فرادرسجمع و تفریق اعداد توان دار — آموزش با مثال و به زبان ساده
جمع و تفریق از عملگرهای پایه در ریاضی و حساب محسوب می‌شوند. برای اعداد حقیقی جمع و تفریق تعریف شده و به کار برده می‌شود. ولی زمانی که برای ساده کردن عبارت یا اعداد توان دار بخواهیم از جمع و تفریق استفاده کنیم، باید اطلاع داشته باشیم که برعکس ضرب و تقسیم، فقط اعداد توان دار یکسان و مشابه را می‌توان با هم جمع یا از هم تفریق کرد. در این متن به بررسی نحوه اجرای عملیات جمع و تفریق اعداد توان دار پرداخته و با ذکر چند مثال، نحوه کار را شرح خواهیم داد.
در دو مطلب دیگر از مجله فرادرس با عنوان اعداد توان دار — به زبان ساده و توضیح توان در ریاضیات — به زبان ساده چنین اعداد و عملیات قابل اجرا روی آن ها را به اختصار معرفی کردیم. البته توجه داشته باشید که مطالب نماد علمی چیست؟ — به زبان ساده و جذر چیست ؟ — محاسبه رادیکال به زبان ساده از مجله فرادرس نیز مرتبط با اعداد تواندار هستند که به صورت خاصی نمایش داده می‌شوند.
جمع و تفریق اعداد توان دار
به یاد دارید که اعداد توان دار را به صورت یک عدد ترکیبی نمایش می‌دهیم که در آن، یک عدد در پایه و یک عدد در نما مشخص می‌شود. برای مثال $$2^3$$ یک عدد توان دار است که در آن عدد ۲ پایه و عدد ۳ توان یا نما نامیده می‌شود. در این متن می‌خواهیم با اصول و نحوه اجرای عملگرهای جمع و تفریق روی چنین اعدادی بحث کنیم. البته در نوشتارهای دیگر، قواعد مربوط به ضرب و تقسیم اعداد تواندار را مورد اشاره قرار داده‌ایم که در اینجا هم برای ساده کردن بعضی از عبارت‌ها، از این قواعد نیز کمک خواهیم گرفت.
قاعده جمع و تفریق دو عدد توان دار
فرض کنید بخواهیم دو عدد توان دار را به شکل زیر با یکدیگر جمع کنیم.
$$ \large {\displaystyle x a^b , \;\; y a^b }$$
در عدد اول، $$x$$ ضریب، $$a$$ پایه و $$b$$ توان یا نما است. به همین ترتیب، در عدد دوم نیز $$y$$، مضرب و $$a$$ و $$b$$ به ترتیب پایه و توان هستند. واضح است که در اینجا $$a$$ در هر دو عدد برابر هستند. همین وضعیت را برای $$b$$ نیز در نظر می‌گیریم. در چنین حالتی، هر دو عدد را مشابه می‌گویند.
از آنجایی که توان و نمای چنین اعدادی، یکسان هستند و تفاوت فقط در ضرایب آن‌ها است، امکان اجرای عمل جمع و تفریق وجود دارد. بنابراین می‌توان گفت که فقط اعداد توان دار مشابه را می‌توان با هم جمع یا از هم تفریق کرد.
نکته: اگر ضرایب را کنار بگذاریم، هر دو عدد تواندار باید برابر بوده تا قابلیت جمع و تفریق را داشته باشند.
قاعده جمع و تفریق برای چنین اعدادی به صورت زیر نوشته خواهد شد.
$$ \large {\displaystyle x a^b \; + \; y a^b = (x + y ) a^b }$$
$$ \large {\displaystyle x a^b \; - \; y a^b = (x - y ) a^b }$$
و یا به طور کلی رابطه زیر را برای جمع و تفریق اعداد توان دار نوشت.
$$ \large {\displaystyle x a^b \; \pm \; y a^b = (x \pm y ) a^b }$$
به مثال‌های زیر دقت کنید تا هم با اعداد توان دار مشابه آشنا شده و هم جمع و تفریق آن‌ها را بیاموزید.
$$ \large {\displaystyle 2 \times 3^4 \; + \; 5 \times 3^4 = ( 2 + 5 ) \times 3^4 = 7 \times 3^4 }$$
$$ \large {\displaystyle 2 \times 3^4 \; - \; 5 \times 3^4 = ( 2 - 5 ) \times 3^4 = -3 \times 3^4 }$$
$$ \large {\displaystyle 12 \times 5^{( -2)} \; + \; 8 \times 5^{( -2)} = ( 12 + 8 ) \times 5^{( -2)} = 20 \times 5^{( -2)} }$$
$$ \large {\displaystyle 12 \times 5^{( -2)} \; - \; 8 \times 5^{( -2)} = ( 12 - 8 ) \times 5^{( -2)} = 4 \times 5^{( -2)} }$$
$$ \large {\displaystyle -2 \times 15^{( -4)} \; + \; (-6) \times 15^{( -4)} = [ -2 + ( -6) ] \times 15^{( -4)} = -8 \times 15^{( -4)} }$$
$$ \large {\displaystyle -2 \times 15^{( -4)} \; - \; (-6) \times 15^{( -4)} = [ -2 - ( -6) ] \times 15^{( -4)} = 4 \times 15^{( -4)} }$$
$$ \large {\displaystyle 3^4 + 3^4 + 3^4 + 3^4 + 3^4 = (5 ) \times 3^4 = 5 \times 81 = 405 }$$
مشخص است که در تساوی آخر، همه مضرب‌ها، برابر با ۱ بوده و چون ۵ بار، عمل جمع صورت گرفته، عدد توان دار در ۵ ضرب شده است.
نکته: اگر دو عدد تواندار، مشابه نباشند، یعنی با پایه و نمای نابرابر نوشته شوند، ابتدا باید آن‌ها را به صورت عددی که توان آن محاسبه شده، تعیین کرد، سپس جمع و تفریق را انجام داد.
مثال‌هایی که در ادامه مشاهده می‌کنید، براساس اعداد توانداری نوشته شده که پایه و نمای یکسانی ندارند و مجبور هستیم که ابتدا عمل توان‌رساندن را اجرا کرده، سپس جمع یا تفریق را انجام دهیم.
$$ \large 2 \times 3^2 \; + \; 5 \times 3^4 = 2 \times 9 + 5 \times 81 =$$
$$\large 18 + 405 = 423 $$
$$ \large 2 \times 3^2 \; - \; 5 \times 3^4 = 2 \times 9 - 5 \times 81 = $$
$$\large 18 - 405 = 387 $$
$$ \large 12 \times 5^{( -2)} \; + \; 8 \times 5^{( -3)} = 12 \times \dfrac{ 1}{ 25} + 8 \times \dfrac{ 1}{ 125} =$$
$$\large \dfrac{ 60}{ 125} + \dfrac{ 8}{ 125} = \dfrac{ 68}{ 125} $$
$$ \large 12 \times 3^{( -2)} \; - \; 8 \times 2^{( -2)} = 12 \times \dfrac{ 1}{ 9} - 8 \times \dfrac{ 1}{ 4} = $$
$$\large \dfrac{ 4}{ 3} - 2 = \dfrac{ 4 - 6 }{ 3} = \dfrac{ -2}{ 3} $$
$$ \large -2 \times 3^{ 4} \; + \; ( -5) \times 5^{( -4)} = -2 \times 81 + ( -5) \times \dfrac{ 1}{ 625} = $$
$$\large -162 - \dfrac{ 5}{ 625} = -162 - \dfrac{ 1}{ 125} = \dfrac{ -20250- 1 }{ 125} = \dfrac{ -20251 }{ 125}$$
بنابراین مشخص شد که فقط در زمانی جمع و تفریق اعداد توان دار امکان پذیر است که جملات تواندار کاملا مشابه بوده و فقط ضرایب این جمله‌ها متفاوت باشند. به این ترتیب جمع جبری ضرایب را نوشته و در یکی از عبارت‌های مشابه (عدد با توان و پایه برابر) ضرب می‌کنیم.
استفاده از فاکتورگیری در جمع و تفریق اعداد توان دار
در ادامه به موضوع فاکتورگیری می‌پردازیم که برای محاسبه و بدست آوردن حاصل جمع و تفریق اعداد توان دار مفید است. سعی داریم دسته‌ای از محاسبات جمع و تفریق برای اعداد توان دار را اجرا کنیم. واضح است که فاکتورگیری باعث سادگی محاسبات خواهد شد. البته مشخص است که عبارتی که از آن فاکتور گرفته‌ایم، همان عبارت‌های تواندار مشابه است.
$$ \large 12 \times 5^{( -2)} \; - \; 8 \times 5^{( -2)} \; + 20 \times 5^{( -2)} - 16 \times 5^{( -2)} = $$
$$ \large ( 12 - 8 + 20 - 16) \times 5^{( -2)} = 8 \times 5^{ (-2)} $$
$$ \large -2 \times 15^{(-4)} \; - \; ( -6) \times 15^{( -4)} + \; (2) \times 15^{( -4)} - \; (-8) \times 15^{( -4)} = $$
$$\large [ -2 - (-6) + 2 - (- 8) ] \times 15^{( -4)} = 14 \times 15^{( -4)} $$
آزمون جمع و تفریق اعداد توان دار
در این قسمت به منظور درک بهتر جمع و تفریق اعداد توان دار، تعدادی پرسش چهار گزینه‌ای به صورت آزمون تهیه شده است.
حاصل عبارت $$4 ^ 5 + 4 ^ 5 + 4 ^ 5 + 4 ^ 5 $$ به صورت عددی تواندار برابر است با:
$$4 ^ 6 $$
$$4 ^ 5 $$
$$4 ^ 7 $$
$$4 ^ 9 $$
در عبارت $$4 ^ 5 + 4 ^ 5 + 4 ^ 5 + 4 ^ 5 $$ عدد $$4 ^ 5$$، چهار بار با خود جمع شده است، بنابراین برای محاسبه آن می‌توانیم از $$4 ^ 5$$ فاکتور بگیریم:
$$4 ^ 5 + 4 ^ 5 + 4 ^ 5 + 4 ^ 5 \\ = 4 ^ 4 ( 1 + 1 + 1 + 1 ) = 4 ^ 5 \times 4 = 4 ^ 6 $$
اگر مقدار $$a = 2 $$ و $$b = -1 $$ و $$c = 3 $$ باشند، حاصل عبارت $$a ^ 2 + b ^ 3 - c $$ برابر است با:
۱-
صفر
۱+
۲
برای محاسبه عبارت $$a ^ 2 + b ^ 3 - c $$ باید مقدارهای داده شده برای a و b و c را در آن جایگزین کنیم و حاصل عبارت را به‌دست آوریم:
$$a ^ 2 + b ^ 3 - c \\= ( 2 ) ^ 2 + ( -1 ) ^ 3 - ( 3 ) \\ = 4 - 1 - 3 = 0$$
توجه به این نکته مهم است که حاصل اعداد منفی به توان اعداد فرد، عددی منفی و به توان اعداد زوج، عددی مثبت است.
حاصل عبارت $$2 ^ 3 + 2 ^ 3 + 2 ^ 3 + 2 ^ 3 $$ برابر است با:
$$2 ^ 4 $$
$$2 ^ 6 $$
$$2 ^ 3 $$
$$2 ^ 5 $$
در عبارت $$2 ^ 3 + 2 ^ 3 + 2 ^ 3 + 2 ^ 3 $$ می‌توانیم از $$2 ^ 3 $$ بگیریم:
$$2 ^ 3 + 2 ^ 3 + 2 ^ 3 + 2 ^ 3 \\ 2 = 2 ^ 3 ( 1 + 1 + 1 + 1 ) = 2 ^ 3 \times 4 $$
۴ را می‌توانیم به عامل‌های اول آن به صورت زیر تجزیه کنیم:
$$4 = 2 ^ 2 $$
در نتیجه عبارت $$2 ^ 3 + 2 ^ 3 + 2 ^ 3 + 2 ^ 3 $$ را می‌توانیم به صورت زیر ساده کنیم:
$$2 ^ 3 + 2 ^ 3 + 2 ^ 3 + 2 ^ 3 \\ 4 \times 2 ^ 3 = 2 ^ 2 \times 2 ^ 3 = 2 ^ 5 $$
توجه به این نکته مهم است که در ضرب اعداد تواندار با یکدیگر، اگر پایه یکسان باشد، آن را می‌نویسیم و توان‌ها را با یکدیگر جمع می‌کنیم. به عنوان مثال، در عبارت $$2 ^ 2 \times 2 ^ 3 $$ پایه یکسان و برابر ۲ است. پس از نوشتن پایه، توان‌ها را با یکدیگر جمع می‌کنیم.
حاصل عبارت $$( 2 ^ 3 + 2 ^ 3) \times ( 3 ^ 5 + 3 ^ 5 + 3 ^ 5 ) $$ برابر است با:
$$6 ^ 4 \times 3 ^ 2 $$
$$6 ^ 5 \times 3 ^ 2 $$
$$6 ^ 6 \times 3 ^ 2 $$
$$6 ^ 4 \times 5 ^ 2 $$
برای محاسبه عبارت $$( 2 ^ 3 + 2 ^ 3) \times ( 3 ^ 5 + 3 ^ 5 + 3 ^ 5 ) $$، ابتدا حاصل عبارت داخل هر یک از پرانتزها را به صورت جداگانه به‌دست می‌آوریم. سپس، نتایج به‌دست آمده را در یکدیگر ضرب می‌کنیم. برای محاسبه عبارت $$ 2 ^ 3 + 2 ^ 3 $$ می‌توانیم از $$ 2 ^ 3 $$ فاکتور بگیریم:
$$ 2 ^ 3 + 2 ^ 3 = 2 ^ 3 ( 1 + 1 ) = 2 \times 2 ^ 3 = 2 ^ 4 $$
همچنین، برای محاسبه عبارت $$ 3 ^ 5 + 3 ^ 5 + 3 ^ 5 $$ می‌توانیم از $$ 3 ^ 5 $$ فاکتور بگیریم:
$$ 3 ^ 5 + 3 ^ 5 + 3 ^ 5 = 3 ^ 5 ( 1 + 1 + 1 ) = 3 \times 3 ^ 5 = 3 ^ 6 $$
در نتیجه، عبارت $$( 2 ^ 3 + 2 ^ 3) \times ( 3 ^ 5 + 3 ^ 5 + 3 ^ 5 ) $$ را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:
$$ ( 2 ^ 3 + 2 ^ 3) \times ( 3 ^ 5 + 3 ^ 5 + 3 ^ 5 ) \\ = 2 ^ 4 \times 3 ^ 6 = 2 ^ 4 \times 3 ^ 4 \times 3 ^ 2 = 6 ^ 4 \times 3 ^ 2 $$
حاصل عبارت $$ 2 ^ 3 + 2 ^ 3 + 2 ^ 4 + 2 ^ 5 + 2 ^ 6 $$ برابر است با:
$$2 ^ 6 $$
$$2 ^ 7 $$
$$2 ^ 8 $$
$$2 ^ 9 $$
برای محاسبه حاصل عبارت $$ 2 ^ 3 + 2 ^ 3 + 2 ^ 4 + 2 ^ 5 + 2 ^ 6 $$ به صورت زیر عمل می‌کنیم:
$$ 2 ^ 3 + 2 ^ 3 + 2 ^ 4 + 2 ^ 5 + 2 ^ 6 \\ 2 ^ 3 ( 1 + 1 ) + 2 ^ 4 + 2 ^ 5 + 2 ^ 6 = 2 ^ 3 \times 2 + 2 ^ 4 + 2 ^ 5 + 2 ^ 6 \\ 2 ^ 4 + 2 ^ 4 + 2 ^ 5 + 2 ^ 6 = 2 ^ 4 ( 1 + 1 ) + 2 ^ 5 + 2 ^ 6 = 2 ^ 4 \times 2 + 2 ^ 5 + 2 ^6 \\ 2 ^ 5 + 2 ^ 5 + 2 ^ 6 = 2 ^ 5 ( 1 + 1 ) + 2 ^ 6 = 2 ^ 5 \times 2 + 2 ^ 6 = 2 ^ 6 + 2 ^ 6 \\ = 2 ^ 6 ( 1 + 1 ) = 2 ^ 6 \times 2 = 2 ^ 7 $$
ساده شده عبارت $$5 ^ 3 + 2.5 ^ 9 $$ برابر است با:
$$\frac { 5 ^ 4 \times ( 5 ^ 6 + 2 ^ 9 )} { 2 ^ 9 }$$
$$\frac { 5 ^ 3 \times ( 5 ^ 6 + 2 ^ 9 )} { 2 ^ 9 }$$
$$\frac { 5 ^ 2 \times ( 5 ^ 6 + 2 ^ 9 )} { 2 ^ 5 }$$
$$\frac { 5 \times ( 5 ^ 6 + 2 ^ 8 )} { 2 ^ 9 }$$
برای به‌دست آوردن حاصل عبارت $$5 ^ 3 + 2.5 ^ 9 $$، ابتدا $$2.5 ^ 9 $$ را به صورت زیر ساده می‌کنیم:
$$2.5 ^ 9 = (\frac { 25 } { 10 } ) ^ 9 \\ = ( \frac { 5 ^ 2 } { 2 \times 5 } )^ 9 = \frac { 5 ^ { 18 } } { 5 ^ 9 \times 2 ^ 9 } = \frac { 5 ^ { 18 } \times 5 ^ { - 9 } } { 2 ^ 9 } = \frac { 5 ^ 9 } { 2 ^ 9 } $$
عبارت $$5 ^ 3 + 2.5 ^ 9 $$ را به صورت زیر می‌نویسیم:
$$5 ^ 3 + (2.5 ) ^ 9 = \frac { 5 ^ 9 } { 2 ^ 9 } + 5 ^ 3 \\ = \frac { 5 ^ 9 +( 5 ^ 3 \times 2 ^ 9 ) } { 2 ^ 9 } \\ \frac { 5 ^ 3 \times ( 5 ^ 6 + 2 ^ 9 )} { 2 ^ 9 } $$
خلاصه و جمع‌بندی
در نوشتارهای دیگر از مجله فرادرس به موضوع ضرب و تقسیم اعداد توان دار پرداخته‌ایم. در آنجا توضیح داده شد که چگونه جمله‌ها یا عبارت‌های با توان یا پایه‌های برابر را می‌توان در هم ضرب یا بر هم تقسیم کرد. ولی در این متن مشخص کردیم که جمع و تفریق اعداد توان دار فقط در حالتی که اعداد یکسان و مشابه بوده، یعنی توان‌ها و پایه‌های یکسان و برابر داشته باشند، امکان‌پذیر است و می‌توان به کمک فاکتورگیری هم عمل جمع و تفریق اعداد توان دار را اجرا کرد. در بخشی از مطلب نیز با ذکر مثال‌هایی، نحوه محاسبه جمع و تفریق اعداد توان دار را مورد بررسی قرار داده و نتایج را محاسبه و بدست آوردیم.
۱+۱سوال ۵ رو لطفا توضیح بدید
-۱^۲_-۲^۵ چند میشه مثال
خیلی مچکریم بسیار گویا و ساده توضیح دادین
سلام
خیلی مفید بود
تشکر
سلام
در ابتدای آموزش جایی که تعریف عدد توان دار را انجام داده اید در مثال ۳^۲ عدد ۲ پایه است و عدد ۳ توان یا نما میباشد که اشتباهی جای توان و پایه را در مثال اوردید
سلام.
متن بازبینی و تصحیح شد.
سپاس از همراهی و بازخوردتان.