فرادرستفریق اعداد مخلوط — به زبان ساده + حل تمرین
در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با اعداد مخلوط و جمع اعداد مخلوط آشنا شدیم. در این آموزش، روش‌های محاسبه تفریق اعداد مخلوط را شرح می‌دهیم.
عدد مخلوط چیست؟
عدد مخلوط عددی است که از دو بخش تشکیل می‌شود: یک بخش آن عدد صحیح است و بخش دیگرش یک عدد کسری سره. منظور از کسر سره کسری است که مخرج آن از صورتش بزرگ‌تر باشد. اعداد زیر عدد مخلوط هستند:
$$ \large 2 \frac 23 , \;\; 5 \frac {2}{17}, \;\; 16\frac 29 $$
روش‌های تفریق اعداد مخلوط
با توجه به نوع و چگونگی دو عدد مخلوطی که می‌خواهیم تفریق بین آن‌ها را انجام دهیم، می‌توان از روش‌های مختلفی برای تفریق استفاده کرد. دو حالت وجود دارد که ممکن است با آن‌ها مواجه شویم:
- مخرج کسرهای دو عدد یکسان باشند.
- مخرج کسرهای دو عدد متفاوت باشند.
تفریق اعداد مخلوط با مخرج یکسان
در حالتی که مخرج دو عدد مخلوط یکی باشد، به‌راحتی می‌توانیم تفریق را از دو راه انجام دهیم.
تفریق دو عدد مخلوط با تفریق جداگانه عدد صحیح و کسری
یکی از روش‌ها این است که ابتدا تفریق اعداد صحیح را انجام دهیم، سپس تفریق کسرها را. مثال زیر این روش را به‌خوبی روشن می‌کند.
می‌خواهیم حاصل تفریق $$ 5 \frac 35 - 2 \frac 2 5 $$ را محاسبه کنیم. ابتدا دو عدد صحیح را از هم کم می‌کنیم:
$$\large 5 - 2 = 3 $$
در ادامه، تفریق دو عدد کسری را انجام می‌دهیم:
$$ \large \frac 35 - \frac 2 5 = \frac 1 5 $$
بنابراین، جواب برابر است با
$$ \large 5 \frac 35 - 2 \frac 2 5 = 3 \frac 15 $$
تفریق دو عدد مخلوط با تبدیل به کسر
در این روش، ابتدا دو عدد مخلوط را به کسر تبدیل می‌کنیم، سپس تفریق را انجام می‌دهیم. در نهایت نیز عدد به‌دست‌آمده را به عدد مخلوط تبدیل می‌کنیم.
برای مثال، می‌خواهیم حاصل $$ 5\frac 47 - 2\frac 27 $$ را به‌دست آوریم. ابتدا دو عدد را به کسر تبدیل می‌کنیم، سپس تفریق را انجام می‌دهیم:
$$ \large \begin {align} 5\frac 47 - 2\frac 27 & = (\frac {5\times 7 }{1 \times 7 } + \frac 47)- (\frac {2 \times 7 } { 1 \times 7}+\frac 2 7 ) \\ & =\frac { 35 + 4 } { 7 } - \frac { 14 + 2 } { 7 } = \frac {39}{7 } -\frac {16}{7} \\ & = \frac {39-16}{7}
= \frac {23} 7
\end {align} $$
در نهایت، عدد کسری را در صورت امکان به عدد مخلوط تبدیل می‌کنیم:
$$ \large \frac {23} 7 = \frac {21+2}{7 }= \frac {21}{7}+\frac 27 = 3 + \frac 27 = 3\frac 27 $$
نکته: ممکن است این پرسش برایتان پیش آمده باشد که دلیل معرفی روش دوم چیست، زیرا همان‌طور که مشخص است، نسبت به روش اول بیشتر طول می‌کشد. گاهی پیش می‌آید که کسر عدد مخلوط اول از کسر عدد مخلوط دوم کوچک‌تر است. در چنین مواردی، برای آنکه دچار سردرگمی نشویم، از روش دوم استفاده می‌کنیم.
برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم تفریق $$ 4 \frac 1 3 - 1 \frac 2 3 $$ را انجام دهیم. اعداد صحیح را می‌توان به‌سادگی از هم کم کرد، اما برای تفریق بخش کسری به مشکل برمی‌خوریم، زیرا $$ \frac 13 $$ از $$ \frac 12 $$ کوچک‌تر است. اینجاست که از روش دوم استفاده می‌کنیم و در ابتدا دو عدد مخلوط را به کسر تبدیل می‌کنیم:
$$ \large \begin {align}
4 \frac 1 3 - 1 \frac 2 3 & = (\frac {4 \times 3 }{ 1 \times 3 }+ \frac 13 ) - (\frac {1 \times 3 }{1 \times 3 }+ \frac 23 )\\& = (\frac {12}{3} + \frac 13 ) - ( \frac 33 + \frac 23) \\ & = \frac {13}{3}- \frac {5}{3}
\end {align} $$
اکنون یک تفریق بین دو کسر داریم و به‌سادگی می‌توانیم آن را انجام دهیم:
$$ \large \begin {align}
\frac {13}{3}- \frac {5}{3} = \frac {13-5}{3}= \frac {8 }{ 5 }
\end {align} $$
اکنون می‌توانیم این عدد کسری را به‌شکل یک عدد مخلوط بنویسیم:
$$ \large \begin {align}
\frac {8 }{ 5 } = \frac { 5 + 3 } { 5 } = \frac 55 + \frac 35 = 1 + \frac 35 = 1 \frac 35
\end {align} $$
تفریق اعداد مخلوط با مخرج نامساوی
اگر مخرج بخش کسری دو عدد یکسان نباشد، یک مرحله به مراحل بخش قبل اضافه می‌شود و آن این است که باید مخرج مشترک بگیریم. اینجا هم دو روش داریم.
تفریق دو عدد مخلوط با تفریق جداگانه عدد صحیح و کسری
در این روش، اعداد صحیح را جداگانه، و اعداد کسری را نیز جداگانه از هم کم می‌کنیم.
برای مثال، می‌خواهیم تفریق $$ 5 \frac 23 - 2 \frac 12 $$ را انجام دهیم. برای این کار، ابتدا دو عدد صحیح را از هم کم می‌کنیم:
$$\large 5 - 2 = 3 $$
حاصل تفریق دو بخش کسری با کمک مخرج مشترک گرفتن، به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:
$$ \large \frac 23 - \frac 12 = \frac {2 \times 2 }{3 \times 2}- \frac {1 \times 3 } { 2 \times 3} =\frac 46 - \frac 36 = \frac {4 - 3 } 6 = \frac 16 $$
اکنون حاصل تفریق بخش صحیح و بخش کسری را در کنار یکدیگر قرار می‌دهیم. جواب نهایی به‌صورت زیر است:
$$ \large 3 \frac 1 6 $$
تفریق عدد مخلوط و عدد کسری
تفریق عدد مخلوط و عدد کسری مشابه آنچه است که در بخش‌های قبل بیان کردیم. در این حالت نیز می‌توان از دو روش استفاده کرد.
روش اول: در روش اول، می‌توانیم عدد مخلوط را به کسر تبدیل کنیم. فرض کنید می‌خواهیم تفریق $$ 4 \frac 5 7 - \frac 12 $$ را انجام دهیم. در این صورت، باید تفریق دو کسر را انجام دهیم:
$$ \large 4 \frac 5 7 - \frac 12 = \frac { 4 \times 7 } {1\times 7} - \frac 12 = \frac { 28 } { 7 }- \frac 12 $$
از آنجا که مخرج‌ها در این مثال یکسان نیست، باید مخرج مشترک نیز بگیریم و حاصل را به‌دست آوریم:
$$ \large \frac { 28 } { 7 } - \frac 12 = \frac {28 \times 2}{7 \times 2} - \frac {1\times 7} {2 \times 7 } =\frac {56} {14}- \frac 7 {14} = \frac {49} {14}=\frac 7 2 $$
در نهایت، می‌توانیم عدد کسری را به عدد مخلوط تبدیل کنیم:
$$ \large \frac 7 2 = \frac {6+1} {2}=\frac 62 +\frac 12 = 3+\frac 12=3\frac 12 $$
روش دوم: روش قبلی یک روش کلی است که برای حالت‌های مختلف قابل اعمال است. در حالت خاصی که عدد کسری را از عدد مخلوط کم کنیم، می‌توانیم عدد صحیح مربوط به عدد مخلوط را بنویسیم و کسر را از کسر عدد مخلوط کم کنیم. با یک مثال، این روش را توضیح می‌دهیم. فرض کنید می‌خواهیم تفریق $$ 5 \frac 47 - \frac {1} {5 } $$ را انجام دهیم. برای این کار، عدد صحیح مربوط به عدد مخلوط را می‌نویسیم، سپس تفاضل اعداد کسری را می‌نویسیم:
$$ \large 5 \frac 47 - \frac {1} {5 }= 5 (\frac 47-\frac 15 ) $$
چون مخرج‌ها تفاوت دارند، باید مخرج مشترک بگیریم:
$$\large \frac 47-\frac 15 = \frac {4\times 5}{7\times 5}- \frac {1\times 7}{5\times 7} =\frac {20}{35}-\frac{7}{35}=\frac {13}{35} $$
بنابراین، جواب نهایی به‌صورت زیر است:
$$ \large 5\frac {13}{35} $$
تفریق عدد مخلوط و عدد صحیح
تفریق اعداد مخلوط و صحیح به‌آسانی قابل انجام است. چند مثال زیر، سادگی این کار را نشان می‌دهند:
$$ \large
\begin {align}
1 \frac 45 - 1 & = \frac 45 \\
2 \frac 17 - 1 & = 1 \frac 17 \\
5 \frac 23 - 3 & = 2 \frac 23
\end {align}
$$
تفریق اعداد مخلوط با کمک شکل
برای انجام تفریق اعداد مخلوط با کمک شکل، ابتدا باید شکل متناظر با عدد نخست را رسم کنیم. برای این کار، به یک واحد کامل یک شکل کامل اختصاص می‌دهیم. سپس این شکل واحد را بر اساس مخرج کسر مربوط به آن، به قسمت‌های مساوی تقسیم می‌کنیم. مثلاً اگر عدد $$3 \frac 46 $$ را داشته باشیم، باید شکل را به شش قسمت مساوی تقسیم کنیم. برای نشان دادن عدد، سه واحد کامل برای عدد $$3$$ و $$4$$ تکه از $$6$$ تکه یک شکل را قرار می‌دهیم. برای انجام تفریق، باید عدد دوم را از عدد اول که نمایش داده‌ایم، کم کنیم. برای این کار باید معادل عدد دوم، از عدد اول حذف کنیم. برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم تفریق $$ 3 \frac 46 - 2 \frac 26 $$ را با کمک شکل انجام دهیم. در این صورت باید دو شکل کامل و دو تکه از یک شکل را حذف کنیم. آنچه باقی می‌ماند، حاصل تفریق است.
شکل زیر این موضوع را به‌خوبی نشان می‌دهد. معادل عدد دوم را با علامت ضربدر خط زده‌ایم و آنچه از کل شکل باقی مانده، یک واحد شکل کامل و دو تکه از شش تکه است، یعنی عدد $$1 \frac 26 $$.
تفریق اعداد مخلوط روی محور اعداد
این روش را با یک مثال شرح می‌دهیم. فرض کنید می‌خواهیم تفریق $$ 3 \frac 46 - 2 \frac 2 6 $$ را انجام دهیم. ابتدا عدد مخلوط $$ 3 \frac 46 $$ را روی محور مشخص می‌کنیم. برای این کار، هر واحد را باید به شش بخش تقسیم کنیم، زیرا مخرج کسر عدد $$6$$ است. در ادامه، از نقطه انتهای کمان مربوط به عدد نخست، به‌اندازه عدد دوم برگردیم. برای این کار، ابتدا این عدد را به کسر تبدیل می‌کنیم: $$2 \frac 26 = \frac {14} 6 $$. بنابراین، باید $$14$$ خانه کوچک به عقب برگردیم. نقطه‌ای که به آن می‌رسیم، جواب تفریق است. از نقطه صفر تا آن نقطه می‌شماریم. می‌بینیم که آن نقطه $$ 1 \frac 2 6 $$ است.
مثال‌های تفریق اعداد مخلوط
در این بخش، چند مثال را از تفریق اعداد مخلوط بررسی می‌کنیم.
مثال اول تفریق اعداد مخلوط
حاصل تفریق $$ 3 \frac { 7 } { 8 }- 2 \frac { 2 } { 3 } $$ را محاسبه کنید.
حل: برای به‌دست آوردن جواب، اعداد صحیح را جدا، و اعداد کسری را جدا از هم کم می‌کنیم:
$$ \large \begin {aligned}
& 3 \frac { 7 } { 8 } - 2 \frac { 2 } { 3 } \\
& = ( 3 - 2 ) + \left ( \frac { 7 } { 8 } - \frac { 2 } { 3 } \right ) \\
& = 1 + \left ( \frac { 7 } { 8 } - \frac { 2 } { 3 } \right )
\end {aligned} $$
می‌بینیم که دو عدد کسری، مخرج یکسانی ندارند. بنابراین، باید مخرج مشترک بگیریم و آن دو را از هم کم کنیم. ک.م.م دو عدد $$3$$ و $$8$$، عدد $$24$$ است که مخرج مشترک دو کسر می‌شود. مراحل زیر، نحوه محاسبه جواب نهایی را نشان می‌دهند:
$$ \large \begin {aligned}
& = 1 + \frac { 7 \times 3 } { 8 \times 3 } - \frac{ 2 \times 8} { 3 \times 8 } \\
& = 1 + \frac { 21 } { 2 4 } - \frac { 1 6 } { 2 4 } \\
& = 1 + \frac { 21-16} { 2 4 } \\
& = 1 + \frac { 5 } { 2 4 } \\
& = 1 \frac { 5 } { 2 4 }
\end {aligned} $$
مثال دوم تفریق اعداد مخلوط
تفریق حاصل $$ 3 \frac { 1 } { 4 } - 2 \frac { 1 } { 8 } $$ را محاسبه کنید.
حل: مطابق آنچه پیش‌تر نیز انجام دادیم، اعداد صحیح را جدا و کسرها را جدا با هم جمع می‌کنیم. چون مخرج کسرها (اعداد $$4$$ و $$8$$) یکسان نیستند، باید مخرج مشترک بگیریم. مخرج مشترک عدد $$8$$ است. در نتیجه، خواهیم داشت:
$$ \large
\begin {aligned}
& = ( 3-2 ) + \left ( \frac { 1 } { 4} - \frac { 1 } { 8 } \right ) \\
& = 1 + \left ( \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 8 } \right ) \\
& = 1 + \left ( \frac { 1 \times 2 } { 4 \times 2 } - \frac { 1 } { 8 } \right ) \\
& = 1 + \left ( \frac 28 -\frac 18 \right ) \\
& = 1 + \frac 18 \\
& = 1 \frac 18
\end {aligned} $$
مثال سوم تفریق اعداد مخلوط
تفریق $$ 2 \frac { 2 } { 3 } - 1 \frac { 1 } { 6 } $$ را محاسبه کنید.
حل: این مثال را با روش دیگری حل می‌کنیم. به‌جای آنکه اعداد صحیح را جدا و کسرها را جدا تفریق کنیم، ابتدا اعداد مخلوط را به کسر تبدیل و سپس تفریقشان می‌کنیم. مخرج مشترک دو کسر $$6$$ است. جواب به‌شکل زیر محاسبه می‌شود:
$$\large \begin{aligned}
& 2 \frac { 2 } { 3 } - 1 \frac { 1 } { 6 } \\
& = \frac { ( 3 \times 2 ) + 2 } { 3 } - \frac { ( 6 \times 1 ) + 1 } { 6 } \\
& = \frac { 8 } { 3 } - \frac { 7 } {6 } \\
& = \frac { 8 \times 2 } { 3 \times 2 } - \frac { 7 } { 6 } \\
& =\frac { 16 } {6 } - \frac {7 } { 6 } \\
& = \frac { 16 - 7 } { 6 } \\
& = \frac {9 } { 6 } \\
& = 1 \frac {3 } { 6 }
\end {aligned} $$
مثال چهارم تفریق اعداد مخلوط
حاصل تفریق $$ 4 \frac 45 - 2 $$ چه عددی است؟
حل: عدد صحیح مربوط به عدد مخلوط اول، $$4$$ است و عدد صحیح مربوط به عدد مخلوط دوم، عدد $$2$$. تفاضل این دو برابر است با
$$ \large 4 - 2 = 2 $$
عدد کسری عدد مخلوط اول $$\frac 45 $$ است و عدد کسری عدد مخلوط دوم، $$0$$. تفاضل این دو برابر است با
$$ \large \frac 45 - 0 = \frac 45 $$
اکنون که بخش صحیح و بخش کسری را جداکانه تفریق کرده‌ایم، آن‌ها را در کنار هم می‌آوریم و جواب نهایی را می‌نویسیم:
$$ \large 4 \frac 45 - 2= 2 \frac 45 $$
مثال پنجم تفریق اعداد مخلوط
حاصل تفریق $$ 3 \frac 38 - 1 \frac 5 {12}$$ را محاسبه کنید.
حل: ابتدا دو عدد را به عدد کسری تبدیل می‌کنیم، سپس مخرج مشترک می‌گیریم:
$$ \large
\begin {aligned}
&1 \frac { 5 } { 1 2 } = \frac { 1 \times 12 + 5 } { 1 2 } = \frac {1 7 } { 1 2 } \\
& 3 \frac { 3 } { 8 } = \frac { 3 \times 8 + 3 } { 8 } = \frac { 2 7 } { 8 } \\
&\frac{27}{8}-\frac{17}{12}=\frac{27 \times 3}{8 \times 3}-\frac{17 \times 2}{12 \times 2}
\end{aligned}
$$
و جواب برابر است با
$$ \large
\begin {aligned}
\frac { 8 1 } { 2 4 } - \frac { 3 4 } { 2 4 } & = \frac { 8 1 - 3 4 } { 2 4 } \\
& = \frac { 4 7 } { 2 4 } \\
& = 1 \frac { 2 3 } { 2 4 }
\end {aligned} $$
جمع‌بندی
در این آموزش، با روش تفریق اعداد مخلوط برای حالت‌های مختلف آشنا شدیم. دیدیم که با کمک شکل و محور اعداد می‌توان تفریق این اعداد را محاسبه کرد. همچنین، روش‌های دیگری را همراه با حل مثال برای محاسبه تفریق دو عدد مخلوط بیان کردیم.
