انتگرال خطی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

در راستای ارائه مفاهیم مرتبط با انتگرال در این مطلب قصد داریم تا در مورد انتگرال خطی یک تابع صحبت کنیم. البته توجه داشته باشید که قبل از مطالعه این مطلب بایستی با مفهوم توابع برداری آشنا باشید. توجه داشته باشید که انتگرال خطی به دو دسته انتگرال روی میدان اسکالر و انتگرال روی میدان برداری تقسیم می‌شود. آن‌چه که در این مطلب بیان می‌شود، انتگرال روی یک میدان اسکالر است.

تعریف

قبل از بیان انتگرال، بایستی با مفهوم میدان اسکالر آ‌شنا باشید. میدان اسکالر تابعی است که در هر نقطه، خروجی آن یک عدد باشد. برای نمونه میدان دما در زمین می‌تواند به شکلی باشد که در تصویر زیر نشان داده شده است. بدیهی است که در هریک از این نقاط تنها اندازه دما تعریف شده و این کمیت جهتی ندارد.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

حال در نظر بگیرید در هریک از این نقاط بخواهیم اندازه سرعت را نشان دهیم. در این صورت جهت سرعت در هریک از این نقاط نیز بایستی معلوم باشد. برای نمونه شکل زیر میدان برداری سرعت را در یک منطقه نشان می‌دهد.

فرض کنید خم C با استفاده از تابع برداری $$\overrightarrow { r } = \overrightarrow { r }\left ( s \right ) $$ بیان شود.

اگر خم C در بازه $$ 0 \le s \le S $$ تعریف شده باشد. همان‌طور که در شکل زیر نیز نشان داده شده، متغیر s نشان دهنده طول خم است. اگر تابع اسکالر F روی خم C تعریف شده باشد در این صورت به حاصل $$ \int _ 0 ^ s { F \left ( { \mathbf { r } \left ( s \right ) } \right ) d s } $$ ، انتگرال خطی تابع اسکالر F روی خم C گفته می‌شود. انتگرال خطی $$ \int \limits _ C { F d s } $$ زمانی موجود است که تابع F روی خم مذکور، پیوسته باشد.

نحوه محاسبه انتگرال خطی

در مبحث انتگرال، $$ f \left ( x \right ) $$ به عنوان تابعی تک متغیره در نظر گرفته شد. در انتگرال معین که احتمالا با آن آشنا نیز هستید، بازه‌ای هم‌چون $$ [ a , b ] $$ به منظور انتگرال‌گیری تعریف می‌شود. در این حالت x به عنوان متغیری در نظر گرفته می‌شود که در بازه‌ی [a,b] روی آن انتگرال گرفته می‌شود. در حقیقت خم C در یک انتگرال معین، همان محور x است.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

در انتگرال روی خم، از تابعی دو متغیره هم‌چون $$ f ( x , y ) $$ (که همان میدان اسکالر است) روی خم C انتگرال گرفته می‌شود. در حقیقت در این حالت خم C نقش محور x را در یک انتگرال نامعین ایفا می‌کند. بنابراین حاصل انتگرال روی یک خم برابر با مساحت ناحیه بین سطح تابع $$ f ( x , y ) $$ و خم C است. انیمیشن زیر مفهوم انتگرال تابع دو متغیره‌ی f را روی یک خم نشان می‌دهد.

البته در ادامه فرمول ارائه شده در انیمیشن فوق را توضیح خواهیم داد. در ابتدا فرض کنید خم C با استفاده از بردار $$ \overrightarrow { r } $$ به صورت زیر توصیف می‌شود.

$$\large \overrightarrow r \left ( t \right ) = h \left ( t \right ) \overrightarrow i + g \left ( t \right ) \overrightarrow j \hspace { 0.25 in } \hspace { 0.25 in } a \le t \le b $$

x و y توصیف کننده خم C به صورت زیر هستند:

$$\large x = h \left ( t \right ) \hspace { 0.25 in } y = g \left ( t \right ) \hspace { 0.25in }\,\,\,\, a \le t \le b $$
رابطه ۱

منحنی C زمانی هموار تلقی می‌شود که $$ \overrightarrow r ^{\prime} \left( t \right ) $$ موجود بوده و $$ \overrightarrow r ^{\prime} \left ( t \right ) \ne 0 $$ نیز برقرار باشد. همان‌طور که در بالا نیز عنوان شد،‌ انتگرال خطی روی خم C برابر است با:

$$\large \int \limits _ { C } { { f \left ( { x , y } \right ) \, d s } } $$

در رابطه فوق، C نشان می‌دهد که در محاسبه انتگرال، به جای محور x از مسیر C استفاده می‌شود. از طرفی اندازه دیفرانسیلِ طول خم برابر است با:

$$ d s =  \sqrt { d x ^ 2 + d y ^ 2 }$$

با فاکتور‌گیری از dt، حاصل دیفرانسیل فوق برابر با عبارت زیر بدست می‌آید.

$$\large d s = \sqrt { ( \frac { d x } { d t } ) ^ 2 + (\frac { d y } { d t } ) ^ 2 } d t $$

در نتیجه حاصل انتگرالِ تابع f روی منحنی C برابر با عبارت زیر بدست می‌آید. رابطه بدست آمده در بالا برابر با اندازه مشتق بردار $$ \overrightarrow r ( t ) $$ است. بنابراین می‌توان گفت:

 $$\large \sqrt { { { \left ( { \frac{ { d x } } { { d t } } } \right)} ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } = \left\| {\,\overrightarrow r ^{\prime} \left ( t \right ) } \right\|$$

در نهایت رابطه مربوط به انتگرال برابر می‌شود با:

$$\large \int \limits _ { C } { { f \left ( { x , y } \right ) \,d s }} = \int _ { { \, a } } ^ { { \, b } } { { f \left( {h\left( t \right) , g \left ( t \right ) } \right ) \, \, \left \| { \,\overrightarrow r^{\prime}\left( t \right)} \right\|\, d t } } $$

مثال ۱

حاصل انتگرال $$ \displaystyle \int \limits _ { C } { { x { y ^ 4 } \,d s } } $$ را روی خم C بدست آورید. فرض کنید خم C برابر با نیمه راست دایره $$ { x ^ 2 } + { y ^ 2 } = 1 6 $$ باشد. رابطه پارامتری دایره‌ای به شعاع ۴ به صورت $$ x = 4\cos t , y = 4\sin t $$ است. حال بایستی مقادیری از t را یافت که با استفاده از آن‌ها،‌ منحنی بدست آمده، نیمه سمت راست دایره را نشان دهد. نهایتا مسیر انتگرال‌گیری برابر با بازه زیر بدست می‌آید.

$$ - \frac{\pi } { 2 } \le t \le \frac{ \pi } { 2 } $$

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی در فرادرس

کلیک کنید

در شکل زیر بخش سبز رنگ از نمودار نشان دهنده تابع برداری ارائه شده است.

با معلوم شدن رابطه پارامتری منحنی، در مرحله بعد می‌توان از آن مشتق گرفته و طول ds را به صورت زیر بدست آورد.

$$\large \begin{align*}\frac{{dx}}{{dt}} & = - 4\sin t\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\frac{ { d y } } { { d t } } = 4 \cos t \\ ds & = \sqrt {1 6 { { \sin } ^ 2 } t + 1 6 { { \cos } ^ 2 } t } \,d t = 4\,d t \end{align*} $$

نهایتا حاصل انتگرال مذکور روی منحنی برابر می‌شود با:

$$\large \begin {align*}\int\limits_{C}{{x{y^4}\,ds}} & = \int_{{\, - {\pi }/{2}\;}}^{{\,{\pi }/{2}\;}}{{4\cos t{{\left( {4\sin t} \right)}^4}\left( 4 \right)dt}}\\ & = 4 0 9 6 \int _ { { \, - {\pi }/{ 2 }\;}}^{{\,{\pi }/{2}\; } } { {\cos t\,\, { { \sin } ^ 4 } t \,d t } }\\ & = \left. { \frac { { 4 0 9 6 } } { 5 } { { \sin } ^ 5 } t } \right|_{ - \frac { \pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\\ & = \frac { { 8 1 9 2 } } { 5 }\end{align*} $$

احتمالا شما نیز متوجه شده‌اید که بدست آوردن انتگرال خطی روی یک مسیر هموار، کاری سهل است. لذا در این قسمت مثالی از مسیری چند بخشی را ارائه خواهیم داد. مطابق با شکل زیر مسیری را در نظر بگیرید که از چندین بخش مجزا تشکیل شده باشد.

حاصل جمع انتگرال خطی روی هریک از مسیر‌ها برابر با انتگرال روی کل مسیر است. به بیانی ریاضیاتی می‌توان گفت:

$$\large \int \limits _ { C } { { f \left ( { x , y } \right )\,ds}} = \int \limits _ { { { C _ 1 } } } { {f\left( { x , y } \right)\,d s } } + \int \limits _ { { { C _ 2 } } } { { f \left( { x , y } \right)\, d s } } + \int \limits _ { { { C _ 3 } } }{ { f \left( { x , y } \right)\, d s } } + \int \limits _ { { { C _ 4 } } } { { f \left( { x , y } \right)\,d s } }$$

مثال ۲

حاصل انتگرال $$ \displaystyle \int \limits _ { C } { { 4 { x ^ 3 } \,d s } }$$ را در حالتی بیابید که خم C مطابق با رابطه زیر باشد.

$$\large \begin{align*}& {C_1}\,\,\,:\,\,\,\,x = t,\,\,y = - 1\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 2 \le t \le 0\\ & {C_2}\,\,:\,\,\,\,\,x = t,\,\,y = { t ^ 3 } - 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \le t \le 1\\ & {C_3}\,\,:\,\,\,\,\,x = 1,\,\,\,y = t,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \le t \le 2\end{align*}$$

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی در فرادرس

کلیک کنید

نکته نهفته در این مثال این است که نیازی نیست همواره شکل خم مطرح شده را درک کنید. برای نمونه در این مثال می‌توان تنها با جایگذاری شکل پارامتری خم ارائه شده، انتگرال خطی تابع را روی آن بدست آورد. در ابتدا انتگرالِ خطی را روی هریک از خم‌ها به صورت زیر محاسبه می‌کنیم.

$$\large \int \limits _ { { { C _ 1 } } } { { 4 { x ^ 3 } \,ds}} = \int_{{\, - 2 } } ^ { { \,0 } } { { 4 { t ^ 3 }\sqrt { { {\left( 1 \right)}^2} + {{\left( 0 \right)}^2}} \,d t } } = \int_{ {\, - 2} } ^ { {\,0 } } { { 4 { t ^ 3 }\,d t } } = \left. {{t^4}} \right|_{ - 2 } ^ 0 = - 1 6 $$

به همین صورت انتگرال روی خم C₂ برابر است با:

$$\large \begin{align*} \int \limits _ { { { C _ 2 } } } { { 4 { x ^ 3 } \,d s } } & = \int _ { {\,0 } } ^ { {\,1 } }{ { 4 { t ^ 3 } \sqrt { { { \left( 1 \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { 3 { t ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } \,d t } }\\ & = \int _ { {\,0 } } ^ { {\,1 } } { { 4 { t ^ 3 } \sqrt {1 + 9 { t ^ 4 } } \,d t } } \\ & = \left. {\frac { 1 } { 9 } \left ( {\frac { 2 } { 3 } } \right){{\left( {1 + 9{t^4}} \right)}^{\frac{ 3 } { 2 } } } } \right|_0^1 = \frac { 2 } { { 2 7 } } \left( {{{10}^{\frac{3}{2}}} - 1} \right) = 2 . 2 6 8 \end{align*} $$

نهایتا انتگرال روی خم C₃ برابر خواهد بود با:

$$\large \int \limits _ { { { C _ 3 } } } { { 4 { x ^ 3 }\,d s } } = \int _ { {\,0 } } ^ { {\,2 } } { { 4 { {\left( 1 \right) } ^ 3}\sqrt { { {\left( 0 \right ) } ^ 2 } + { { \left( 1 \right ) } ^ 2 } } \,d t } } = \int _ { {\,0 } } ^ { {\,2 } }{ { 4\,d t } } = 8 $$

در آخر حاصل انتگرال روی هریک از خم‌ها به صورت زیر جمع زده می‌شوند:

$$\large \begin{align*}\int\limits _ { C } { { 4 { x ^ 3 }\,d s } } & = \int\limits _ { { { C _ 1 } } } { { 4 { x ^ 3 }\, d s } } + \int\limits _ { { { C _ 2 } } } { { 4 { x ^ 3}\,d s } } + \int\limits_{{{C_3}}}{{4{ x ^ 3 }\,d s } }\\ & = - 16 + 2.268 + 8\\ & = - 5.732\end{align*} $$

تاکنون انتگرال خطی توابعی بررسی شدند که دومتغیره بودند. واقعیت این است که انتگرال خطی توابع سه متغیره را نیز می‌توان مشابه با روش دو متغیره بدست آورد. در حالت سه‌بعدی انتگرال خطی در بازه $$ a \le t \le b$$ برابر است با:

$$\large \int \limits _ { C } { { f \left( { x , y , z } \right )\,d s } } = \int _ { {\,a } } ^ { {\,b } } { { f \left( { x\left( t \right), y \left( t \right), z \left( t \right)} \right)\sqrt { { { \left( {\frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { {\left( {\frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { {\left ( {\frac { { d z } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } \,d t } } $$

معمولا توابع برداری توصیف کننده‌ی صفحه‌های سه‌بعدی را به صورت زیر نمایش می‌دهند.

$$\large \overrightarrow r \left( t \right ) = \left \langle { x \left ( t \right ),y \left( t \right ),z \left ( t \right ) } \right \rangle $$

در نتیجه‌ی بیان فوق، مشتق بردار r برابر با عبارت زیر بدست می‌آید.

$$\large \sqrt {{{\left( {\frac{ { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { {\left( {\frac{ {d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2} + {{\left( {\frac{{ d z } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } = \left\| {\,\overrightarrow r'\left( t \right)} \right\|$$

نهایتا انتگرال خطی تابع f برابر با رابطه زیر محاسبه می‌شود.

$$\large \int\limits_{C}{{f\left( {x,y,z} \right)\,ds}} = \int_{{\,a}}^{{\,b}} { {f\left( { x \left( t \right ),y \left( t \right ),z \left ( t \right ) } \right )\,\,\left\| {\overrightarrow r'\left ( t \right ) } \right\|\,d t } } $$

مثال ۳

حاصل انتگرال $$ \displaystyle \int \limits{ { x y z \,d s } } $$ را روی خم $$ \overrightarrow r \left ( t \right) = \left\langle {\cos \left( t \right),\sin \left( t \right), 3 t } \right\rangle $$ بدست آورید. t را در بازه‌ی $$ 0 \le t \le 4 \pi $$ در نظر بگیرید.

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

در مطلب تابع برداری بیان کردیم که رابطه‌‌ای به شکل r که در این مثال ذکر شده، منحنی مارپیچی را نشان می‌دهد. در ادامه نمودار مربوط به تابع برداری مذکور، ترسیم شده است.

با مشتق‌گیری از مولفه‌های r و پس از آن با استفاده از فرمول کلی ارائه شده، داریم:

$$\large \begin{align*}\int\limits_{ C } { { x y z\,d s } } = \int _ { {\,0 } } ^ { {\,4 \pi } } { { 3 t \cos \left( t \right)\sin \left( t \right ) \sqrt { { {\sin } ^ 2 } t + { { \cos } ^ 2 } t + 9 } \,d t } } & = \int _ { {\,0 } } ^ { { \,4\pi } } { { 3 t \left( {\frac {1 } { 2 }\sin \left( { 2 t } \right ) } \right)\sqrt {1 + 9 } \, d t } }\\ & = \frac { { 3 \sqrt {1 0 } } } { 2 } \int _ { {\,0 } } ^ { {\,4 \pi } } { { t \sin \left( { 2 t } \right )\,d t } }\\ & = \frac{ { 3\sqrt {1 0 } } } { 2 } \left. { \left( {\frac { 1 } { 4 } \sin \left ( { 2 t } \right ) – \frac { t } { 2 } \cos \left ( { 2 t } \right ) } \right ) } \right|_0 ^ { 4 \pi }\\ & = – 3 \sqrt { 1 0 } \,\pi \end{align*} $$

به منظور محاسبه انتگرال فوق از روش انتگرال‌گیری جزء به جزء استفاده شده است. در این مطلب، انتگرال‌گیری از یک تابعِ اسکالر روی یک خم توضیح داده شد. در آینده نحوه بدست آوردن انتگرال یک تابع برداری روی خم را توضیح خواهیم داد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضی
• مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
• انتگرال سطحی -- از صفر تا صد
• قضیه گرین -- به زبان ساده
• قضیه استوکس -- به زبان ساده

^^