۳۰ مثال انتگرال + تشریح کامل جواب به زبان ساده

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با انتگرال و روش محاسبه آن آشنا شدیم. همچنین، روش محاسبه انتگرال را برای توابع مختلف بیان کردیم. در این آموزش، ۳۰ مثال انتگرال را همراه با حل آن‌ها بررسی می‌کنیم.

فرمول‌های انتگرال‌

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، بسیاری از فرمول‌های انتگرال را بیان کردیم. در این بخش، چند فرمول ساده و مقدماتی را ارائه می‌کنیم که اغلب انتگرال‌های دشوار را نیز می‌توان با آن‌ها حل کرد. این انتگرال‌های مقدماتی به شرح زیر هستند و در حل مسائل مربوط به انتگرال می‌توانید از آن‌ها استفاده کنید. چند قانون ساده در محاسبه انتگرال را نیز برای یادآوری آورده‌ایم.

از فرمول‌های زیر نیز می‌توانید کمک بگیرید:‌

$$  \begin {aligned}
& \int x ^ { \alpha} d x = \frac { x ^ { \alpha + 1 } } { \alpha + 1 } + C , x > 0 ; \quad \text { pro } \alpha \neq - 1 \\
& \int \frac { 1 } { x } d x = \ln | x | + C , x \neq 0 ,\quad \int e ^ { x } d x = e ^ { x } + C \\
& \int \sin ( x ) d x = - \cos ( x ) + C, \quad \int \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } ( x ) } d x = \operatorname {tg} ( x ) + C , x \neq \frac { \pi } { 2 } + k \pi \\
& \int \cos ( x ) d x = \sin ( x ) + C, \quad \quad \int \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } ( x ) } d x = - \operatorname {cotg} ( x ) + C , x \neq k \pi \\
& \int \sinh ( x ) d x = \cosh ( x ) + C ,\quad \int \frac { 1 }{ \cosh ^ { 2 } ( x ) } d x = \operatorname {tgh} ( x ) + C \\
& \int \cosh ( x ) d x = \sinh ( x ) + C ,\quad \int \frac { 1 } { \sinh ^ { 2 } ( x ) } d x = - \operatorname {cotgh} ( x ) + C , x \neq 0 \\
& \int \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } d x = \operatorname {arctg} ( x ) + C, \quad \int \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } d x = \arcsin ( x) + C , x \in ( - 1 , 1 )
\end {aligned} $$

علاوه بر این، برای دسترسی به فهرست کامل انتگرال‌های پرکاربرد می‌توانید «تقلب نامه (Cheat Sheet) فرمول های انتگرال» را دانلود کنید.

برای تسلط بیشتر بر مفاهیم و روش‌های مختلف انتگرال‌گیری توابع مختلف، پیشنهاد می‌کنیم در صورت لزوم، آموزش‌های زیر را مطالعه کنید:

• انتگرال گیری جزء به جزء — به زبان ساده
• روش تغییر متغیر برای حل انتگرال — به زبان ساده
• انتگرال توابع مثلثاتی — از صفر تا صد
• انتگرال توابع گنگ — از صفر تا صد
• انتگرال گیری به روش کسرهای جزئی — از صفر تا صد
• انتگرال توابع هیپربولیک — از صفر تا صد
• انتگرال به روش تغییر متغیر مثلثاتی — به زبان ساده
• انتگرال lnx — به زبان ساده
• انتگرال رادیکالی — به زبان ساده
• انتگرال نامعین — به زبان ساده
• انتگرال معین — از صفر تا صد
• انتگرال مثلثاتی – به زبان ساده + مثال و تمرین

همچنین، می‌توانید با جست‌وجوی کلمه «انتگرال» در مجله فرادرس، درسنامه‌های مختلف و مثال‌های متنوع انتگرال را بررسی کنید.

مثال‌های انتگرال با جواب

در این بخش، چند مثال انتگرال نامعین را بیان می‌کنیم.

مثال انتگرال ۱

حاصل انتگرال زیر را به‌دست آورید.

$$\int {\left( {3{x^2} - 6x + 2\cos x} \right)dx} . $$

جواب: این انتگرال به‌صورت زیر حل می‌شود:

$$ \begin {align} I & = \int { \left ( { 3 { x ^ 2 } - 6 x + 2 \cos x } \right ) d x } \\ & = \int { 3 { x ^ 2 } d x } - \int { 6 x d x } + \int { 2 \cos x d x } \\ & = 3 { \int { { x ^ 2 } d x } } - 6 { \int { x d x } } + 2 { \int { \cos x d x } } .
\end {align} $$

هر سه انتگرال را می‌توان با روش‌های ساده انتگرال‌گیری که در آموزش‌های قبل بیان کرده‌ایم، محاسبه کرد:

$$ I = 3 \cdot { \frac { { { x ^ 3 } } } { 3 } } - 6 \cdot { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } } + 2 \cdot { \sin x } + C = { x ^ 3 } - 3 { x ^ 2 } + 2 \sin x + C . $$

مثال انتگرال ۲

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$\int {\left( {1 + x} \right)\left( {1 + 2x} \right)dx}. $$

جواب: ابتدا انتگرالده را به‌صورت زیر ساده می‌کنیم:‌

$$ \left ( { 1 + x } \right ) \left ( { 1 + 2 x } \right) = 1 + x + 2 x + 2 { x ^ 2 } = 2 { x ^ 2 } + 3 x + 1 . $$

در نهایت، انتگرال این‌گونه محاسبه می‌شود:

$$ \begin {align}
\int { \left ( { 1 + x } \right ) \left ( { 1 + 2 x } \right ) d x } & = \int { \left( {2{x^2} + 3x + 1} \right)dx} \\ &= \int {2{x^2}dx} + \int {3xdx} + \int {1dx} \\ &= 2\int {{x^2}dx} + 3\int {xdx} + \int {dx} \\ &= 2 \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + 3 \cdot \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } + x + C \\ & = \frac { { 2 { x ^ 3 } } } { 3 } + \frac { { 3 { x ^ 2 } } } { 2 } + x + C .
\end {align} $$

مثال انتگرال ۳

جواب انتگرال نامعین زیر را محاسبه کنید.

$$\int {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)dx}. $$

جواب: طبق قاعده جمع، این انتگرال را می‌توانیم به‌صورت زیر بنویسیم:

$$ I = \int { \left ( { \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } - \frac { 1 } { { { x ^ 3 } } } } \right ) d x } = \int { \frac { { d x } }{ { { x ^ 2 } } } } - \int { \frac { { d x } } { { { x ^ 3 } } } } . $$

انتگرالده‌های دو انتگرال تابع توانی هستند و به‌راحتی می‌توانیم حاصل انتگرال را محاسبه کنیم:‌

$$ I = \int { {x ^ { - 2 } } d x } - \int { { x ^ { - 3 } } d x } = \frac { { { x ^ { - 1 } } } } { { \left ( { - 1 } \right ) } } - \frac { { { x ^ { - 2 } } } } { { \left ( { - 2 } \right ) } } + C = - \frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { { 2 { x ^ 2 } } } + C . $$

مثال انتگرال ۴

حاصل انتگرال زیر را به‌دست آورید:‌

$$ \int {\left( {\sqrt x + \sqrt[3]{x}} \right)dx}. $$

جواب: با تغییراتی در نحوه نوشتن انتگرالده، حوای انتگرال به‌راحتی محاسب می‌شود.

$$ \begin {align}
\int { \left ( { \sqrt x + \sqrt [3] { x } } \right ) d x } &= \int {\sqrt x dx} + \int {\sqrt[3]{x}dx} \\ & = \int {{x^{\frac{1}{ 2 } } } d x } + \int { { x ^ { \frac { 1 } { 3 } }} d x } \\ & = \frac { { { x ^ { \frac { 1 } { 2 } + 1 } } } } { { \frac { 1 } { 2 } + 1 } } + \frac { { { x ^ { \frac { 1 } { 3 } + 1 } } } }{ { \frac { 1 } { 3 } + 1 } } + C \\ & = \frac { { 2{ x ^ { \frac { 3 } { 2 } }}} } { 3} + \frac { { 3{ x ^ { \frac { 4 } { 3 } } } } } { 4 } = \frac { { 2 \sqrt { { x ^ 3 } } } } { 3 } + \frac { { 3 \sqrt [ 3 ] { { { x ^ 4 } } } } } { 4 } + C .
\end {align}$$

مثال انتگرال ۵

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ \int {\frac{{x + 1}}{{\sqrt x }} dx}. $$

جواب: انتگرال را به‌صورت جمع دو انتگرال می‌نویسیم و آن را حل می‌کنیم:

$$ \begin {align}
\int { \frac { { x + 1 } } { { \sqrt x } } d x } & = \int { \left ( { \frac { x } { { \sqrt x } } + \frac { 1 } { { \sqrt x } } } \right ) d x } = \int { \left ( { \sqrt x + \frac { 1 } { { \sqrt x } } } \right ) d x } \\ & = \int { \sqrt x d x } + \int { \frac { { d x } } { { \sqrt x } } } = \frac { { { x ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } } { { \frac { 3 } { 2 } } } + 2 \sqrt x + C \\ & = \frac { { 2 \sqrt { { x ^ 3 } } } } { 3 } + 2 \sqrt x + C .
\end {align}$$

مثال انتگرال ۶

انتگرال $$ \int {\frac{{dx}}{{{\sin^2}2x}}} $$ را حل کنید.

جواب: از دو اتحاد زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \sin 2x = 2\sin x\cos x $$

$$ { \sin ^ 2 } x + { \cos ^ 2 } x = 1 , $$

بنابراین، می‌توان نوشت:

$$ \begin {align} \int { \frac { { d x } } { { { \sin ^ 2 } 2 x } } } & = \frac { 1 } { 4 } \int { \frac { { d x } } { { { \sin ^ 2 } x { { \cos } ^ 2 } x } } } = \frac { 1 } { 4 } \int { \frac { { \left ( { { { \sin } ^ 2 } x + { { \cos } ^ 2 } x } \right ) d x } }{ { { \sin ^ 2 } x { { \cos } ^ 2 } x } } } \\ & = \frac { 1 } { 4 } \int { \left ( { \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } x } } + \frac { 1 } { { { \sin ^ 2 } x } } } \right ) d x } \\ & = \frac{1}{4}\int {{{\sec } ^ 2 } x d x } + \frac {1 } { 4 } \int { { \csc ^ 2 } x d x } = \frac { 1 } { 4 } \tan x - \frac { 1 } { 4 } \cot x + C \\ & = \frac { 1 } { 4 } \left ( { \tan x - \cot x } \right ) + C . \end {align} $$

مثال انتگرال ۷

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ \int { \frac { { 4 d x } } { { 2 + 3 { x ^ 2 } } } } . $$

جواب: از انتگرال زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \int { \frac { { d x } } { { { a ^ 2 } + { x ^ 2 } } } = \frac { 1 } { a } } \arctan { \frac { x } { a } } + C . $$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \begin {align}
\int { \frac { { 4 d x } } { { 2 + 3 { x ^ 2 } } } } & = 4 \int { \frac { { d x } } { { 3 \left ( { \frac {2 } { 3 } + { x ^ 2 } } \right ) } } } = \frac { 4 } { 3 } \int { \frac { { d x } } { { { { \left ( { \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } } \right ) } ^ 2 } + { x ^ 2 } } } } \\ &= \frac { 4 } { 3 } \cdot \frac { 1 } { { \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } } } \arctan \frac { x } { { \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } } } + C = \frac { 4 } { { \sqrt 6 } } \arctan \frac { { \sqrt 3 x } } { { \sqrt 2 } } + C .
\end {align} $$

مثال انتگرال ۸

انتگرال نامعین $$ \int {\frac{{dx}}{{1 + 2{x^2}}}} $$ را حل کنید.

جواب: انتگرال را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$ \begin {align}
I = \int { \frac { { d x } } { { 1 + 2 { x ^ 2 } } } } = \int { \frac { { d x } } { { 2 \left ( { \frac { 1 } { 2 } + { x ^ 2 } } \right ) } } } = \frac { 1 } { 2 } \int { \frac { { d x } } { { \frac { 1 } { 2 } + { x ^ 2 } } } } = \frac { 1 } { 2 } \int { \frac { { d x } } { { { { \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt 2 } } } \right ) } ^ 2 } + { x ^ 2 } } } } .
\end {align} $$

از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \int { \frac { { d x } } { { { a ^ 2 } + { x ^ 2 } } } } = { \frac { 1 } { a } } \arctan { \frac { x } { a } } $$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \begin {align}
I & = \frac { 1 } { 2 } \int { \frac { { d x } } { { { { \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt 2 } } } \right ) } ^ 2 } + { x ^ 2 } } } } = \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { 1 } { { \frac { 1 } { { \sqrt 2 } } } } \arctan \frac { x } { { \frac { 1 } { { \sqrt 2 } } } } + C \\ & = \frac { { \sqrt 2 } } { 2 } \arctan \left ( { \sqrt 2 x } \right ) + C = \frac { 1 } { { \sqrt 2 } } \arctan \left ( { \sqrt 2 x } \right ) + C.
\end {align} $$

مثال انتگرال ۹

جواب انتگرال زیر را به‌دست آورید.

$$ \int { \frac { { \pi d x } } { { \sqrt { \pi - { x ^ 2 } } } } } . $$

جواب: از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \int { \frac { { d x } } { { \sqrt { { a ^ 2 } - { x ^ 2 } } } } } = \arcsin { \frac { x } { a } } + C $$

بنابراین، جواب انتگرال به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \int { \frac { { \pi d x } } { { \sqrt { \pi - { x ^ 2 } } } } } = \pi \int { \frac { { d x } } { { \sqrt { { { \left ( { \sqrt \pi } \right ) } ^ 2 } - { x ^ 2 } } } } } = \pi \arcsin \frac { x } { { \sqrt \pi } } + C . $$

مثال انتگرال ۱۰

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ \int {\left( {2\cos x - 5\sin x} \right)dx}. $$

جواب: با استفاده از قاعده جمع انتگرال، داریم:

$$ \begin {align}
\int { \left ( { 2 \cos x - 5 \sin x } \right ) d x } & = \int { 2 \cos x d x } - \int { 5 \sin x d x } = 2 \int { \cos x d x } - 5 \int { \sin x d x } \\ & = 2 \cdot \sin x - 5 \cdot \left ( { - \cos x } \right ) + C = 2 \sin x + 5 \cos x + C .
\end {align} $$

مثال انتگرال ۱۱

انتگرال $$ \int { \frac { { d x } } { { \sqrt { 1 - \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } } } } } $$ را حل کنید.

جواب: انتگرال را به‌صورت زیر ساده می‌کنیم:

$$ \begin {align}
I & = \int { \frac { { d x } } { { \sqrt { 1 - \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } } } } } = \int { \frac { { d x } } { { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \left ( { 2 - { x ^ 2 } } \right ) } } } } = \int { \frac { { d x } } { { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { 2 - { x ^ 2 } } } } } \\ & = \sqrt 2 \int { \frac { { d x } } { { \sqrt { 2 - { x ^ 2 } } } } } = \sqrt 2 \int { \frac { { d x } } { { \sqrt { { { \left ( { \sqrt 2 } \right ) } ^ 2 } - { x ^ 2 } } } } } .
\end {align} $$

اکنون می‌توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:‌

$$ \int { \frac { { d x } } { { \sqrt { { a^ 2 } - { x ^ 2 } } } } } = \arcsin { \frac { x } { a } } $$

و در نهایت، جواب به‌صورت زیر است:

$$ I = \sqrt 2 \int { \frac { { d x } } { { \sqrt { { { \left ( { \sqrt 2 } \right ) } ^ 2 } - { x ^ 2 } } } } } = \sqrt 2 \arcsin \frac { x } { { \sqrt 2 } } + C . $$

مثال انتگرال ۱۲

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ \int {{{\tan }^2}xdx}. $$

جواب: فرمول زیر را می‌دانیم:

$$ { \tan ^ 2 } x = { \sec ^ 2 } x - 1 $$

بنابراین، جواب انتگرال برابر است با

$$ \int { { { \tan } ^ 2 } x d x } = \int { \left ( { { { \sec } ^ 2 } x - 1 } \right ) d x } = \int { { { \sec } ^ 2 } x d x } - \int { d x } = \tan x - x + C . $$

مثال انتگرال ۱۳

انتگرال $$ \int {{{\cot }^2}xdx} $$ را حل کنید.

جواب: از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \frac { 1 } { { { { \sin } ^ 2 } x } } - { \cot ^ 2 } x = 1 , \; \; \Rightarrow { \cot ^ 2 } x = \frac { 1 } { { { { \sin } ^ 2 } x } } - 1 . $$

و داریم:

$$ I = \int {{{\cot }^2}xdx} = \int {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^ 2 } x } } - 1 } \right ) d x } = \int { \frac { { d x } } { { { { \sin } ^ 2 } x } } } - \int { d x } . $$

در نتیجه، جواب برابر است با

$$ I = \int { \frac { { d x } } { { { { \sin } ^ 2 } x } }} - \int { d x } = - \cot x - x + C . $$

مثال انتگرال ۱۴

جواب انتگرال زیر را به‌دست آورید.

$$ \int {\left( {\frac{3}{{\sqrt[3]{x}}} + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)dx}. $$

جواب: از قانون توان استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:

$$ \begin {align}
\int { \left ( { \frac { 3 } { { \sqrt [ 3 ] { x } } } + \frac { 2 }{ { \sqrt x } } } \right ) d x } & = \int { \frac { { 3 d x } }{ { \sqrt[3]{x}}}} + \int {\frac{{2dx}}{{\sqrt x }}} = 3\int {{x^{ - \frac { 1 } { 3 } } } d x } + 2 \int { { x ^ { - \frac { 1 }{ 2 } } } d x } \\ & = 3 \cdot \frac { { { x ^{ - \frac{1}{3} + 1}}}}{{ - \frac{1}{3} + 1}} + 2 \cdot \frac{{{x^{ - \frac{1}{2} + 1}}}}{{ - \frac{1}{2} + 1}} + C \\ & = \frac{{9{x^{\frac{2}{3}}}}}{2} + 4 { x ^ { \frac { 1 } { 2 } } } + C \\ & = \frac{{9\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{2} + 4\sqrt x + C.
\end {align} $$

مثال انتگرال ۱۵

حاصل انتگرال $$ \displaystyle \int { { 6 \cos \left ( z \right ) + \frac { 4 } { { \sqrt { 1 - { z ^ 2 } } } } \, d z } } $$ را به‌دست آورید.

جواب: این انتگرال را می‌توان به‌راحتی به‌صورت زیر محاسبه کرد:

$$ \int { { 6 \cos \left ( z \right ) + \frac { 4 } { { \sqrt { 1 - { z ^ 2 } } } } \, d z } } = { { 6 \sin \left ( z \right ) + 4 { { \sin } ^ { - 1 } } \left ( z \right ) + c } } $$

توجه داشته باشید که به‌دلیل شباهت مشتق آرک‌سینوس و آرک‌کسینوس، یک پاسخ دیگر، برابر خواهد بود با

$$ \int { { 6 \cos \left ( z \right ) + \frac { 4 } { { \sqrt { 1 - { z ^ 2} } } } \, d z } } = { { 6 \sin \left ( z \right ) - 4 { { \cos } ^ { - 1 } } \left ( z \right ) + c } } $$

مثال انتگرال ۱۶

حاصل انتگرال $$ \displaystyle \int { { \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } + \frac { { 1 2 } } { { \sqrt { 1 - { x ^2 } } } } \, d x } } $$ را محاسبه کنید.

جواب: پاسخ این انتگرال به‌صورت زیر است:‌

$$ \int { { \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } + \frac { { 1 2 } }{ { \sqrt { 1 - { x ^ 2 } } } } \, d x } } = { { { { \tan } ^ { - 1 } } \left ( x \right ) + 1 2 { { \sin } ^ { - 1 } } \left ( x \right ) + c } } $$

به‌دلیل شباهت مشتق آرک‌سینوس و آرک‌کسینوس، یک پاسخ دیگر، برابر خواهد بود با

$$ \int { { \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } + \frac { { 1 2 } } { { \sqrt { 1 - { x ^ 2 } } } } \, d x } } = { { { { \tan } ^ { - 1 } } \left ( x \right ) - 1 2 { { \cos } ^ { - 1 } } \left ( x \right ) + c } } $$

مثال انتگرال ۱۷

انتگرال $$ \displaystyle \int { { \frac { 6 } { { { w ^ 3 } } } - \frac { 2 }{ w } \, d w } } $$ را حل کنید.

جواب: با توجه به فرمول‌هایی که برای انتگرال داریم، جواب به‌صورت زیر خواهد بود:

$$ \int { { \frac { 6 } { { { w ^ 3 } } } - \frac { 2 } { w } \, d w } } = \int { { 6 { w ^ { - 3 } } - \frac { 2 } { w } \, d w } } = { { - 3 { w ^ { - 2 } } - 2 \ln \left | w \right | + c } } $$

مثال انتگرال ۱۸

انتگرال $$ \displaystyle \int {{ { t ^ 3 } - \frac { { { { \bf { e } } ^ { - t } } - 4 } } { { { { \bf { e } } ^ { - t } } } } \, d t } } $$ را محاسبه کنید.

جواب: برای حل انتگرال، لازم است آن را به‌صورت مجموع جملات بنویسیم، سپس با استفاده از فرمول‌های  انتگرال، جواب را محاسبه کنیم.

$$ \int { { { t ^ 3 } - \frac { { { { \bf { e } } ^ { - t } } - 4 } } { { { { \bf { e } } ^ { - t } } } } \, d t } } = \int { { { t ^ 3 } - \frac { { { { \bf { e } } ^ { - t } } } } { { { { \bf { e } } ^ { - t } } } } + \frac { 4 } { { { { \bf { e } } ^ { - t } } } } \, d t } } = \int { { { t ^ 3 } - 1 + 4 { { \bf { e } } ^ t } \, d t } } $$

مثال انتگرال ۱۹

جواب انتگرال زیر را به‌دست آورید.

$$ \displaystyle \int { { 1 2 + \csc \left ( \theta \right ) \left [ { \sin \left ( \theta \right ) + \csc \left ( \theta \right ) } \right ] \, d \theta } } $$

جواب: قبل از انتگرال‌گیری، باید ضرب جمله‌های انتگرالده را انجام دهیم و با استفاده از تساوی $$ \csc \left( \theta \right) = \frac{1}{{\sin \left( \theta \right)}} $$، خواهیم داشت:

$$ \begin {align*} \int { { 1 2 + \csc \left ( \theta \right ) \left [ { \sin \left ( \theta \right ) + \csc \left ( \theta \right ) } \right ] \, d \theta } } & = \int { { 1 2 + \csc \left ( \theta \right ) \sin \left ( \theta \right ) + { { \csc } ^ 2 } \left ( \theta \right ) \, d \theta } } \\ & = \int { { 1 3 + { { \csc } ^ 2 } \left ( \theta \right ) \, d \theta } } \end {align*} $$

بنابراین، جواب انتگرال به‌‌صورت زیر به‌دست خواهد آمد:

$$ \int { { 1 2 + \csc \left ( \theta \right ) \left [ { \sin \left ( \theta \right ) + \csc \left ( \theta \right ) } \right ] \, d \theta } } = \int { { 1 3 + { { \csc } ^ 2 } \left ( \theta \right ) \, d \theta } } = { { 1 3 \theta - \cot \left ( \theta \right ) + c } } $$

مثال انتگرال ۲۰

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ \displaystyle \int { { \frac { { { x ^ 4 } - \sqrt [ 3 ] { x } } } { { 6 \sqrt x } } \, d x } } $$

جواب: باید انتگرالده را بشکنیم و ساده کنیم:

$$ \int { { \frac { { { x ^ 4 } - \sqrt [ 3 ] { x } } } { { 6 \sqrt x } } \, d x } } = \int { { \frac { { { x ^ 4 } } } { { 6 { x ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } } - \frac { { { x ^ { \frac { 1 } { 3 } } } } } { { 6 { x ^ { \frac { 1 } { 2} } } } } \, d x } } = \int { { \frac { 1 } { 6 } { x ^ { \frac { 7 } { 2 } } } - \frac { 1 } { 6 } { x ^ { - \, \frac { 1 } { 6 } } } \, d x } } $$

اکنون می‌توانیم جواب را بنویسیم:

$$ \int { { \frac { { { x ^ 4 } - \sqrt [ 3 ] { x } } } { { 6 \sqrt x } } \, d x } } = \int { { \frac { 1 } { 6 } { x ^ { \frac { 7 } { 2 } } } - \frac { 1 } { 6 } { x ^ { - \, \frac { 1 } { 6 } } } \, d x } } = { { \frac { 1 } { { 2 7 } } { x ^ { \frac { 9 } { 2 } } } - \frac { 1 } { 5 } { x ^ { \, \frac { 5 } { 6 } } } + c } } $$

مثال انتگرال ۲۱

حاصل انتگرال زیر را به‌دست آورید.

$$ \int \limits _ 1 ^ \infty { \frac { { d x } } { { { x ^ 2 } + 1 } } } . $$

جواب: این انتگرال به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \begin {align} \int \limits _ 1 ^ \infty { \frac { { d x } } { { { x ^ 2 } + 1 } } } & = \lim \limits _ { n \to \infty } \int \limits _ 1 ^ n { \frac { { d x } } { { { x ^ 2 } + 1 } } } = \lim \limits _ { n \to \infty } \left [ { \arctan x } \right ] _ 1 ^ n \\ &= \lim \limits _ { n \to \infty } \left [ {\arctan n - \arctan 1 } \right ] = \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4}. \end {align} $$

مثال انتگرال ۲۲

انتگرال $$ \int \limits _ { - \infty } ^ \infty { \frac { { d x } }{ { { x ^ 2 } + 4 } } } $$ را محاسبه کنید.

جواب: انتگرال اصلی دو حد بی‌نهایت دارد. بنابراین آن را به دو انتگرال تقسیم می‌کنیم و هر یک را به‌عنوان یک انتگرال ناسره یک‌طرفه محاسبه می‌کنیم:

$$ I = \int \limits _ { - \infty } ^ \infty { \frac { { d x } } { { { x ^ 2 } + 4 } } } = \int \limits _ { - \infty } ^ 0 { \frac { { d x } }{ { { x ^ 2 } + { 2 ^ 2 } } } } + \int \limits _ 0 ^ \infty { \frac { { d x } } { { { x ^ 2 } + { 2 ^ 2 } } } } = { I _ 1 } + { I _ 2 } . $$

هریک از انتگرال‌ها را محاسبه می‌کنیم:‌

$$ \begin {align} { I _ 1 } & = \int \limits _ { - \infty } ^ 0 { \frac { { d x } } { { { x ^ 2 } + { 2 ^ 2 } } } } = \lim \limits _ { n \to - \infty } \int \limits _ n ^ 0 { \frac { { d x} } { { { x ^ 2 } + { 2 ^ 2 } } } } = \lim \limits _ { n \to - \infty } \left [ { \frac { 1 } { 2 } \arctan \frac { x } { 2 } } \right ] _ n ^ 0 \\ & = \frac { 1 } { 2 } \lim \limits _ { n \to - \infty } \left [ { \arctan 0 - \arctan \frac { n } { 2 } } \right ] = \frac { 1 } { 2 } \left ( { 0 - \left ( { - \frac { \pi } { 2 } } \right ) } \right ) = \frac { \pi } { 4 } \end {align} $$

$$ \begin {align}
{ I _ 2 } & = \int \limits _ 0 ^ \infty { \frac { { d x } } { { { x ^ 2 } + { 2 ^ 2 } } } } = \lim \limits _ { n \to \infty } \int \limits _ 0 ^ n { \frac { { d x } } { { { x ^ 2 } + { 2 ^ 2 } } } } = \lim \limits _ { n \to \infty } \left [ { \frac { 1 } { 2 } \arctan \frac { x } { 2 } } \right ] _ 0 ^ n \\ & = \frac { 1 }{ 2 } \lim \limits _ { n \to - \infty } \left [ { \arctan \frac { n } { 2 } - \arctan 0 } \right ] = \frac { 1 } { 2 } \left ( { \frac { \pi } { 2 } - 0 } \right ) = \frac { \pi } { 4 }
\end {align} $$

در نهایت، خواهیم داشت:

$$ I = { I _ 1 } + { I _ 2 } = \frac { \pi } { 4 } + \frac { \pi } {4 } = \frac { \pi } { 2} . $$

مثال انتگرال ۲۳

انتگرال $$ { \int \limits _ 0 ^ 4 } { \frac { { d x } } { { { { \left ( { x - 2 } \right ) } ^ 3 } } } } $$ را حل کنید.

جواب: انتگرالده یک ناپیوستگی در $$ x = 2 $$ دارد. بنابراین، انتگرال را به‌صورت دو انتگرال ناسره می‌نویسیم:

$$ \int \limits _ 0 ^ 4 { \frac { { d x } } { { { { \left ( { x - 2 } \right ) } ^ 3 } } } } = \int \limits _ 0 ^ 2 { \frac { { d x } } { { { { \left ( { x - 2 } \right ) } ^ 3 } } } } + \int \limits _ 2 ^ 4 { \frac { { d x } } { { { { \left ( { x - 2 } \right ) } ^ 3 } } } } $$

برای حل انتگرال، می‌نویسیم:

$$ \int \limits _ 0 ^ 2 { \frac { { d x } } { { { { \left ( { x - 2 } \right ) } ^ 3 } } } } + \int \limits _ 2 ^ 4 { \frac { { d x } }{ { { { \left ( { x - 2 } \right ) } ^ 3 } } } }
= \lim \limits _ { \tau \to 0 + } \int \limits _ 0 ^ { 2 - \tau } { \frac { { d x } } { { { { \left ( { x - 2 } \right ) } ^ 3 } } } }
+ \lim \limits _ { \tau \to 0 + } \int \limits _ { 2 + \tau } ^ 4 { \frac { { d x } } { { { { \left ( { x - 2 } \right ) } ^ 3 } } } } $$

در نهایت، جواب به‌‌صورت زیر است:

$$ \begin {align} \lim \limits _ { \tau \to 0 + } \int \limits _ 0 ^ { 2 - \tau } { \frac { { d x } } { { { { \left ( { x - 2 } \right ) } ^ 3 } } } }
& = \lim \limits _ { \tau \to 0 + } \int \limits _ 0 ^ { 2 - \tau } { { { \left ( { x - 2 } \right ) } ^ { - 3 } } d \left ( { x - 2 } \right ) }
= \lim \limits _ { \tau \to 0 + } \left [ { \frac { { { { \left ( { x - 2 } \right ) } ^ { - 3 + 1 } } } } { { - 3 + 1 } } } \right ] _ 0 ^ { 2 - \tau }
\\ & = - \frac { 1 } { 2 } \lim \limits _ { \tau \to 0 + } \left . { \left [ { \frac { 1 } { { { { \left ( { x - 2 } \right ) } ^ 2 } } } } \right ] } \right | _ 0 ^ { 2 - \tau }
= - \frac { 1 } { 2 } \lim \limits _ { \tau \to 0 + } \left [ { \frac { 1 } { { { { \left ( { 2 - \tau - 2 } \right ) } ^ 2 } } } - \frac { 1 } { { { { \left ( { 0 - 2 } \right ) } ^ 2 } } } } \right ]
\\ & = - \frac { 1 } { 2 } \lim \limits _ { \tau \to 0 + } \left ( { \frac { 1 } { { { \tau ^ 2 } } } - \frac { 1 } { 4 } } \right ) = - \infty \end {align} $$

مثال انتگرال ۲۴

انتگرال $$ \int {x{2^x}dx} $$ را حل کنید.

جواب: از انتگرال‌گیری جزء به جزء استفاده می‌کنیم و می‌نویسیم:

$$ u = x , \; \; d v = { 2 ^ x } d x $$

بنابراین:

$$ d u = d x , \; \; v = \int { { 2 ^ x } d x } = \frac { { { 2 ^ x } } } { { \ln 2 } } . $$

در نهایت، جواب به‌صورت زیر خواهد بود:

$$ \begin {align}
\int { x { 2 ^ x } d x } & = \frac { { x { 2 ^ x } } } { { \ln 2 } } - \int { \frac { { { 2 ^ x } } } { { \ln 2 } } d x } = \frac { { x { 2 ^ x } } } { { \ln 2 } } - \frac { 1 } { { \ln 2 } } \int { { 2 ^ x } d x } \\ & = \frac { { x { 2 ^ x } } } { { \ln 2 } } - \frac { 1 } { { \ln 2 } } \cdot \frac { { { 2 ^ x } } } { { \ln 2 } } + C = \frac { { x { 2 ^ x } } } { { \ln 2 } } - \frac { { { 2 ^ x } } } { { { { \left ( { \ln 2 } \right ) } ^ 2 } } } + C =\\ & \frac { { { 2 ^ x } } } { { \ln 2 } } \left ( { x - \frac { 1 } { { \ln 2 } } } \right ) + C .
\end {align} $$

مثال انتگرال ۲۵

حاصل انتگرال زیر را به‌دست آورید:

$$ \int {{e^x}\sin xdx} .$$

جواب: از انتگرال‌گیری جزء به جزء استفاده می‌کنیم:‌

$$ \int { u d v } = u v - \int { v d u } . $$

بنابراین، دو رابطه $$ u = {e^x} $$ و $$dv = \sin xdx $$ را خواهیم داشت. در نتیجه، می‌توان نوشت:

$$ d u = { e ^ x } d x , v = \int { \sin x d x } = - \cos x $$

بنابراین، انتگرال را می‌توان به‌صورت زیر بازنویسی کرد:

$$ \int { { e ^ x } \sin x d x } = - { e ^ x } \cos x + \int { { e ^ x } \cos x d x } $$

یک بار دیگر از انتگرال‌گیری جزء به جزء استفاده می‌کنیم. بنابراین، $$ u = {e^x} $$ و $$dv = \cos xdx $$ را در نظر می‌گیریم و خواهیم داشت:

$$ d u = { e ^ x } d x , v = \int { \cos x d x } = \sin x $$

در نتیجه، می‌توان نوشت:

$$ \int { { e ^ x } \sin x d x } = - { e ^ x } \cos x + \int { { e^ x } \cos x d x } = - { e ^ x } \cos x + { e ^ x } \sin x - \int { { e ^ x } \sin x d x } $$

با بنابراین، جواب را می‌توان این‌گونه به‌دست آورد:

$$ \begin {align} 2 \int { { e ^ x } \sin x d x } & = { e ^ x } \sin x - { e ^ x } \cos x \; \; \; \text {} \; \; \; \\ \int { { e ^ x } \sin x d x } & = \frac { { { e ^ x } \left ( { \sin x - \cos x } \right ) } } { 2 } + C \end {align} $$

مثال انتگرال ۲۶

انتگرال $$ \int { \frac { { d x } } { { \left ( { 2 x - 1 } \right ) \left ( { x + 3 } \right ) } } } $$ را حل کنید.

جواب: ابتدا انتگرالده را به کسرهای جزئی گسترش می‌دهیم:

$$ \frac { 1 } { { \left ( { 2 x - 1 } \right ) \left ( { x + 3 } \right ) } } = \frac { A } { { 2 x - 1 } } + \frac { B } { { x + 3 } } $$

سپس، ضرایب $$ A $$ و $$ B $$ را تعیین می‌کنیم:‌

$$ \begin {align} 1 & = A \left ( { x + 3 } \right ) + B \left ( { 2 x - 1 } \right ) \\
1 & = A x + 3 A + 2 B x - B \\
1 & = \left ( { A + 2 B } \right ) x + \left ( { 3 A - B } \right )
\end {align} $$

دستگاه معادلات زیر را خواهیم داشت که از آن، $$ A $$ و $$ B $$ به‌دست می‌آیند:

$$ \left \{ \begin {array} { l }
A + 2 B = 0 \\
3 A - B = 1
\end {array} \right., \; \; \Rightarrow \left \{ \begin {array} {l}
A + 2 \left ( { 3 A - 1 } \right ) = 0 \\
B = 3 A - 1
\end {array} \right.,\;\; \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
7 A - 2 = 0 \\
B = 3 A - 1
\end {array} \right.,\;\; \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = \frac { 2 } { 7 } \\
B = - \frac { 1 } { 7 }
\end{array} \right. $$

بنابراین، انتگرالده را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$ \frac { 1 } { { \left ( { 2 x - 1 } \right ) \left ( { x + 3 } \right ) } } = \frac { 2 } { { 7 \left ( { 2 x - 1 } \right ) } } - \frac { 1 } { { 7 \left ( { x + 3} \right ) } } $$

در نتیجه، انتگرال به‌صورت زیر درمی‌آید:

$$ I = \int { \frac { { d x } } { { \left ( { 2 x - 1 } \right ) \left ( { x + 3 } \right ) } } } = \frac { 2 } { 7 } \int { \frac { { d x } } { { 2 x - 1 } } } - \frac { 1 } { 7 } \int { \frac { { d x } } { { x + 3 } } } $$

در نهایت، جواب انتگرال به‌صورت زیر خواهد بود:

$$ \begin {align} I & = \frac { 2 } { 7 } \cdot \frac { 1 } { 2 } \ln \left | { 2 x - 1 } \right | - \frac { 1 } { 7 } \ln \left | { x + 3 } \right | + C \\ & = \frac { 1 } { 7 } \left ( { \ln \left | { 2 x - 1 } \right | - \ln \left | { x + 3 } \right | } \right ) + C = \frac { 1 }{ 7 } \ln \left | { \frac { { 2 x - 1 } } { { x + 3 } } } \right | + C \end {align} $$

مثال انتگرال ۲۷

انتگرال $$\iint\limits_R {\left( {x - {y^2}} \right)dxdy}$$ را روی ناحیه $$R = \left\{ {\left( {x,y} \right)|\;2 \le x \le 3,\; 1 \le y \le 2} \right\}$$ محاسبه کنید.

جواب: انتگرال را می‌توان این‌گونه حل کرد:

$$ \begin {align} \iint \limits _ R { \left ( { x - { y ^ 2 } } \right ) dx d y } & = \int \limits _ 1 ^ 2 { \int \limits _ 2 ^ 3 { \left ( { x - { y ^ 2 } } \right ) d x d y } } = \int \limits _ 1 ^ 2 { \left [ { \int \limits _ 2 ^ 3 { \left ( { x - { y ^ 2 } } \right ) d x } } \right ] d y } \\ &= \int \limits _ 1 ^ 2 { \left [ { \left. { \left ( { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } - { y ^ 2 } x } \right ) } \right | _ { x = 2 } ^ 3 } \right ] d y } = \int \limits _ 1 ^ 2 { \Big [ { \left ( { \frac { 9 } { 2 } - 3 { y ^ 2 } } \right ) - \left ( { 2 - 2 { y ^ 2 } } \right ) } \Big ] d y } \\ & = \int \limits _ 1 ^ 2 { \left ( { \frac { 5 } { 2 } - { y ^ 2 } } \right ) d y } = \left . { \left ( { \frac { 5 } { 2 } y - \frac { { { y ^ 3 } } } { 3 } } \right ) } \right | _ 1 ^ 2 = \left ( { 5 - \frac { 8 } { 3 } } \right ) - \left ( { \frac { 5 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } } \right ) = \frac { 1 } { 6 } \end {align} $$

به‌صورت زیر نیز می‌توانیم انتگرال را حل کنیم:

$$ \begin {align}
\iint \limits _ R { \left ( { x - { y ^ 2 } } \right ) d x d y } & = \int \limits _ 2 ^ 3 { \int\limits_1^2 {\left( {x - {y^2}} \right ) d y d x } } = \int\limits_2^3 {\left[ {\int\limits_1^2 {\left( {x - { y ^ 2 } } \right ) d y } } \right ] d x } \\ & = \int \limits _ 2 ^ 3 { \left [ { \left . { \left ( { x y - \frac { { { y ^ 3 } } } { 3 } } \right ) } \right | _ { y = 1 } ^ 2 } \right ] d x } = \int \limits _ 2 ^ 3 { \left [ { \left ( { 2 x - \frac { 8 } { 3 } } \right ) - \left ( { x - \frac { 1 } { 3 } } \right ) } \right ] d x } \\ &= \int \limits _ 2 ^ 3 { \left ( { x - \frac { 7 } { 3 } } \right ) d x } = \left . { \left ( { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } - \frac { { 7 x } } { 3 } } \right ) } \right | _ 2 ^ 3 = \left ( { \frac { 9 }{ 2 } - 7 } \right ) - \left ( { 2 - \frac { { 1 4 } } { 3 } } \right ) = \frac { 1 } { 6 }
\end {align} $$

مثال انتگرال ۲۸

حداکثر مقدار انتگرال زیر را محاسبه کنید که در آن، $$ U $$ کره‌ای به‌ شعاع $$ R = 6 $$ و با مرکز مبدأ است.

$$ \iiint \limits _ U { \frac { { d x d y d z } } { { \sqrt { 1 0 0 - { x ^ 2 } - { y ^ 2 } - { z ^ 2 } } } } } $$

جواب: معادله کره به‌صورت زیر است:

$$ { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } \le 3 6 $$

اگر حداکثر مقدار انتگرال را $$I$$، حجم کره را $$V$$ و حداکثر مقدار انتگرالده را $$M$$ در نظر بگیریم، خواهیم داشت:

$$ I \le M \cdot V $$

که در آن، $$ V $$ برابر است با

$$ V = \frac { 4 } { 3 } \pi { R ^ 3 } = \frac { 4 } { 3 } \pi \cdot { 6 ^ 3 } = 2 8 8 \pi $$

و مقدار $$M$$ این‌گونه به‌دست می‌آید:

$$ M = \frac { 1 } { { \sqrt { 1 0 0 - 3 6 } } } = \frac { 1 } { 8 } $$

در نهایت، حداکثر مقدار انتگرال سه‌گانه به‌صورت زیر محاسبه خواهد شد:

$$ I \le \frac { 1 } { 8 } \cdot 2 8 8 \pi = 3 6 \pi $$

مثال انتگرال ۲۹

جواب انتگرال $$ \iint \limits _ S { \frac { { d S } } { { \sqrt { { x ^ 2 } + {y ^ 2 } + { z^ 2 } } } } } $$ را بیابید که در آن، $$ S $$ بخشی از سطح استوانه‌ای با مشخصات زیر است:

$$ \mathbf { r } \left ( { u , v } \right ) = \left ( { a \cos u , a \sin u , v } \right ) , 0 \le u \le 2\pi , 0 \le v \le H $$

جواب: ابتدا مشتقات جزئی را محاسبه می‌کنیم:‌

$$ \begin {align} \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial u } } & = \left ( { \frac { { \partial x } } { { \partial u } } , \frac { { \partial y } } { { \partial u } } , \frac { { \partial z } }{ { \partial u } } } \right ) = \left ( { - a\sin u,a\cos u,0} \right), \\
\frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial v } } & = \left ( { \frac { { \partial x } } { { \partial v } } , \frac { { \partial y } } { { \partial v } } , \frac { { \partial z } } { { \partial v } } } \right ) = \left ( { 0 , 0 , 1 } \right )
\end {align} $$

ضرب خارجی آن‌ها برابر است با

$$ \frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial u}} \times \frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial v}}
= \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\
{ - a\sin u} & {a\cos u} & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}} \right|
= a\cos u \cdot \mathbf{i} + a\sin u \cdot \mathbf{j} + 0 \cdot \mathbf{k} $$

اکنون جزء سطح را محاسبه می‌کنیم:

$$ dS = \left| {\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial u}} \times \frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial v}}} \right|dudv = \left| {\sqrt {{{\left( {a\cos u} \right)}^2} + {{\left( {a\sin u} \right)}^2}} } \right|dudv = adudv $$

در نهایت، حاصل انتگرال سطحی را به‌دست می‌آوریم:

$$ \begin {align} \iint\limits_S {\frac{{dS}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }}} & = \iint\limits_{D\left( {u,v} \right)} {\frac{{adudv}}{{\sqrt {{{\left( {a\cos u} \right)}^2} + {{\left( {a\sin u} \right)}^2} + {v^2}} }}} \\ & = \iint\limits_{D\left( {u,v} \right)} {\frac{{adudv}}{{\sqrt {{a^2} + {v^2}} }}} = \int\limits_0^{2\pi } {adu} \int\limits_0^H {\frac{{dv}}{{\sqrt {{a^2} + {v^2}} }}} \\& = 2\pi a\int\limits_0^H {\frac{{dv}}{{\sqrt {{a^2} + {v^2}} }}} = 2\pi a\left[ {\left. {\ln \left( {v + \sqrt {{a^2} + {v^2}} } \right)} \right|_{v = 0}^H} \right] \\ &= 2\pi a \left[ {\ln \left( {H + \sqrt {{a^2} + {H^2}} } \right) - \ln a} \right] = 2\pi a\ln \frac{{H + \sqrt {{a^2} + {H^2}} }}{a} \end {align} $$

مثال انتگرال ۳۰

حاصل انتگرال خطی $$ \int\limits_C {{y^2}ds} $$ را به‌گونه‌ای محاسبه کنید که $$ C $$ بخشی از دایره زیر باشد:

$$ x = a\cos t, y = a\sin t, 0 \le t \le {\frac{\pi }{2}}. $$

جواب: دیفرانسیل طول کمان برابر است با

$$ ds = \sqrt {{{\left( {x'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y'\left( t \right)} \right)}^2}} dt = \sqrt {{a^2}{{\sin }^2}t + {a^2}{{\cos }^2}t} \,dt = adt $$

اکنون از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \int\limits_C {F\left( {x,y,z} \right)ds} = \int\limits_\alpha ^\beta {F\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right) \sqrt {{{\left( {x'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {z'\left( t \right)} \right)}^2}} dt} $$

در نهایت، در صفه $$ x y $$، خواهیم داشت:

$$ \begin {align} \int \limits _ C { { y ^ 2 } d s } & = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{a^2}{{\sin }^2}t \cdot adt} = {a^3}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}tdt} = \frac{{{a^3}}}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos 2t} \right)dt} \\ & = \frac{{{a^3}}}{2}\left[ {\left. {\left( {t - \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}} \right] = \frac{{{a^3}}}{2} \cdot \frac{\pi }{2} = \frac{{{a^3}\pi }}{4} \end {align} $$