خمیدگی توابع برداری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در این مطلب قصد داریم تا نحوه محاسبه خمیدگی توابع برداری را توضیح دهیم. البته گفتنی است قبل از مطالعه، بهتر است مطالب توابع برداری را مطالعه فرمایید.

مقدمه

خمیدگی در حقیقت معادل با میزان تغییر جهت یک تابع برداری یا همان تابع پارامتری نسبت به پارامتر وابسته است.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

روابط زیادی به منظور بدست آوردن خمیدگی توابع پارامتری وجود دارد. با این حال تعریف کلی خمیدگی به صورت زیر است.

$$ \Large \kappa = \left | { \frac { { d \, \overrightarrow T } } { {d s } } } \right| $$

در رابطه فوق، s برابر با طول خم و $$ \large \overrightarrow T $$ نشان دهنده بردار مماس به خم است. همان‌طور که در مطلب توابع برداری نیز بیان شد، به منظور بدست آوردن خمیدگی یک تابع، در ابتدا باید، آن را به صورت پارامتری بیان کرده، سپس قادر خواهیم بود تا خمیدگی آن را محاسبه کنیم.

بدست آوردن خمیدگی با استفاده از تعریف کاری مشکل است. معمولا استفاده از دو فرمول زیر برای بدست آوردن خمیدگی مناسب هستند.

$$ \large \kappa = \frac{{\left\| {\overrightarrow T ^ {\prime} \left( t \right)} \right\|}}{{\left\| {\overrightarrow r ^ {\prime} \left( t \right)} \right\|}}\hspace{1.0in}\kappa = \frac{{\left\| {\overrightarrow r ^{ \prime } \left( t \right) \times \overrightarrow r ^{\prime\prime} \left( t \right)} \right\|}}{{{{\left\| {\overrightarrow r ^ {\prime} \left( t \right)} \right\|}^3}}} $$

در ادامه مثال‌هایی ارائه شده که با استفاده از آن‌ها می‌توانید به موضوع مسلط شوید.

مثال ۱

خمیدگی منحنی زیر را بیابید.

$$ \Large \overrightarrow r \left ( t \right ) = \left \langle { t , 3 \sin t , 3 \cos t } \right \rangle $$

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

در ابتدا مشتق تابع برداری را نسبت به پارامتر t می‌یابیم. با انجام این کار خواهیم داشت.

$$ \Large \begin {align*} \overrightarrow r ^ {\prime} \left ( t \right ) & = \left \langle { 1 , 3 \cos t, - 3 \sin t } \right \rangle \\ \overrightarrow T \left ( t \right ) & = \left \langle { \frac { 1 } { { \sqrt { 1 0 } } } ,\frac { 3 } { { \sqrt { 1 0} } } \cos t, - \frac { 3 } { { \sqrt { 1 0 } } } \sin t } \right \rangle \end {align*} $$

در مرحله بعد مشتق بردار مماس به صورت زیر بدست می‌آید.

$$ \Large \overrightarrow T ^ {\prime} \left ( t \right ) = \left \langle { 0 , - \frac { 3 } { { \sqrt { 1 0 } } } \sin t, - \frac { 3 } { { \sqrt { 1 0 } } } \cos t } \right \rangle $$

از طرفی اندازه بردار‌های $$ \large r ^ { \prime } ( t ) $$ و $$ \large T ^ { \prime } ( t ) $$ برابرند با:

$$ \Large \begin {align*} \left\| { \overrightarrow r ^ {\prime} \left ( t \right ) } \right\| & = \sqrt { 1 + 9 { { \cos } ^ 2 } t + 9 { { \sin } ^ 2 } t } = \sqrt { 1 0 } \\ \left\| { \overrightarrow T ^ {\prime} \left( t \right)} \right\| & = \sqrt {0 + \frac{9}{{10}} { { \sin } ^ 2 } t + \frac { 9 } { { 10} } { { \cos } ^ 2 } t } = \sqrt {\frac { 9 } { {10 } } } = \frac{3}{{\sqrt {10} }} \end {align*} $$

در نهایت خمیدگی برابر می‌شود با:

$$ \Large \kappa = \frac { { \left\| {\overrightarrow T ^ {\prime} \left ( t \right ) } \right\|} } { { \left\| { \overrightarrow r ^ {\prime} \left ( t \right ) } \right\|} } =\frac {\frac {3}{\sqrt{ 1 0 } } } {\sqrt{ 1 0 } } = \frac { 3 } { { 1 0 } } $$

همان‌طور که می‌بینید، در این حالت خمیدگی بدست آمده مقدار ثابتی است. این جمله به معنای آن است که خم با سرعت ثابتی تغییر جهت می‌دهد.

مثال ۲

میزان خمیدگی تابع برداری $$ \large \overrightarrow r \left ( t \right ) = { t ^ 2 } \, \overrightarrow i + t \, \overrightarrow k $$ را بدست آورید.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ در فرادرس

کلیک کنید

در این حالت استفاده از فرمول دوم مربوط به محاسبه خمیدگی آسان‌تر خواهد بود. برای استفاده از فرمول مذکور در ابتدا مشتقات اول و دوم را به صورت زیر بدست می‌آوریم.

$$ \Large \overrightarrow r ^ { \prime } \left ( t \right ) = 2 t \, \overrightarrow i + \, \overrightarrow k \hspace {0.25in} \hspace {0.25in} \overrightarrow r ^ { \prime \prime } \left ( t \right ) = 2 \, \overrightarrow i $$

در مرحله بعد ضرب خارجی دو بردار را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم.

$$ \Large \begin {align*} \overrightarrow r ^ { \prime } \left ( t \right ) \times \overrightarrow r ^ { \prime \prime } \left ( t \right ) & = \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c }} { \overrightarrow i } & { \overrightarrow j } & { \overrightarrow k } \\ { 2t } & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end {array} } \right|\,\,\,\,\,\begin {array} { * { 2 0 } { c } } { \overrightarrow i } &{ \overrightarrow j } \\ { 2 t } & 0 \\ 2 & 0 \end {array} \\ & = 2 \overrightarrow j \end{align*} $$

اندازه دو بردار بدست آمده در بالا برابرند با:

$$ \Large \left\| {\overrightarrow r^ {\prime}\left( t \right) \times \overrightarrow r ^ { \prime\prime } \left( t \right)} \right\| = 2 \ \ , \hspace {0.25in} \hspace {0.25in} \left\| { \overrightarrow r ^ {\prime} \left ( t \right ) } \right\| = \sqrt { 4 { t ^ 2 } + 1 } $$

نهایتا میزان خمیدگی بدست آمده به ازای مقادیر مختلف t برابر است با:

$$ \Large \kappa = \frac { 2} { { { { \left( { 4 { t ^ 2 } + 1 } \right ) } ^ { \frac { 3} { 2 } } }}} $$

در برخی از موارد تابع (f(x داده شده و هدف محاسبه خمیدگی آن است. در چنین مواردی تابع برداری را به صورت زیر بیان می‌کنیم.

$$ \Large \overrightarrow r \left ( x \right ) = x \, \overrightarrow i + f \left ( x \right ) \overrightarrow j $$

در این موارد خمیدگی مطابق با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$ \Large \kappa = \frac { { \left| { f ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) } \right|} } { { { { \left ( { 1 + { { \left[ { f ^ {\prime} \left ( x \right ) } \right]} ^ 2 } } \right)}^{\frac{3}{2}}}}} $$

مثال ۳

میزان خمیدگی تابع برداری زیر را بیابید.

$$ \Large \overrightarrow r\left( t \right) = \left\langle {\cos \left( {2t} \right), - \sin \left( {2t} \right),4t} \right\rangle $$

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل به همراه حل سوالات آزمون کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

همان‌طور که در بالا بیان شد، به منظور محاسبه خمیدگی یک تابع می‌توان از دو فرمول استفاده کرد. در این مسئله استفاده از روش مبتنی بر ضرب خارجی زمان بر خواهد بود. بنابراین از روش بردار مماس استفاده می‌کنیم. در ابتدا بردار مماس را به صورت زیر بدست می‌آوریم.

$$ \large \begin{array}{c}\overrightarrow r^ {\prime}\left( t \right) = \left\langle { - 2\sin \left( {2t} \right), - 2\cos \left( {2t} \right),4} \right\rangle \hspace{0.5in}\left\| {\overrightarrow r^ {\prime}\left( t \right)} \right\| = \sqrt {4{{\sin }^2}\left( {2t} \right) + 4{{\cos }^2}\left( {2t} \right) + 16} = \sqrt {20} = 2 \sqrt 5 \\ \overrightarrow T\left( t \right ) = \frac { 1 } { { 2 \sqrt 5 }}\left\langle { - 2\sin \left( {2 t } \right), - 2\cos \left( { 2 t } \right),4} \right\rangle = \left\langle { - \frac{{\sin \left( { 2 t } \right ) } } { { \sqrt 5 } }, - \frac{{\cos \left ( { 2 t } \right)}}{{\sqrt 5 }},\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right\rangle \end{array} $$

نهایتا میزان خمیدگی این بردار برابر خواهد بود با:

$$ \Large \kappa = \frac { { \left\| { \overrightarrow T ^ { \prime } \left ( t \right ) } \right\|} } { { \left\| { \overrightarrow r ^ {\prime} \left ( t \right ) } \right\|} } = \frac {\frac{2}{\sqrt{5}}}{2\sqrt{5}} = { { \frac{ 1 } { 5 } } } $$

همان‌طور که می‌بینید در این حالت نیز خمیدگی به پارامتر وابسته نخواهد بود.