فرادرسحل معادله لگاریتمی — به زبان ساده
پیش‌تر روش‌های حل معادلات خطی و هم‌چنین معادله درجه ۲ را توضیح دادیم. در ادامه نیز حالات مختلف پاسخ‌های یک معادله درجه ۳ را بیان کردیم. هر سه معادله مذکور، چند‌جمله‌ای محسوب می‌شوند. بدیهی است که همواره با چنین معادلاتی روبه‌رو نیستیم. از این رو در این مطلب قصد داریم تا در قالب چندین مثال، روش حل معادله لگاریتمی را توضیح دهیم.
پایه‌ها برابر
قبل از آن‌که روش‌های حل را توضیح دهیم، بایستی یادآوری کنیم که تنها اعداد مثبت می‌توانند در لگاریتم قرار گیرند. این نکته در ادامه حل بسیار مهم است. حال مطابق با عبارت زیر معادله‌ای را در نظر بگیرید که در آن، پایه‌ی عبارات (یا همان b) برابر باشند.
$$\large { \mbox { } } { \log _ b } x = { \log _ b } y \rightarrow x = y $$
به عبارت دیگر اگر در یک معادله ضرایب لگاریتم و پایه‌ی آن‌ها با هم برابر باشند، می‌توان لگاریتم را حذف کرده و اعداد درون لگاریتم را با هم برابر قرار داد. در ادامه دو مثال ارائه شده که مطالعه آن‌ها ضروری هستند.
مثال ۱
پاسخ هریک از معادلات لگاریتمی زیر را بیابید.
- $$ 2 { \log _ 9 } \left ( { \sqrt x } \right ) - { \log _ 9 } \left ( { 6 x - 1 } \right ) = 0 $$
- $$ \log x + \log \left ( { x - 1 } \right ) = \log \left( { 3 x + 1 2 } \right ) $$
- $$ \ln 1 0 - \ln \left ( { 7 - x } \right ) = \ln x $$
(a)
معادله مد نظر برای حل برابر با $$ 2 { \log _ 9 } \left ( { \sqrt x } \right ) - { \log _ 9 } \left ( { 6 x - 1 } \right ) = 0 $$ است. همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، به منظور حل معادلات لگاریتمی، یکی از راه‌های پرکاربرد، نوشتن لگاریتم با پایه برابر است. در این صورت با برابر قرار دادن عبارات درون لگاریتم، معادله جدید بدست آمده، به راحتی حل می‌شود. برای نمونه با استفاده از قوانین لگاریتم، معادله مد نظر را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد.
$$\large \begin {align*} { \log _ 9 } { \left( { \sqrt x } \right ) ^ 2 } & = { \log _ 9} \left( { 6 x - 1} \right )\\ { \log _ 9 } x & = { \log _ 9 } \left ( { 6 x - 1 } \right ) \end {align*} $$
در معادله فوق، لگاریتم سمت چپ و راست دارای پایه‌ی ۹ هستند؛ بنابراین با برابر قرار دادن عبارت درونشان، داریم:
$$\large \begin {align*} x & = 6 x - 1\\ 1 & = 5 x \hspace{ 0.25in } \Rightarrow \hspace { 0.25in } x = \frac { 1 } { 5 } \end {align*} $$
توجه داشته باشید که پس از بدست آوردن ریشه‌های معادله، بایستی آن‌ها را در معادله قرار داده و از مثبت بودن عبارت درون لگاریتم اطمینان حاصل کرد. با قرار دادن پاسخ‌های بدست آمده در رابطه داریم:
$$\large 2 { \log _ 9 } \left ( { \sqrt { \frac { 1 } { 5 } } } \right ) - { \log _ 9 } \left ( { 6 \left ( { \frac { 1 } { 5 } } \right ) - 1 } \right ) = 2 { \log _ 9 } \left( { \sqrt { \frac { 1 } { 5 } } } \right ) - { \log _ 9 } \left ( { \frac { 1 } { 5 } } \right ) = 0 $$
همان‌طور که در بالا نیز می‌بینید، عبارات درون لگاریتم به ازای $$ x = \frac { 1 } { 5 } $$ مثبت می‌شوند. بنابراین $$ x = \frac { 1 } { 5 } $$ پاسخ درستی برای این معادله است.
(b)
در این قسمت هدف ما حل معادله $$ \log x + \log \left ( { x - 1 } \right ) = \log \left ( { 3 x + 1 2 } \right ) $$ است. همان‌طور که می‌بینید پایه‌های هر سه لگاریتم بیان نشده است. در نماد‌گذاریِ لگاریتم، هنگامی که پایه بیان نشود، به معنای ۱۰ بودن آن است. بنابراین پایه هرسه عبارت برابر بوده و مطلوب نظر ما است.
مشکلی که در این معادله با آن مواجه هستیم تعداد عبارات است. در حقیقت ما با سه عبارت لگاریتمی مواجه هستیم. بنابراین بهتر است در ابتدا با استفاده از قوانین لگاریتم تعداد آن‌ها را کاهش دهیم. بدین منظور، می‌توان از قانون تبدیل جمع به ضرب در لگاریتم‌ها استفاده کرد (اگر با این قانون آشنا نیستید پیشنهاد می‌کنیم به این مطلب مراجعه فرمایید). با استفاده از این قانون داریم:
$$\large \log \left ( { x \left ( { x - 1 } \right ) } \right) = \log \left ( { 3 x + 1 2 } \right ) $$
با برابر قرار دادن عبارت‌های درون لگاریتم، داریم:
$$\large \begin {align*} x \left ( { x – 1 } \right ) & = 3 x + 1 2\ { x ^ 2 } – x – 3 x – 1 2 = 0\\ \enspace \enspace { x ^ 2 } – 4 x – 1 2 & = 0\\ \left ( { x – 6 } \right ) \left( { x + 2 } \right ) & = 0 \hspace { 0.25in } \Rightarrow \hspace { 0.25in } x = – 2 , \, \,x = 6 \end {align*}$$
حال بایستی پاسخ‌های بدست آمده در عبارات لگاریتمی قرار داده شده و از مثبت بودنشان اطمینان حاصل شود. با جایگذاری x=۶ در معادله اصلی داریم:
$$ \large \begin{align*} \log 6 + \log \left ( { 6 - 1 } \right ) & = \log \left ( { 3 \left ( 6 \right ) + 1 2 } \right ) \\ \log 6 + \log 5 & = \log 3 0 \end {align*} $$
هیچ یک از سه لگاریتم موجود در معادله بالا منفی نشدند؛ بنابراین x=6 می‌تواند پاسخی برای معادله فوق در نظر گرفته شود. حال x=-2 را در معادله قرار می‌دهیم. با انجام این کار خواهیم داشت:
$$ \large \log \left ( { - 2 } \right ) + \log \left ( { - 2 - 1 } \right ) = \log \left ( { 3 \left ( { - 2 } \right ) + 1 2 } \right ) $$
همان‌طور که می‌بینید در عبارات لگاریتمی بالا، عدد منفی دیده می‌شود. لذا x=-2 را نمی‌توان به عنوان پاسخی برای معادله فوق در نظر گرفت.
(c)
در معادله $$ \ln 1 0 - \ln \left ( { 7 - x } \right ) = \ln x $$، مبنای هر سه عبارتِ لگاریتمی برابر با عدد نپر یا همان e است.
برای حل این معادله نیز از قوانین لگاریتم به نحوی استفاده می‌کنیم که نهایتا تنها دو عبارت لگاریتمی باقی بماند. بدین منظور معادله مذکور را می‌توان به صورت زیر مرتب کرده و آن را حل کرد:
$$\large \begin {align*} \ln \left ( { \frac { { 1 0 } } { { 7 - x } } } \right ) & = \ln x\\ \frac { { 1 0 } } { { 7 - x } } & = x \\ 1 0 & = x \left ( { 7 - x } \right )\\ 1 0 & = 7 x - { x ^ 2 } \\ { x ^ 2 } - 7 x + 1 0 & = 0 \\ \left ( { x - 5 } \right ) \left ( { x - 2 } \right ) & = 0 \hspace {0.25in} \Rightarrow \hspace {0.25in} x = 2,\,\,x = 5 \end {align*} $$
بنابراین رابطه فوق معادله‌ای درجه ۲ بوده و پاسخ‌های آن برابر با x=2 و x=۵ هستند. در مرحله بعد بایستی مثبت بودن پاسخ‌ها را مورد بررسی قرار دهیم. در نتیجه با جایگذاری x=2 در معادله داریم:
$$ \large \begin {align*} \ln 1 0 - \ln \left ( { 7 - 2 } \right ) & = \ln 2\\ \ln 1 0 - \ln 5 & = \ln 2 \end {align*} $$
بنابراین x=2 پاسخی برای معادله‌ی مفروض است. با جایگذاری x=5 نیز خواهیم داشت:
$$\large \begin {align*} \ln 1 0 - \ln \left ( { 7 - 5 } \right ) & = \ln 5\\ \ln 1 0 - \ln 2 & = \ln 5\end{align*} $$
x=5 منجر به مثبت شدن عبارت درون لگاریتم می‌شود؛ بنابراین معادله مفروض دارای دو پاسخ خواهد بود.
عدد ثابت و لگاریتم
حال می‌خواهیم دسته‌ای دیگر از معادلات لگاریتمی را توضیح دهیم. در این دسته هم عبارت لگاریتمی و هم عدد ثابت وجود دارد. به منظور حل چنین معادلاتی در ابتدا لازم است که شکل نمایی یک عبارت لگاریتمی را یادآوری کنیم. این شکل به صورت زیر است.
$$\large y = { \log _ b } x \hspace { 0.25in } \Rightarrow \hspace { 0.25in } { b ^ y } = x $$
در ادامه مثال‌هایی ذکر شده که به منظور تسلط به موضوع، مطالعه آن‌ها پیشنهاد می‌شود:
مثال ۲
پاسخ هریک از معادلات زیر را بیابید.
- $$ { \log _ 5 } \left ( { 2 x + 4 } \right ) = 2 $$
- $$ \log x = 1 - \log \left ( { x - 3 } \right ) $$
- $$ { \log _ 2 } \left ( { { x ^ 2 } - 6 x } \right ) = 3 + { \log _ 2 } \left ( {1 - x } \right ) $$
(a)
به منظور حل معادله $$ { \log _ 5 } \left ( { 2 x + 4 } \right ) = 2 $$ بایستی آن را از حالت لگاریتمی خارج کرد. پس از نمایی کردن لگاریتم، این معادله به شکل زیر در می‌آید:
$$\large 2 x + 4 = { 5 ^ 2 } = 2 5 $$
شکل نمایی رابطه فوق را می‌توان به صورت زیر نوشت:
$$\large 2 x + 4 = { 5 ^ 2 } = 2 5 $$
پاسخ معادله فوق برابر است با:
$$\large 2 x = 2 1 \hspace { 0.25in } \Rightarrow \hspace { 0.25in } x = \frac { { 2 1 } } { 2 }$$
حال همانند مثال ۱، بایستی پاسخ بدست آمده را در معادله اصلی قرار داده و از مثبت بودن لگاریتم اطمینان حاصل کرد.
$$ \large \begin {align*} { \log _ 5 } \left ( { 2 \left ( { \frac { { 2 1 } } { 2 } } \right ) + 4 } \right ) & = 2\\ { \log _ 5 } \left ( { 2 5 } \right ) & = 2 \end {align*} $$
(b)
بدیهی است که معادله $$ \large \log x = 1 - \log \left ( { x - 3 } \right ) $$ از دو عبارت لگاریتمی و یک عدد تشکیل شده است.
به منظور نوشتن شکل نمایی آن، بایستی در ابتدا معادله را به نحوی بازنویسی کرد که تنها یک لگاریتم در آن وجود داشته باشد. بنابراین معادله فوق را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:
$$ \large \begin {align*} \log x + \log \left ( { x - 3 } \right ) & = 1\\ \log \left ( { x \left( { x - 3 } \right ) } \right ) & = 1 \end {align*}$$
حال می‌توان شکل نمایی معادله و پاسخ آن را به صورت زیر بدست آورد.
$$ \large \begin {align*} x \left ( { x - 3 } \right ) & = { 1 0 ^ 1 }\\ { x ^ 2 } - 3 x - 1 0 & = 0\\ \left ( { x - 5 } \right ) \left( { x + 2 } \right ) & = 0 \hspace {0.25in} \Rightarrow \hspace {0.25in} x = - 2 , \, \,x = 5 \end {align*}$$
پاسخ x=-2 عبارت درون لگاریتم را منفی می‌کند.
$$ \large \log \left ( { - 2 } \right ) = 1 - \log \left ( { - 2 - 3 } \right ) $$
بنابراین x=-2 نمی‌تواند پاسخ معادله باشد. از طرفی با جایگذاری x=5 در معادله داریم:
$$ \large \begin {align*} \log 5 & = 1 - \log \left ( { 5 - 3 } \right )\\ \log 5 & = 1 - \log 2 \end {align*} $$
عبارت درون لگاریتم مثبت شده بنابراین x=5 پاسخ معادله است. در نتیجه نهایتا می‌توان گفت که رابطه فوق تنها دارای یک پاسخ است.
(c)
برای حل معادله $$ \large { \log _ 2 } \left ( { { x ^ 2 } - 6 x } \right ) = 3 + { \log _ 2 } \left ( {1 - x } \right ) $$ نیز می‌توان مشابه با روش‌های قبل عمل کرد. در ابتدا معادله به صورت زیر بازنویسی می‌شود.
$$ \large \begin {align*} { \log _ 2 } \left ( { { x ^ 2 } - 6 x } \right ) - { \log _ 2 } \left ( { 1 - x } \right ) = 3 \rightarrow \ & { \log _ 2 } \left ( { \frac { { { x ^ 2 } - 6 x } } { { 1 - x } } } \right ) = 3 \end {align*} $$
حال می‌توان معادله فوق را به صورت نمایی نوشت:
$$\large \frac { { { x ^ 2 } - 6 x } } { { 1 - x } } = { 2 ^ 3 } = 8 $$
بنابراین پاسخ معادله نیز به صورت زیر بدست می‌آید.
$$ \large \begin {align*} { x ^ 2 } - 6 x & = 8 \left ( { 1 - x } \right )\\ { x ^ 2 } - 6 x & = 8 - 8 x \\ { x ^ 2 } + 2 x - 8 & = 0\\ \left ( { x + 4 } \right ) \left ( { x - 2 } \right ) & = 0 \hspace {0.25in} \Rightarrow \hspace {0.25in} x = - 4 , \, \,x = 2 \end {align*} $$
با جایگذاری x=-4 در شکل اصلی معادله داریم:
$$ \large \begin {align*} { \log _ 2 } \left ( { { { \left ( { - 4 } \right ) } ^ 2 } - 6 \left ( { - 4 } \right ) } \right ) & = 3 + { \log _ 2 } \left ( { 1 - \left ( { - 4 } \right ) } \right )\\ { \log _ 2 } \left ( {1 6 + 2 4 } \right ) & = 3 + { \log _ 2 } \left ( 5 \right ) \end {align*} $$
همان‌طور که می‌بینید اعداد درون لگاریتم مثبت هستند، لذا x=-4 یکی از پاسخ‌های معادله است. از طرفی با جایگذاری x=2 در معادله داریم:
$$ \large \begin {align*} { \log _ 2 } \left ( { { 2 ^ 2 } - 6 \left ( 2 \right ) } \right ) & = 3 + { \log _ 2 } \left ( { 1 - 2 } \right ) \\ { \log _ 2 } \left ( { 4 - 1 2 } \right ) & = 3 + { \log _ 2 } \left ( { - 1 } \right ) \end{align*} $$
همان‌طور که در بالا نیز محاسبه شده، به ازای x=2، اعداد بدست آمده درون لگاریتم منفی هستند؛ بنابراین این مقدار نمی‌تواند به عنوان پاسخی برای این معادله در نظر گرفته شود. در نتیجه تنها پاسخ معادله مذکور، x=-4 است.
