قاعده سیمپسون — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره انتگرال و روش‌های محاسبه آن بحث کردیم. در این آموزش‌ها، مباحثی مانند انتگرال توابع مثلثاتی، انتگرال‌گیری جزء به جزء، انتگرال دوگانه و انتگرال سه‌گانه را معرفی کردیم. همچنین با تغییر متغیر و کاربرد آن در انتگرال‌گیری آشنا شدیم. گاهی می‌خواهیم ناحیه بین یک منحنی و محور مختصات را محاسبه کنیم، اما نمی‌توانیم حاصل انتگرال مربوط به محاسبه مساحت منحنی را به راحتی و با محاسبه تحلیلی به دست آوریم. یکی از راه‌هایی که در این مواقع وجود دارد، استفاده از روش‌های عددی برای محاسبه انتگرال منحنی است. در این آموزش، یکی از این روش‌ها، یعنی «قاعده سیمپسون» (Simpson's Rule) را معرفی می‌کنیم.

قاعده سیمپسون

در قاعده سیمپسون، از سهمی‌ها برای تقریب هر تکه از منحنی استفاده می‌کنیم. اثبات شده که این روش نسبت به بسیاری از روش‌های مشابه برای محاسبه عددی انتگرال، کارآمدتر و دقیق‌تر است.

فیلم آموزش محاسبات عددی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

فرمول قاعده سیمپسون

مساحت زیر منحنی را به $$n$$ بخش مساوی با عرض $$ \Delta x $$ تقسیم می‌کنیم.

فرمول مساحت تقریبی با استفاده از قاعده سیمپسون به صورت زیر است:

$$ \large \begin {align*}
A \displaystyle = { \int _ { { a } } ^ { { b } } } f { { \left ( { x } \right ) } } { \left . { d } { x } \right . }
\displaystyle \approx \frac { { \Delta { x } }} { {3 } } { \left ( { y } _ { { 0 } } + { 4 } { y } _ { { 1 } } + { 2 } { y } _ { { 2 } } + { 4 } { y } _ { { 3 } } + { 2 } { y } _ { { 4 } } \right . } + \displaystyle { \left . \ldots + { 4 } { y } _ { { { n } - { 1 } } } + { y } _ { { n } } \right ) }
\end {align*} $$

که در آن:

$$ \large \displaystyle \Delta { x } = \frac { { { b } -{ a } } } { { n } } $$

توجه کنید که در قاعده سیمپسون، $$n$$ باید زوج باشد.

برای به خاطر سپردن قاعده سیمپسون، می‌توانیم آن را به صورت زیر بنویسیم:

$$ \large \displaystyle { \int _ { { a } } ^ { { b } } } f { { \left ( { x } \right ) } } { \left . { d } { x } \right . } \displaystyle \approx \frac { { \Delta { x } } } { { 3 } } { \left [ { y } _ { { 0 } } + { 4 } { \left ( { y } _ { { 1 } } + {y } _ {{ 3} } + { y} _ { { 5 } } + \ldots \right ) } \right . }
\displaystyle { \left . + { 2 } { \left ( { y } _ { {2 } } +{ y } _ { { 4 } } + { y } _{ { 6 } } + \ldots \right ) } + { y } _ { { n} } \right ] } $$

یا به عبارت دیگر:

اثبات قاعده سیمپسون

فرض کنید می‌خواهیم مساحت زیر منحنی سهمی $$ \displaystyle { y } = { a } { x } ^ { 2 } + { b } { c }+ { c }$$ را محاسبه کنیم.

برای سادگی، از نقطه $$(0, y_1)$$ شروع کرده و مساحت زیر منحنی را از $$x = - h $$ تا $$ x = h $$ به دست می‌آوریم ($$ \Delta  x = h $$).

بنابراین، داریم:

$$ \large \begin {align*}
\displaystyle { \int _ { { - { h } } } ^ {{ h } } } { \left ( { a } { x } ^ { 2} +{ b } { x } + { c } \right ) } \ { \left . { d} { x }\right . }
\displaystyle & = { { \left [ \frac { { { a } { x } ^ { 3 } } } { { 3 } } + \frac { { { b } { x } ^ { 2 } } } { { 2 } } + { c } { x } \right ] } _ { { - { h } } } ^ { { h } } } \\
\displaystyle & = { \left ( \frac { { { a } { h } ^ { 3} } } { { 3} } + \frac { { { b } { h } ^ { 2 } } } { { 2 } } + { c } { h } \right ) } -
\displaystyle { \left ( - \frac { { { a } { h } ^ { 3 } } } { { 3 } } + \frac {{ { b } { h } ^ { 2 } } } { { 2 } } - { c } { h } \right ) } \\
\displaystyle&=\frac{{{2}{a}{h}^{3}}}{{3}}+{2}{c}{h}
\displaystyle=\frac{h}{{3}}{\left({2}{a}{h}^{2}+{6}{c}\right)} \end {align*} $$

سهمی از سه نقطه $$(-h, y_0)$$، $$(0, y_1) $$ و $$(h, y_2 ) $$ می‌گذرد. با جایگذاری این سه نقطه در معادله عمومی، می‌توان نوشت:

$$ \large \begin {align*}
\displaystyle { y } _ { { 0 } } & = { a } { h } ^ { 2 } - { b } { h } + { c } y \\
\displaystyle { y } _ { { 1 } } & = { c } \\
\displaystyle { y } _ { { 2 } } & = {a } { h } ^ { 2 } + { b } { h } + { c } y
\end {align*} $$

از معادله دوم، داریم:

$$ \large c= y_1 $$

همچنین، مجموع معادله اول و سوم برابر است با:

$$ \large \displaystyle { 2 } { a } { h } ^ { 2 } = { y } _ { { 0 } } - { 2 } { y } _ { { 1 } } + { y} _ { { 2 }} $$

اکنون دو عبارت بالا را در $$ \displaystyle { A } = \frac { h } { { 3 } } { \left ( { 2 }{ a } { h } ^ { 2} + { 6} { c } \right ) } $$ جایگذاری می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
\displaystyle { A } & = \frac { h } { { 3 } } { \left ( { 2 } { a } { h } ^ { 2 } + { 6 } { c } \right ) } \\
\displaystyle & = \frac { h } { { 3 } } { \left ( { y } _ { { 0 } } - { 2 } { y } _ { { 1 } } + { y } { 2 } + { 6 } { y } _ { { 1 } } \right ) } \\
\displaystyle & = \frac { h } { { 3 } } { \left ( { y } _ { { 0 } } + { 4 } { y } _ { { 1 } } + { y } _ { { 2 } } \right ) }
\end {align*} $$

به طور مشابه، مساحت زیر منحنی سهمی گذرنده از سه نقطه بعدی را محاسبه می‌کنیم:‌

$$ \large \displaystyle { A } = \frac { h } { { 3 } }{ \left ( { y } _ { { 2 } } + { 4 } { y } _ { { 3 } } + { y } _ { { 4 } } \right ) } $$

مجموع دو مساحت برابر است با:

$$ \large \displaystyle { A } = \frac { h } { { 3 } }{ \left ( { y } _ { { 0 } } + { 4 } { y } _ { { 1 } }+ { 2 } { y } _ { { 2 } } + { 4} { y } _ { { 3 } } + { y } _ { { 4 } } \right ) } $$

با در نظر گرفتن شش زیر بازه، سه سهمی خواهیم داشت. مجموع مساحت زیر منحنی این سه سهمی را با طی مراحل قبل می‌توان به صورت زیر به دست آورد:‌

 $$ \large \displaystyle { A } = \frac { h } { { 3 } } { \left [ { y } _ { { 0 } } + { 4 } { y } _ { { 1 } } + { 2 } { y } _ { { 2 } } + { 4 } { y } _ { { 3 } } + \right . }
+ \displaystyle { 2 } { y } _ { {4 } }
+ \displaystyle { 4 } { y } _ { { 5 } }
+ \displaystyle { \left . { y } _ { { 6 } } \right ] } $$

اگر همین مراحل را برای زیر بازه‌های بیشتر تکرار کنیم و مجموع مساحت‌ها را به دست آوریم، می‌توانیم قاعده سیمپسون را به صورت زیر بنویسیم:

$$ \large \displaystyle { \int _ { { a } } ^ { { b } } } f { { \left ( { x } \right ) } } { \left . { d } { x } \right . }
\displaystyle \approx \frac { { \Delta { x } } } { { 3 } } { \left ( { y } _ { { 0 } } + { 4 } { y } _ { { 1 } } + { 2 } {y } _ { { 2 } } + { 4 } { y } _ { { 3 } } + \right . }
+ \displaystyle { 2 } { y } _{ { 4 } } \ldots
+ \displaystyle { 4 } { y }_ { { { n} - { 1 } } }
+ \displaystyle { \left . { y } _{ { n } } \right ) } $$

مثال عددی زیر، نحوه محاسبات در این روش را به خوبی بیان می‌کند.

فرض کنید می‌خواهیم مساحت زیر منحنی عمومی شکل زیر را حساب کنیم.

منحنی بالا را به چهار بخش مساوی تقسیم می‌کنیم (تعداد این بخش‌ها باید عدد زوجی باشد).

در ادامه، سهمی‌هایی را پیدا می‌کنیم که بسیار شبیه به هر یک از چهار تکه منحنی باشند. اگر سه نقطه داشته باشیم، می‌توانیم یک سهمی منحصر به فرد را از آن‌ها عبور دهیم.

از دو تکه اول سمت چپ منحنی شروع می‌کنیم. نقاط میانی و انتهایی را به صورت زیر تعیین می‌کنیم.

فرض می‌کنیم نقاط مورد نظر به صورت زیر باشند:

$$ \large \begin {align*} \displaystyle { \left ( { x } _ { { 0 } } , { y } _ { { 0 } } \right ) } &= { \left ( - { 1.57 } , { 1 } \right ) } \\
\displaystyle { \left ( { x } _ { { 1 } } , { y } _ { { 1 } } \right ) } &= { \left ( - { 0 .3 9 } , { 1.62 } \right ) }
\\
\displaystyle { \left ( { x } _ { { 2 } } , { y } _ { { 2} } \right ) } &= { \left ( { 0.79 } , { 2.71 } \right ) } \end {align*} $$

این سه نقطه را در فرمول یک سهمی به فرم عمومی $$ \displaystyle { y } = { a } { x } ^ { 2 } + { b } { x } + { c } $$ جایگذاری می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*} \displaystyle { 1 } & ={ a } { \left ( -{ 1.57 } \right ) } ^ { 2 } + { b } { \left ( - { 1.57 } \right ) }+ { c } \\\displaystyle { 1.62 } & = { a } { \left ( - { 0.39 } \right ) } ^ { 2 } + { b } { \left ( - { 0.39 } \right ) } + { c } \\\displaystyle { 2.71 } & = { a } { \left ( { 0.79 } \right ) }^ { 2 } + { b } { \left ( { 0.79 } \right ) } + { c } \end {align*} $$

معادلات بالا، یک دستگاه سه معادله و سه مجهولی را تشکیل می‌دهند و از آن می‌توان ضرایب $$a$$، $$b$$ و $$c$$ را به دست آورد:

$$ \large \displaystyle { a } = { 0.17021 }, \; \displaystyle { b } = { 0.85820 }, \; \displaystyle { c } = { 1.92808 } . $$

در نتیجه می‌توان معادله سهمی گذرنده از سه نقطه را به صورت زیر نوشت (اعداد گرد شده‌اند):

$$ \large \displaystyle { y } = {0.170 } { x } ^ { 2 } + { 0.858 }{ x } + { 1.93 } $$

منحنی سهمی، در شکل زیر نشان داده شده است:

همان‌طور که می‌بینیم، سهمی از سه نقطه می‌گذرد و بسیار نزدیک به منحنی اصلی است؛ بنابراین، تقریب مناسبی برای این تکه از منحنی است.

فرایند مشابهی را برای دو تکه دیگر انجام می‌دهیم و سهمی گذرنده از سه نقطه را به شکل زیر به دست می‌آوریم:

هرچه تعداد تکه های منحنی بیشتر باشد یا عرض زیر بازه‌ها کمتر باشد، دقت تقریب بالاتر می‌رود. شکل زیر نشان می‌دهد که با کاهش اندازه زیر بازه‌ها، سهمی مشابه منحنی اصلی شده است.

خطا در قاعده سیمپسون

وقتی مقدار عددی انتگرال را تقریب می‌زنیم، همیشه مقداری خطا وجود دارد. این خطا برابر است با:

$$ \large \displaystyle { \large { { E } = { \int _ { { a } } ^ {{ b } } } { f { { \left ( { x } \right ) } } } { d } { x } - { A } { p } { p } } } $$

که در آن، $$ \displaystyle{\large{{A}{p}{p}}} $$ مقدار تقریبی و $$E$$ خطا است.

حال می‌خواهیم بدانیم محدوده خطای قاعده سیمپسون چقدر است. فرض کنید برای $$ \displaystyle { \large { { a } \le { x } \le { b } } } $$ داشته باشیم: $$ \displaystyle { \large { { \left | { { f } } ^ { { { \left ( { 4 } \right) }} } { \left ({ x } \right ) } \right | } \le { M } } } $$. بنابراین، کران خطا به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large \displaystyle { \large { { \left | { E } \right | } \le \frac { { { M } { { \left ( { b } - { a } \right ) } } ^ { { 5 } } } } { { { 1 8 0 } { { n } } ^ { { 4 } } } } } } $$

مثال‌ها

در ادامه، مثال‌هایی را از کاربرد قاعده سیمپسون بیان می‌کنیم.

مثال ۱

انتگرال $$ \displaystyle { \int _ { { 2 } } ^ { { 3 } } } \frac { { { \left .{ d } { x } \right . } } } { { { x } + { 1 } } } $$  را با استفاده از قاعده سیمپسون با $$n=4$$ محاسبه کنید.

حل: نمودار منحنی مطابق شکل زیر است:

اندازه هر زیر بازه به صورت زیر تعیین می‌شود:‌

$$ \large \displaystyle \Delta { x } = \frac { { { b } - { a } } } { { n } } = \frac { { { 3 } - { 2 } } } { { 4 } } = { 0 .2 5 }$$

با توجه به عرض هر زیر بازه، نقاط مربوط به هریک از زیر بازه‌ها به صورت زیر است:‌

$$ \begin{align*} \large \displaystyle { y } _ { { 0 } } = f { { \left ( { a } \right ) } }
\displaystyle &= f { { \left ( { 2 } \right ) } }
\displaystyle = \frac { 1 } { { { 2 } + { 1 } } } = { 0.3333333 } \\ \large \displaystyle { y } _ { { 1 } } &= f {{ \left ( { a } + \Delta { x } \right ) } } = f { { \left ( { 2.25 } \right ) } }
\displaystyle = \frac { 1 } { { { 2.25 } + { 1 } } } = { 0.3076923 } \\ \large \displaystyle { y } _ { { 2 } } = f { { \left ( { a } + { 2 } \Delta { x } \right ) } } &= f { { \left ( { 2.5 } \right ) } } ​
\displaystyle = \frac { 1 } { { { 2.5 } + { 1} } } = { 0.2857142 }
\\ \large \displaystyle { y } _ { { 3 } } = f { { \left ( { a } + { 3 } \Delta { x } \right ) } } &= f { { \left ( { 2.75 } \right ) } } \displaystyle = \frac { 1 } { { { 2.75 } + { 1 } } } = { 0.2666667 } \\ \large \displaystyle { y } _ { { 4 } } &= f { { \left ( { b } \right ) } } = f { { \left ( { 3 } \right ) } } \displaystyle = \frac { 1 } { { { 3 } + { 1 } } } = { 0.25 }
\end {align*}$$

بنابراین، طبق قاعده سیمپسون، داریم:

$$ \large \begin {align*} \large A \displaystyle ={ \int _ { { a } } ^ { { b } } } f { { \left ( { x } \right ) } } \text{d}{x}
\displaystyle \approx \frac {0.25 } { { 3 } } { \left ( { 0.333333 } + { 4 } { \left ( { 0.3076923 } \right ) } \right . } \\
\displaystyle + { 2 } { \left ( { 0.2857142 } \right ) } + { 4 }{ \left ( { 0.2666667 } \right ) } \displaystyle { \left . + { 0.25 } \right ) }
\displaystyle = { 0.2876831 }
\end {align*} $$

پاسخ دقیق این مسأله تا شش رقم اعشار، عدد $$ 0.287682 $$ است. بنابراین می‌توان گفت خطای تقریب سیمپسون فقط $$ 0.00036 $$ درصد است.

در این مثال، نمودار بسیار شبیه به یک سهمی است؛ بنابراین، دو سهمی‌ نشان داده شده در شکل، عملاً منحنی $$ \displaystyle { y } = \frac { 1 } { { { x } + { 1 } } } $$ را تشکیل می‌دهند.

مثال ۲

با استفاده از قاعده سیمپسون، مقدار $$ \displaystyle { \large { { \int _ { { 1 } } ^ { { 2 } } } \frac { { 1 } } { { { x } } ^ { { 2 } } } { d } { x } } } $$ را با $$n=8$$ محاسبه کنید.

حل: از آن‌جایی که نقاط ابتدا و انتهای بازه به ترتیب، $$a=1$$ و $$b=2$$ هستند و داریم: $$ \displaystyle { \large { { f { { \left ( { x } \right ) } } } = \frac { { 1 } } { { { x } } ^ { { 2} } } } } $$ و $$n=8$$، می‌توان نوشت:

$$ \large \displaystyle { \large { \Delta { x } = \frac { { { b } - { a } } } { { n } } = \frac { { { 2 } - {1 } } } { { 8 } } = { 0.125 } } } $$

بنابراین، حاصل انتگرال برابر است با:‌

$$ \large \begin {align*}
\int _ { { 1 } } ^{ { 2 } } \frac { { 1 } } { { x } } { \left ( { d } { x } \right ) } \approx { S } _ { { n } }
&= \frac { { { 0.125 } } } { { 3 } } { \left ( { f { { \left ( { 1 } \right ) } } } + { 4 } { f { { \left ( { 1.125 } \right ) } } } + { 2 } { f { { \left ( { 1.25 } \right ) } } } + { 4 } { f { { \left ({ 1.375 } \right ) } } } \\
+ { 2 } { f { { \left ( { 1.5 } \right ) } } } + { 4 } { f { { \left ( { 1.625 } \right ) } } } + { 2 } { f { { \left ( { 1.75 } \right ) } } } + { 4 } { f { { \left ( { 1.875 } \right ) } } } + { f { { \left ( { 2 } \right ) } } } \right ) } \\
&= \frac { { 0.125 } } { { 3 } } { \left ( \frac { { 1 } } { { { 1} } ^ { { 2 } } } + \frac { { 4 } }{ { { \left ( { 1.125 } \right ) } } ^ { { 2 } } } + \frac { { 2 } } { { { \left ( {1.25 } \right ) } } ^ { {2 } } } + \frac { {4 } }{ {{ \left ( {1.375 } \right ) } } ^ {{ 2 } } } + \frac {{ 2 } }{ { { \left ( { 1.5 } \right ) } } ^ { { 2 } } } \\
+ \frac { { 4 } }{ { { \left ( { 1.625 } \right ) } } ^ { {2 } } } + \frac { { 2 }} { {{ \left ( { 1.75 } \right ) } }^ { { 2} }} + \frac { { 4} } {{ { \left ( { 1.875 } \right ) } } ^ {{ 2 }} } + \frac { { 1} } { { { 2 } } ^ { { 2 } } } \right ) } \\ & \approx 0.5000299.
\end {align*} $$

مقدار واقعی انتگرال، $$ \displaystyle { \large { { I } = { \int _ { { 1 } } ^ { { 2 } } } \frac { { 1 } } { { { x } } ^ { { 2 } } } { d } { x } = { 0 . 5 } } } $$ است. همان‌طور که می‌بینیم، قاعده سیمپسون تقریب بسیار مناسبی را ارائه می‌دهد.

مثال ۳

مقدار $$n$$ را به گونه‌ای محاسبه کنید که تقریب قاعده سیمپسون برای انتگرال $$ \displaystyle { \large { { \int _ { { 1 } } ^ { { 2 } } } \frac { { 1 } } {{ { x } } ^ { { 2 } } } { d } { x } } } $$ برابر با مقدار $$0.0002 $$ باشد.

حل: در این مثال، داریم:

$$ \large \displaystyle { \large { { a } ={ 1 } } }, \,\, \displaystyle { \large { { b } = { 2 } } ,\,\,} \displaystyle { \large { { f { { \left ( { x } \right ) } } } = \frac { { 1 } }{ { { x} } ^ { { 2 } } } }} $$

مشتق‌های اول تا چهارم انتگرال‌ده به صورت زیر هستند:‌

$$ \large \displaystyle { \large { { f ^ {\prime} } { \left ( { x } \right ) } = - \frac { { 2 }} { { { x } } ^ { { 3 } } } } } , \,\, \displaystyle { \large {{ f ^ {\prime \prime}} { \left ( { x } \right ) } = \frac { { 6 } } { { { x } } ^ { { 4 } } } } } , \, \, \displaystyle { \large { { f ^ {\prime \prime \prime} } { \left ( { x } \right ) } = - \frac { { 2 4 } } { {{ x } } ^{ { 5 }} }} } , \, \, \displaystyle { \large { { { f} } ^ {{ { \left ( { 4 } \right ) } } }{ \left ( { x } \right ) } = \frac { { 1 2 0 } } { { { x } } ^ { { 6 } } }} } . $$

طبق فرمولی که در بالا معرفی کردیم، داریم:

$$ \large \displaystyle { \large { { \left | { { f } } ^ { { { \left ( { 4 } \right ) } }} { \left ( { x } \right ) } \right | } \le { 1 2 0 } } } , \, \, \displaystyle { \large { { 1 } \le { x } \le { 2 } } } $$

بنابراین، می‌توانیم بنویسیم:

$$ \large \displaystyle { \large { \frac { { { 1 2 0 } { { \left ( { 2 } - { 1 } \right ) } } ^ { { 5 } } } } {{ {1 8 0 } { { n } } ^ { { 4 } } } } < { 0 .0 0 02 } } } $$

یا

$$ \large \displaystyle { \large { { { n } } ^ { { 4 } } > \frac { { 1 20 } } {{ {1 8 0 } \cdot { 0.0 0 0 2 } } } = \frac { { 1 } } { { { 0.0 0 0 3 } } } } } $$

در نتیجه:

$$ \large \displaystyle { \large { { n } > \frac { { 1 } } { { { \sqrt [ { { 4 } } ] { { { 0.0 0 0 3 } }} } } } \approx { 7.6 } } } $$

از آن‌جایی که مقدار $$n$$ باید زوج باشد، $$n=8$$ را انتخاب می‌کنیم.

مثال ۴

با در نظر گرفتن $$n=4$$، مقدار تقریبی انتگرال $$ \int_{{\,0}}^{{\,2}}{{{{\bf{e}}^{{x^2}}}\,dx}}$$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا طول هر زیر بازه را با توجه به $$n=4 $$ محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \Delta x = \frac { { 2 - 0 } } { 4 } = \frac { 1 } { 2 } $$

زیر بازه‌ها به صورت زیر هستند:‌

$$ \large \left [ { 0 , \, \, 0.5 } \right ] , \, \, \left [ { 0.5 , \, \, 1 } \right ] , \, \, \left [ { 1 , \, \, 1.5 } \right ] , \, \, \left [ { 1.5 , \, \, 2 } \right] $$

با استفاده از فرمول قاعده سیمپسون، مقدار انتگرال به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin{align*}\int _ { { \, 0 } } ^ { { \, 2 } }{ { { { \bf { e } } ^ { { x ^ 2 } } } \, d x } } &\approx \frac { { { 1 } / { 2 } \; } } { 3 } \left ( { { { \bf { e } } ^ { { { \left ( 0 \right ) } ^ 2 } } } + 4 { { \bf { e } } ^ { { { \left ( { 0.5 } \right ) } ^ 2 } } } + 2 { { \bf { e } } ^ { { { \left ( 1 \right ) } ^ 2 } } } + 4 { { \bf { e } } ^ { { { \left ( {1.5} \right ) } ^ 2 } } } + { { \bf { e } } ^ { { { \left ( 2 \right ) } ^ 2 } } } } \right ) \\ &= 17.35362645 \end{align*} $$

مقدار واقعی انتگرال برابر است با:

$$ \large \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, 2 } }{ { { { \bf { e } }^ { { x ^ 2 } } } \, d x } } = 16.45262776 $$

بنابراین، مقدار خطای قاعده سیمپسون $$0.90099869 $$ است.

پیاده‌سازی نر‌م‌افزاری قاعده سیمپسون

در این بخش، شیوه پیاده‌سازی قاعده سیمپسون را در پایتون و متلب بیان می‌کنیم.

فیلم آموزش محاسبات عددی در پایتون Python در فرادرس

کلیک کنید

پیاده‌سازی در پایتون

ابتدا کتابخانه‌های لازم را فراخوانی می‌کنیم:

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3%matplotlib inline

برای نوشتن برنامه قاعده سیمپسون در پایتون، ابتدا تابع simps را تعریف می‌کنیم که پارامترهای ورودی آن $$f$$، $$a$$، $$b$$ و $$N$$ هستند و تقریب $$S_N(f) $$ را به عنوان خروجی به دست می‌دهد. مقدار $$N=50$$ را در نظر می‌گیریم. برنامه به صورت زیر است:

1def simps(f,a,b,N=50):
2    '''Approximate the integral of f(x) from a to b by Simpson's rule.
3
4    Simpson's rule approximates the integral \int_a^b f(x) dx by the sum:
5    (dx/3) \sum_{k=1}^{N/2} (f(x_{2i-2} + 4f(x_{2i-1}) + f(x_{2i}))
6    where x_i = a + i*dx and dx = (b - a)/N.
7
8    Parameters
9    ----------
10    f : function
11        Vectorized function of a single variable
12    a , b : numbers
13        Interval of integration [a,b]
14    N : (even) integer
15        Number of subintervals of [a,b]
16
17    Returns
18    -------
19    float
20        Approximation of the integral of f(x) from a to b using
21        Simpson's rule with N subintervals of equal length.
22
23    Examples
24    --------
25    >>> simps(lambda x : 3*x**2,0,1,10)
26    1.0
27    '''
28    if N % 2 == 1:
29        raise ValueError("N must be an even integer.")
30    dx = (b-a)/N
31    x = np.linspace(a,b,N+1)
32    y = f(x)
33    S = dx/3 * np.sum(y[0:-1:2] + 4*y[1::2] + y[2::2])
34    return S

اکنون برنامه بالا را برای انتگرالی که مقدار آن را می‌دانیم، آزمایش می‌کنیم. برای مثال، انتگرال زیر را در نظر بگیرید:

 $$ \large \int_0^1 3x^2 dx = 1 $$

برنامه و نتیجه اجرای آن برای این انتگرال به صورت زیر است:

1simps(lambda x : 3*x**2,0,1,10)

11.0

برای انتگرال زیر نیز برنامه را اجرا می‌کنیم:‌

$$ \large \int_0^{\pi/2} \sin(x) dx = 1 $$

در نتیجه، داریم:

1simps(np.sin,0,np.pi/2,100)

11.0000000003382361
2            <div class="faradars-courses faradars-courses-single">
3                <a href="https://faradars.org/courses/fvmth102-numerical-analysis?utm_source=blog.faradars&utm_medium=referral-post&utm_campaign=related-courses-inline-5&utm_term=s.hamidi&utm_content=mathematics_fundamental-science" target="_blank">
4                    <div class="card card-course">
5                        <div class="card-image">
6                            <img class="pop-img" src="https://faradars.org/wp-content/uploads/2016/02/fvmth102-svg.svg" alt="آموزش محاسبات عددی با متلب MATLAB">
7                        </div>
8                        <div class="card-body">
9                            <div class="card-title">
10                                فیلم آموزش محاسبات عددی با متلب MATLAB در فرادرس
11                            </div>
12                        </div>
13                        <div class="card-action ml-3">
14                            <div class="fdb-btn">کلیک کنید</div>
15                        </div>
16                    </div>
17                </a>
18            </div>
19        

پیاده‌سازی در متلب

برنامه متلب قاعده سیمپسون نیز به صورت زیر است:

1%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
2% Simpson Rule (Version 1.0)                            %
3%                                                                %
4% Programmed By: MatlabSite.com Team.                            %
5%                Copyright 2009                                  %
6%                                                                %
7%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
8! Copyright.pdf
9
10
11clc;
12clear;
13x=sym('x');
14
15disp('This program calculates integral of f(x) using Composite Simpson rule.');
16f=input('Enter f(x) as a function of x: ');
17disp(' ');
18
19a=input('Enter the start of integration range: ');
20b=input('Enter the end of integration range: ');
21disp(' ');
22
23xmin=min(a,b);
24xmax=max(a,b);
25
26a=xmin;
27b=xmax;
28
29n=input('Enter the number of subintervals (an even number): ');
30disp(' ');
31n=2*floor(n/2);
32if(n<2)
33    n=2;
34end
35
36h=(b-a)/n;
37S=0;
38for i=1:n+1
39    xx=a+(i-1)*h;
40    ff=subs(f,xx);
41    
42    if i==1 || i==n+1
43        S=S+ff;
44    else
45        if mod(i,2)==0
46            S=S+4*ff;
47        else
48            S=S+2*ff;
49        end
50    end
51end
52
53S=S*h/3;
54
55disp(['Integral of ' char(f) ' in the range [' mat2str(a,4) ', ' mat2str(b,4) '] is:']);
56disp(mat2str(S,10));
57disp(' ');

در آموزش‌های بعدی، روش‌های دیگر محاسبه عددی انتگرال را معرفی خواهیم کرد.

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• روش نیوتن — به زبان ساده
• معادله خط — به زبان ساده
• دستگاه معادلات خطی — به زبان ساده
• جذر یا محاسبه ریشه دوم عدد — به زبان ساده

^^