عملیات سطری مقدماتی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

عملیات سطری مقدماتی، مجموعه عمل‌هایی است که روی سطرهای یک ماتریس و برای تبدیل آن به یک ماتریس دیگر به فرم مورد نظر انجام می‌شود. برای مثال، در مواردی که لازم است یک ماتریس را به فرم مثلثی، قطری یا بلوکی تبدیل کنیم، می‌توانیم از عملیات سطری مقدماتی بهره ببریم. سه عمل سطری مقدماتی عبارتند از: جابه‌جایی دو سطر، ضرب عدد حقیقی در یک سطر و جمع یا تفریق مضربی از یک سطر با سطر دیگر.

در ادامه، توضیحات و مثال‌هایی را درباره اعمال سطری مقدماتی ارائه خواهیم کرد.

عملیات سطری مقدماتی

ماتریس $$ A $$ را با ابعاد $$ m \times n $$ در نظر بگیرید. سه عمل زیر روی سطرهای این ماتریس عملیات سطری مقدماتی (Elementary Row Operations) نامیده می‌شوند:

1. تعویض دو سطر: عمل $$ R_i \leftrightarrow R_j $$ دو سطر $$ i$$  و $$ j $$ را تعویض می‌کند.
2. ضرب یک عدد غیرصفر در یک سطر: عمل $$ tR_i $$ عدد غیرصفر $$t$$ را در همه درایه‌های سطر $$i$$اُم ضرب می‌کند.
3. جمع مضرب یک سطر با سطر دیگر: عمل $$ R_j+tR_i $$، $$ t$$ برابر سطر $$i$$ را با سطر $$j$$ جمع می‌کند.

فیلم آموزش جبر خطی در فرادرس

کلیک کنید

لازم است چند تعریف زیر را نیز بدانیم:

• دو ماتریس را معادل سطری (Row Equivalent) می‌گوییم، اگر با تعدادی عمل سطری مقدماتی بتوان یکی را از دیگری به دست آورد.
• فرم کاهش یافته سطری پلکانی را که معادل سطری با $$A$$ است، با $$\text{rref}(A)$$ نشان می‌دهیم.
• رتبه (Rank) ماتریس $$ A $$ تعداد سطرهای $$\text{rref}(A)$$ است.

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال را درباره عملیات سطری مقدماتی بیان می‌کنیم.

فیلم آموزش جبر خطی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

برای هر یک از ماتریس‌های زیر، یک ماتریس معادل سطری پیدا کنید که به فرم کاهش یافته باشد.

الف) $$ \large A = \begin {bmatrix} 1 & 3 \\ - 2 & 2 \end {bmatrix} $$

حل الف: رتبه ماتریس $$A$$ برابر با ۲ است که می‌توان آن را به صورت زیر تبدیل کرد:

$$ \large \begin {bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 2 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 2 + 2 R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 8 \end {bmatrix} \xrightarrow { \frac { 1 } {8 } R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 – 3 R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {bmatrix} . $$

از آنجایی که ماتریس کاهش یافته سطری دو سطر غیرصفر دارد، رتبه ماتریس $$ A $$ برابر با ۲ است.

ب) $$ \large B = \begin {bmatrix} 2 & 6 & - 2 \\ 3 & - 2 & 8 \end {bmatrix} $$

حل ب: رتبه ماتریس $$B $$ برابر با ۲ است که می‌توان آن را به صورت زیر نوشت:

$$ \large \begin {align*}
\begin {bmatrix} 2 & 6 & - 2 \\ 3 & - 2 & 8 \end {bmatrix} \xrightarrow { \frac { 1 } { 2 } R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & 3 & - 1 \\ 3 & - 2 & 8 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 2 – 3 R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & - 1 1 & 1 1 \end {bmatrix} \\[6pt]
\xrightarrow{\frac{-1}{11} R_2 } \begin{bmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 – 3 R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 1 \end {bmatrix}
\end {align*} $$

ج) $$ \large C = \begin {bmatrix} 2 & - 2 & 4 \\ 4 & 1 & - 2 \\ 6 & - 1 & 2 \end {bmatrix} $$

حل ج: رتبه ماتریس $$C$$ برابر با ۲ است:

$$ \large \begin {align*}
\begin {bmatrix} 2 & - 2 & 4 \\ 4 & 1 & - 2 \\ 6 & - 1 & 2 \end {bmatrix} \xrightarrow { \frac { 1 } { 2 } R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & - 1 & 2 \\ 4 & 1 & - 2 \\ 6 & - 1 & 2 \end {bmatrix} \xrightarrow [ R _ 3 – 6 R _ 1 ] { R _ 2 – 4 R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 5 & - 1 0 \\ 0 & 5 & - 1 0 \end {bmatrix} \\[6pt]
\xrightarrow { R _ 3 – R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 5 & - 1 0 \\ 0 & 0 & 0 \end {bmatrix} \xrightarrow { \frac { 1 } { 5 } R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 + R _ 2 } \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 \end {bmatrix} .
\end {align*} $$

د) $$ \large D = \begin {bmatrix} - 2 \\ 3 \\ 1 \end {bmatrix} $$

حل د: رتبه ماتریس $$D$$ برابر با ۱ است:

$$ \large \begin {bmatrix} - 2 \\ 3 \\ 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { \frac { - 1 } { 2 } R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 2 – 3 R _ 1 , R _ 3 – R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {bmatrix} . $$

ه) $$ \large E = \begin {bmatrix} - 2 & 3 & 1 \end {bmatrix} $$

حل ه: رتبه ماتریس $$E$$‌ برابر با ۱ است:

$$ \large \begin {bmatrix} - 2 & 3 & 1 \end {bmatrix} \xrightarrow { \frac { - 1 } { 2 } R _ 1 } \begin {bmatrix} 1 & \frac { - 3 } { 2 } & \frac { - 1 } { 2 } \end {bmatrix} . $$

مثال ۲

فرض کنید $$ A $$  و $$ I $$ دو ماتریس $$ 2 \times 2 $$ به صورت زیر باشند:

$$ \large A = \begin {bmatrix}
1 & b \\
c & d
\end {bmatrix} , \qquad I = \begin {bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end {bmatrix} . $$

ثابت کنید اگر $$ d-cb \neq 0 $$، آنگاه ماتریس $$A$$ معادل سطری ماتریس $$ I$$ است.

حل: فرض می‌کنیم $$ b-cd \neq 0 $$. آنگاه می‌توانیم ماتریس $$I$$ را از ماتریس $$ A$$‌با دنبال کردن عملیات سطری مقدماتی به دست آوریم.

ابتدا، $$ R_2-cR_1 $$ را اعمال می‌کنیم و داریم:

$$ \large \begin {align*}
A & = \begin {bmatrix}
1 & b \\
c & d
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 2 -c R _ 1 }
\begin {bmatrix}
1 & b \\
0 & d - c b
\end {bmatrix}.
\end {align*} $$

در گام بعدی $$ \frac{1}{d-cb}R_2 $$ را انجام می‌دهیم:

$$ \large \begin {align*}
\begin {bmatrix}
1 & b \\
0 & d - c b
\end {bmatrix}
\xrightarrow { \frac { 1 } { d - c b } R _ 2 } \begin {bmatrix}
1 & b \\
0 & 1
\end {bmatrix}.
\end {align*} $$

در اینجا از فرض $$ d-cb \neq 0 $$ استفاده می‌کنیم، زیرا $$ d - c b $$ در مخرج است. مرحله آخر $$ R_1-bR_2 $$ است:

$$ \large \begin {align*}
\begin {bmatrix}
1 & b \\
0 & 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 1 - b R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end {bmatrix} = I .
\end {align*} $$

به طور خلاصه، با دنباله عملیات سطری مقدماتی زیر از ماتریس $$ A $$ به ماتریس $$ I $$ می‌رسیم:

$$ \large \begin {align*}
A & = \begin {bmatrix}
1 & b \\
c & d
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 2 - c R _1 }
\begin {bmatrix}
1 & b \\
0 & d - c b
\end {bmatrix} \\[6pt]
& \xrightarrow { \frac { 1 } { d - c b } R _ 2 } \begin {bmatrix}
1 & b \\
0 & 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 1 - b R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end {bmatrix} = I ,
\end {align*} $$

در نتیجه، دو ماتریس $$A$$ و $$I$$ هم‌ارز یا معادل سطری هستند.

فیلم آموزش جبر خطی با متلب در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۳

رتبه ماتریس حقیقی زیر را به دست آورید که در آن، $$a$$ یک عدد حقیقی است:

$$ \large \begin {bmatrix}
a & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1 \\
- 1 & 1 & 1 - a
\end {bmatrix} , $$

حل: رتبه ماتریس، برابر است با تعداد سطرهای غیرصفر یک ماتریس کاهش یافته سطری پلکانی هم‌ارز با ماتریس داده شده. از عملیات سطری مقدماتی زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
& \begin {bmatrix}
a & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1 \\
- 1 & 1 & 1 - a
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 1 \leftrightarrow R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a & 1 & 2 \\
- 1 & 1 & 1 - a
\end {bmatrix}
\xrightarrow [ R _ 3 +R _ 1 ] { R _ 2 - a R _ 1 }
\begin {bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1- a & 2 - a \\
0 & 2 & 2 - a
\end {bmatrix} \\[8pt]
& \xrightarrow { R _ 2 \leftrightarrow R _ 3 }
\begin {bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 2 - a \\
0 & 1 - a & 2 - a
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 3 - \frac { 1 - a } { 2 } R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 2 - a \\
0 & 0 & ( 2 - a ) ( a + 1 ) / 2
\end {bmatrix}.
\end {align*} $$

ماتریس آخر، یک ماتریس پلکانی است. بنابراین، اگر $$ a \neq -1, 2 $$، آنگاه درایه $$ (3, 3) $$ ماتریس آخر صفر نیست. در نتیجه، می‌بینیم که وقتی $$ a \neq -1, 2 $$، رتبه برابر با ۳ است.

از سوی دیگر،‌ وقتی $$ a=-1 $$ یا $$ a = 2 $$، سطر سوم یک سطر صفر خواهد بود و در نتیجه رتبه برابر با ۲ است.

مثال 4

برای ماتریس $$ A $$ با اندازه $$ m \times n$$، ماتریس را در صورت پلکانی سطری تحویل شده را با $$ \mathrm{rref}(A)  $$ نشان می‌دهیم که هم‌ارز سطری با $$ A$$ است. برای مثال، ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large A = \begin {bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 2
\end {bmatrix} $$

در نتیجه، خواهیم داشت:

$$ \large A = \begin {bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 2
\end {bmatrix}
\xrightarrow { \frac { 1 } { 2 } R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end {bmatrix}
\xrightarrow { R _ 1 - R _ 2 }
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end {bmatrix} $$

و ماتریس آخر به صورت پلکانی سطری کاهش یافته است.

بنابراین:

$$ \large \mathrm { r r e f} ( A ) = \begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end {bmatrix}. $$

مثالی را برای ماتریس‌های $$ A $$‌ و $$ B $$ به گونه‌ای پیدا کنید که:

$$ \large \mathrm { r r e f } ( A B ) \neq \mathrm { r r e f } ( A ) \mathrm { r r e f } (B ) . $$

حل: ماتریس‌های زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large A = \begin {bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end {bmatrix} \text{, } \; \; \; \; \; B = \begin {bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end {bmatrix} . $$

ماتریس $$A$$، خود به صورت پلکانی سطری کاهش یافته است. بنابراین، $$ \mathrm{rref}(A)=A$$.

با استفاد از عملیات سطری مقدماتی، داریم:

$$ \large B = \begin {bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end {bmatrix} \xrightarrow { R _ 1 \leftrightarrow R _ 2 } \begin {bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end {bmatrix} . $$

از آنجایی که ماتریس آخر به صورت پلکانی سطری کاهش یافته است، می‌توان نوشت:

$$ \large \mathrm { r r e f } ( B ) = \begin {bmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end {bmatrix} . $$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \large \mathrm { r r e f } ( A ) \mathrm { r r e f }( B ) = \begin {bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end {bmatrix}
\begin {bmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end {bmatrix} = \begin {bmatrix}
0 & 0\\
0 & 0
\end {bmatrix} . $$

حاصل‌ضرب $$ A $$ و $$ B $$‌ برابر است با:

$$ \large A B = \begin {bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end {bmatrix}
\begin {bmatrix}
0 & 0\\
1 & 0
\end {bmatrix} = \begin {bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end {bmatrix} . $$

در نتیجه، می‌توان نوشت:

$$ \large \mathrm {rref} ( A B ) = \begin {bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end {bmatrix} $$

در نهایت، نامساوی مورد نظر اثبات می‌شود:

$$ \large \mathrm { r r e f } ( A B ) = \begin {bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end {bmatrix} \neq
\begin {bmatrix}
0 & 0\\
0 & 0
\end {bmatrix}
= \mathrm { r r e f } ( A ) \mathrm { r r e f } ( B ) $$