frac{{3 + \pi \sin \frac{\pi }{2}}}{{1 + 2\pi \cos \frac{\pi }{2}}} }
= {\frac{{3 + \pi \cdot 1}}{{1 + 2\pi \cdot 0}} }
= {3 + \pi .} $$

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است و علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه هستید، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

فیلم‌ های آموزش مشتق توابع پارامتری — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فیلم آموزشی مشتق توابع پارامتری

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل چند مثال از مشتق توابع پارامتری

دانلود ویدیو
بر اساس رای ۱۶ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math24
۱ دیدگاه برای «مشتق توابع پارامتری — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)»

عالی و کامل بود. متشکرم. 🙂

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *