انتگرال توابع کسری — از صفر تا صد

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره انتگرال و روش‌های محاسبه آن بحث کردیم. در این آموزش‌ها، مباحثی مانند انتگرال توابع مثلثاتی، انتگرال‌گیری جزء به جزء، انتگرال دوگانه و انتگرال سه‌گانه را معرفی کردیم. در آموزشی که در ادامه آمده است، روش محاسبه انتگرال توابع کسری یا گویا را با ارائه مثال‌های گوناگون بررسی خواهیم کرد.

از تابع کسری یا گویای $$ \large\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}\normalsize $$ را که در آن، $$ {P\left( x \right)} $$ و $$ {Q\left( x \right)} $$ دو چندجمله‌ای هستند، در چهار مرحله زیر انتگرال می‌گیریم:

1. اگر کسر ناسره است (یعنی درجه $$ P ( x )  $$ بزرگ‌تر از درجه $$ Q ( x ) $$ است)، آن را تجزیه کنید.
2. چندجمله‌ای $$ Q ( x ) $$ را به‌صورت حاصل‌ضرب عوامل درجه اول یا دوم تحویل‌ناپذیر بنویسید.
3. تابع را به کسرهای جزئی تفکیک کنید.
4. انتگرال هر کسر جزئی را محاسبه کنید.

جزئیات این گام‌ها به‌صورت زیر است:

گام ۱: اگر کسر ناسره است (یعنی درجه $$ P ( x )  $$ بزرگ‌تر از درجه $$ Q ( x ) $$ است)، صورت را بر مخرج تقسیم کنید تا عبارت زیر به‌دست آید:

$$ \large {\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} }={ F\left( x \right) + \frac{{R\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}} $$

که در آن، $$ \large\frac{{R\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}\normalsize $$ یک تابع سره است.

گام ۲: چندجمله‌ای $$ Q ( x ) $$ را به‌صورت حاصل‌ضرب عوامل درجه اول یا دوم تحویل‌ناپذیر بنویسید.

چندجمله‌ای $$ {Q\left( x \right)} $$ را به‌صورت زیر تجزیه کنید:

$$ \large {Q\left( x \right) }
= {{\left( {x – a} \right)^\alpha } \cdots}\kern0pt{ {\left( {x – b} \right)^\beta }{\left( {{x^2} + px + q} \right)^\mu } \cdots}\kern0pt{ {\left( {{x^2} + rx + s} \right)^\nu },} $$

که در آن، توابع درجه دوم تحول‌ناپذیر هستند، یعنی ریشه حقیقی ندارند.

گام ۳: کسر را به کسرهای جزئی تفکیک کنید.

تابع را به‌صورت زیر بنویسید:

$$ \Large {{\frac{{R\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} }={ \frac{A}{{{{\left( {x – a} \right)}^\alpha }}} }\kern0pt{+ \frac{{{A_1}}}{{{{\left( {x – a} \right)}^{\alpha – 1}}}} + \ldots }}\kern0pt \\ \large
+ {\frac{{{A_{\alpha – 1}}}}{{x – a}} + \ldots }\kern0pt
+ {\frac{B}{{{{\left( {x – b} \right)}^\beta }}} }+{ \frac{{{B_1}}}{{{{\left( {x – b} \right)}^{\beta – 1}}}} + \ldots }\kern0pt \\ \large
+ {\frac{{{B_{\beta – 1}}}}{{x – b}} }\kern0pt
+ {\frac{{Kx + L}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^\mu }}} }+{ \frac{{{K_1}x + {L_1}}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^{\mu – 1}}}} + \ldots }\kern0pt \\ \large
+ {\frac{{{K_{\mu – 1}}x + {L_{\mu – 1}}}}{{{x^2} + px + q}} + \ldots }\kern0pt
+ {\frac{{Mx + N}}{{{{\left( {{x^2} + rx + s} \right)}^\nu }}} } \\ \large +{ \frac{{{M_1}x + {N_1}}}{{{{\left( {{x^2} + rx + s} \right)}^{\nu – 1}}}} + \ldots }\kern0pt
+ {\frac{{{M_{\nu – 1}}x + {N_{\nu – 1}}}}{{{x^2} + rx + s}}.} $$

گام ۴: انتگرال هر کسر جزئی را محاسبه کنید.

با استفاده از شش فرمول زیر، انتگرال کسرهای جزئی را بنویسید:

$$ \large {1.\;\;}{\int {\frac{A}{{x – a}}dx} }={A \ln \left| {x – a} \right|} $$

$$ \large {2.\;\;}{\int {\frac{A}{{{{\left( {x – a} \right)}^k}}}dx} }={ \frac{A}{{\left( {1 – k} \right){{\left( {x – a} \right)}^{k – 1}}}} } $$

برای توابعی شامل مخرج با چندجمله‌ای درجه دوم، ابتدا کسر را به‌صورت زیر کامل کنید:

$$ \large {\int {\frac{{Ax + B}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^k}}}dx} }
= {\int {\frac{{At + B’}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}dt} } $$

که در آن، $$ t = x + {\large\frac{p}{2}\normalsize} $$، $$ {m^2} = {\large\frac{{4q – {p^2}}}{4}\normalsize} $$ و $$ B’ = B – {\large\frac{{Ap}}{2}\normalsize} $$. سپس از فرمول‌های زیر استفاده کنید:

$$ \large {3.\;\;}{\int {\frac{{tdt}}{{{t^2} + {m^2}}}} }={ \frac{1}{2}\ln \left( {{t^2} + {m^2}} \right)} $$

$$ \large {4.\;\;}{ \int {\frac{{tdt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} }
= {\frac{1}{{2\left( {1 – k} \right){{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^{k – 1}}}} } $$

$$ \large {5.\;\;}{\int {\frac{{dt}}{{{t^2} + {m^2}}}} }={ \frac{1}{m}\arctan \frac{t}{m}} $$

انتگرال $$ \large\int\normalsize {\large\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}\normalsize} $$ را می‌توان در $$ k $$ مرحله و با استفاده از فرمول کاهش زیر محاسبه کرد:

$$ \large {6.\;\;}{ \int {\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} }
= {\frac{t}{{2{m^2}\left( {k – 1} \right){{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^{k – 1}}}} } \\ \large
+ {\frac{{2k – 3}}{{2{m^2}\left( {k – 1} \right)}} }\kern0pt{ \int {\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)}^{k – 1}}}}} } $$

مثال‌هایی از انتگرال توابع کسری

در ادامه، برای درک بهتر پیاده‌سازی گام‌هایی که بیان شد، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

انتگرال $$ {\large\int\normalsize} {{\large\frac{{2x + 3}}{{{x^2} – 9}}\normalsize} dx} $$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا انتگرال‌ده را به کسرهای جزئی تجزیه می‌کنیم:

$$ \large {\frac{{2x + 3}}{{{x^2} – 9}} }
= {\frac{{2x + 3}}{{\left( {x – 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} }
= {\frac{A}{{x – 3}} + \frac{B}{{x + 3}}.} $$

ضرایب در معادله زیر صدق می‌کنند:

$$ \large {{A \left( {x + 3} \right ) } + { B \left( {x – 3} \right ) } = { 2 x + 3 ,} \; \; } \Rightarrow \\ \large
{ { A x + 3 A + B x – 3 B } = { 2 x + 3, } \; \; } \Rightarrow \\ \large
{ { \left( { A + B } \right) x + 3 A – 3 B } = { 2 x + 3. } } $$

بنابراین، داریم:

$$ \large { \left\{ \begin {array}{l}
A + B = 2\\
3 A – 3 B = 3
\end{array} \right.,\; \; }\Rightarrow
{\left\{ \begin{array}{l}
A = \frac{3}{2}\\
B = \frac{1}{2}
\end{array} \right..} $$

در نتیجه می‌توان نوشت:

$$ \large {\frac { {2 x + 3} } { { {x ^ 2 } – 9 } } }
= { \frac { { \frac { 3 }{ 2 } } } { { x – 3 } } + \frac {{ \frac { 1}{ 2 } } } { { x + 3 } } . } $$

در نهایت، حاصل انتگرال برابر است با:

$$ \large { \int { \frac { { 2 x + 3 } } { { { x ^2 } – 9 } } d x } }
= { { \frac { 3 } { 2 } \int { \frac { { d x } } { { x – 3 } } } } + { \frac { 1 } { 2 } \int { \frac { { d x } } { { x + 3 } } } } } \\ \large
= { { \frac { 3 } { 2 } \ln \left| { x – 3 } \right| } + { \frac { 1 } { 2 } \ln \left| { x + 3 } \right| } + { C } }
= { { \frac { 1 } { 2 } \ln \left| { { { \left( { x – 3 } \right) } ^ 2 } \left( { x + 3 } \right) } \right| } + { C. } } $$

مثال ۲

حاصل انتگرال $$ {\large\int\normalsize} {{\large\frac{{{x^2} – 2}}{{x + 1}}\normalsize} dx} $$ را به‌دست آورید.

حل: ابتدا صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم:

$$ \large { \frac { { { x ^ 2 } – 2 } } { { x + 1 } } } = { x – 1 } - { \frac { 1 } { { x + 1 } } . } $$

در نتیجه، داریم:

$$ \large { \int { \frac { { { x ^ 2 } – 2 } } { { x + 1 } } d x } }
= { \int { \left ( { x – 1 – \frac { 1 } { { x + 1 } } } \right) d x } } \\ \large
= { { \int { x d x } – \int { d x } } - { \int {\frac { { d x } } { { x + 1 } } } } }
= { { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } – x } - { \ln \left| { x + 1 } \right| } + { C . } }$$

مثال ۳

انتگرال $$ {\large\int\normalsize} {\large\frac{{dx}}{{{x^2} + 4x + 8}}\normalsize} $$ را محاسبه کنید.

حل: حاصل انتگرال، به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$ \large { \int { \frac { { d x } } { { { x ^ 2 } + 4 x + 8 } } } }
= {\int { \frac { { d x } } { { { x ^ 2 } + 4 x + 4 + 4 } } } } \\ \large
= { \int { \frac { { d x } } { { { { \left( { x + 2 } \right) } ^ 2 } + 4 } } } }
= { \int { \frac { { d \left( { x + 2 } \right) } } { { { { \left( { x + 2 } \right) } ^ 2 } + { 2 ^ 2 } } } } }
= { { \frac { 1 } { 2 } \arctan \frac { { x + 2 } } { 2 } } + { C. } } $$

مثال ۴

حاصل انتگرال $$ {\large\int\normalsize} {\large\frac{{{x^2}dx}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)}}\normalsize} $$ را به‌دست آورید.

حل: ابتدا انتگرال‌ده را به کسرهای جزئی تفکیک می‌کنیم:

$$ \large { \frac { { { x ^ 2 } d x } } { { \left( { x – 1 } \right) \left( { x – 2 } \right) \left( { x – 3 } \right) } } }
= { \frac { A } { { x – 1 } } } + { \frac { B } { { x – 2 } } } + { \frac { C } { { x – 3 } } .} $$

ضرایب را با استفاده از تساوی‌های زیر می‌توان محاسبه کرد:

$$ \large { A \left( { x – 2 } \right) \left( { x – 3 } \right) } \kern0pt
{ + B \left( { x – 1 } \right) \left( { x – 3 } \right) } \kern0pt
{ + C \left( { x – 1 } \right) \left( { x – 2} \right) }
= { { x ^ 2 } , } $$

$$ \large { A { x ^ 2 } – 2 A x – 3 A x } \kern0pt
{ + 6 A + B { x ^ 2 } } - { B x – 3 B x } \kern0pt
{ + 3 B + C { x ^ 2 } } - { C x – 2 C x + 2 C }
= { { x ^ 2 } , } $$

$$ {\left( {A + B + C} \right){x^2} }\kern0pt
{- \left( {5A + 4B + 3C} \right)x }\kern0pt
{+ 6A + 3B + 2C }
= {{x^2}.} $$

بنابراین، داریم:

$$ \large {\left\{ \begin{array}{l}
A + B + C = 1\\
5A + 4B + 3C = 0\\
6 A + 3 B + 2 C = 0
\end {array} \right. ,\; \; } \Rightarrow
{ \left\{ \begin{array}{l}
A = \frac { 1 } { 2 } \\
B = – 4 \\
C = \frac { 9 } { 2 }
\end{array} \right..} $$

درنتیجه، تجزیه به کسرهای جزئی به‌صورت زیر درخواهد آمد:

$$ \large { \frac { { { x ^ 2 } d x } } { { \left( { x – 1 } \right) \left( { x – 2} \right) \left( { x – 3 } \right) } } }
= { \frac { { \frac { 1 } { 2 } } } { { x – 1 } } } - { \frac { 4 }{ { x – 2 } } } + { \frac { { \frac { 9 } { 2 } } } { { x – 3 } } . } $$

حاصل انتگرال نیز به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$ \large { \int { \frac { { { x ^ 2 } d x } } { { \left( { x – 1 } \right) \left( { x – 2 } \right) \left( { x – 3 } \right) } } } }
= { { \frac { 1 } { 2 } \int { \frac { { d x } } { { x – 1 } } } } - { 4 \int { \frac { { d x } } { { x – 2 } } } } + { \frac { 9 } { 2 } \int { \frac { { d x } } { { x – 3 } } } } } \\ \large
= { { \frac { 1 } { 2 } \ln \left| { x – 1 } \right| } - { 4 \ln \left| { x – 2 } \right| } + { \frac { 9 } { 2 } \ln \left| { x – 3 } \right| } + { C . } } $$

مثال ۵

مقدار انتگرال $$ {\large\int\normalsize} {\large\frac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\normalsize} $$ را به‌دست آورید.

حل: ابتدا انتگرال‌ده را به دو کسر جزئی تفکیک می‌کنیم:

$$ \large { \frac { 1 } { { \left( { x + 1 } \right) \left( { { x ^ 2 } + 1 } \right) } } }
= { { \frac { A } { { x + 1 } } } + { \frac { { B x + C } } { { { x ^ 2 } + 1 } } . } } $$

با استفاده از تساوی چندجمله‌ای‌ها، مقادیر $$A$$، $$B$$ و $$C$$‌ را به‌دست می‌آوریم:

$$ \large { { A \left( { { x ^ 2 } + 1 } \right) } + { \left( { B x + C } \right) \left( { x + 1 } \right) } = { 1,\;\; } } \\ \large \Rightarrow
{ { A { x ^ 2 } + A + B { x ^ 2 } } + { C x + B x + C } = { 1,\;\; } } \\ \large \Rightarrow
{ { \left( { A + B } \right) { x ^ 2 } } + { \left( { B + C } \right) x } + { A + C = 1 . } } $$

بنابراین، داریم:

$$ \large {\left\{ \begin{array}{l}
A + B = 0\\
B + C = 0\\
A + C = 1
\end {array} \right.,\;\;}\Rightarrow
{ \left\{ \begin{array}{l}
A = \frac { 1 } { 2 } \\
B = – \frac { 1 } { 2 } \\
C = \frac { 1 } { 2 }
\end{array} \right..} $$

انتگرال‌ده را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$ \large { \frac { 1 } { { \left( { x + 1 } \right) \left( { { x ^2 } + 1 } \right) } } }
= { \frac { { \frac { 1 } { 2 } } } { { x + 1 } } + \frac { { – \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 1} { 2} } } { { { x ^2 } + 1 } } } \\ \large
= { { \frac { 1 }{ { 2 \left( { x + 1 } \right)} } }- { \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { x} { { {x ^2 } + 1 } } }+{ \frac {1 } { 2 } \cdot \frac { 1 } {{ { x ^ 2 } + 1 } } . }} $$

در نتیجه، حاصل انتگرال به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large { \int { \frac { { d x } } { { \left( { x + 1 } \right) \left( { { x ^ 2 } + 1 } \right) } } } } \\ \large
= { { \frac { 1 } { 2 } \int { \frac { { d x } } { { x + 1 } } } } - { \frac { 1 } { 2 } \int { \frac { { x d x } } { { { x ^ 2 } + 1 } } } } + { \frac { 1 } { 2 } \int { \frac { { d x } } { { { x ^ 2 } + 1 } } } } } \\ \large
= { { \frac {1 } { 2 } \ln \left| { x + 1 } \right| } - { \frac { 1 } { 4 } \int { \frac { {d \left( { { x ^2 } + 1 } \right) } } { { { x ^ 2 } + 1 } } } } + { \frac { 1 } { 2 } \arctan x } } \\ \large
= { { \frac { 1 } { 2 } \ln \left| { x + 1 } \right| } - { \frac { 1 }{ 4 } \ln \left( { { x ^ 2 } + 1 } \right) } + { \frac { 1 }{ 2 } \arctan x } + { C . } } $$

فیلم آموزش ریاضی مهندسی در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۶

انتگرال $$ {\large\int\normalsize} {\large\frac{{dx}}{{{x^3} + 1}}\normalsize}$$ را محاسبه کنید.

حل: مخرج انتگرال‌ده را به‌صورت حاصل‌ضرب دو چندجمله‌ای درجه اول و دوم می‌نویسیم:

$$ \large { { x ^3 } + 1 } = { \left( { x + 1 } \right) \left( { { x ^ 2 } – x + 1 } \right) . } $$

اکنون انتگرال‌ده را به کسرهای جزئی تجزیه می‌کنیم:

$$ \large { \frac { 1 } { { { x ^ 3 } + 1 } } }
= { \frac { 1 } { { \left( { x + 1 } \right) \left( { { x ^ 2 } – x + 1 } \right) } } } \\ \large
= { { \frac { A } { { x + 1 } } } + { \frac { { B x + C } } { { { x ^ 2 } – x + 1 } } . } } $$

برای محاسبه ضرایب، تساوی زیر را می‌نویسیم:

$$ \large { { A \left( { { x ^ 2 } – x + 1 } \right) } + { \left( { B x + C } \right) \left( { x + 1 } \right) } = { 1,\;\; } } \\ \large \Rightarrow
{ { A { x ^ 2 } – A x + A } + { B { x ^ 2 } + C x } + { B x + C } = { 1,\;\; } }\\ \large \Rightarrow
{ { \left( { A + B } \right) { x ^ 2 } } + { \left( { – A + B + C } \right) x } + { A + C } = { 1 . } } $$

بنابراین، داریم:

$$ \large { \left\{ \begin{array}{l}
A + B = 0\\
– A + B + C = 0\\
A + C = 1
\end{array} \right.,\;\;}\Rightarrow
{\left\{ \begin{array}{l}
A = \frac{1}{3}\\
B = – \frac{1}{3}\\
C = \frac{2}{3}
\end{array} \right..} $$

کسرهای جزئی به‌صورت زیر خواهند بود:

$$ \large { \frac { 1 } { { { x ^ 3 } + 1 } } }
= { { \frac { { \frac { 1 } { 3 } } } { { x + 1 } } } +{ \frac { { – \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 2 } { 3 } } } {{ { x ^ 2} – x + 1 } } } } \\ \large
= { { \frac { 1 } { { 3 \left( { x + 1 } \right) } } } - { \frac { 1 } { 3 } \cdot \frac { { x – 2 } } { { { x ^ 2 } – x + 1 } } . } } $$

اکنون می‌توانیم انتگرال را محاسبه کنیم:

$$ \large { \int { \frac { { d x } } { { { x ^3 } + 1 } } } }
= { { \frac { 1 } { 3 } \int { \frac { { d x } } { { x + 1 } } } } - { \frac { 1 } { 3 } \int { \frac { { x – 2 } } { { { x ^ 2 } – x + 1 } } d x } } } \\ \large
= { { \frac { 1 } { 3 } \ln \left| { x + 1 } \right| } - { \frac { 1 } { 3 } \int { \frac { { x – \frac { 1 } { 2 } – \frac { 3 } { 2 } } } { { { x ^ 2 } – x + 1 } } d x} } } \\ \large
= { { \frac { 1 } { 3 } \ln \left| { x + 1 } \right| } - { \frac { 1 } { 3 } \int { \frac { { x – \frac { 1 } { 2 } } } { { { x ^ 2 } – x + 1 } } d x} }
+ { \frac { 1 } { 2 } \int { \frac { { d x } } { { { x ^ 2 } – x + 1 } } } } } \\ \large
= { { \frac { 1 } { 3 } \ln \left| { x + 1 } \right| } - { \frac { 1 } { 6 } \int { \frac { { \left( { 2 x – 1 } \right) d x } } { { { x ^ 2 } – x + 1 } } } }
+ { \frac { 1 } { 2 } \int { \frac { { d x } } { { { { \left( { x – \frac { 1 } { 2 } } \right) } ^ 2 } + \frac { 3 } { 4 } } } } } } \\ \large
= { { \frac { 1 } { 3 } \ln \left| { x + 1} \right| } - { \frac { 1 } { 6 } \int { \frac { { d \left ( { { x ^ 2 } – x + 1 } \right ) } } { { { x ^ 2 } – x + 1 } } } }
+ { \frac { 1 } { 2 } \int { \frac { { d \left( { x – \frac { 1 } { 2 } } \right) } } { {{ { \left( { x – \frac { 1 } { 2 } } \right) } ^ 2 } }
+ { { { \left( { \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right) } ^ 2 } } } } } } \\ \large
= { { \frac { 1 } { 3 } \ln \left| { x + 1 } \right| } - { \frac { 1 }{ 6 } \ln \left( { { x ^ 2 } – x + 1 } \right) }
+ { \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } \arctan \frac { { 2 x – 1 } } { { \sqrt 3 } } } + { C . }} $$

مثال ۷

انتگرال $$ {\large\int\normalsize} {\large\frac{{dx}}{{{x^4} – 1}}\normalsize} $$ را محاسبه کنید.

حل: می‌توانیم مخرج انتگرال‌ده را به‌صورت حاصل‌ضرب چندجمله‌ای‌های درجه اول و درجه دوم بنویسیم:

$$ \large { { x ^ 4 } – 1 }
= { \left ( { { x ^ 2 } – 1 } \right ) \left ( { { x ^ 2 } + 1 } \right ) } \\ \large
= { \left ( { x – 1 } \right ) \cdot \left ( { x + 1 } \right ) \cdot } \kern0pt { \left ( { { x ^ 2 } + 1 } \right ) . } $$

ضرایب را می‌توان از تساوی‌های زیر به‌دست آورد:

$$ \large { A \left ( { { x ^ 2 } + 1 } \right ) \left ( { x + 1 } \right ) } \kern0pt
+ { B \left ( { { x ^ 2 } + 1 } \right ) \left ( { x – 1 } \right ) } \kern0pt
+ { \left ( { C x + D } \right ) \left ( { { x ^ 2 } – 1 } \right ) } = { 1 , } $$

$$ \large
{ A { x ^ 3 } + A x + A { x ^ 2 } }\kern0pt
{ + A + B { x ^ 3 } – B { x ^ 2 } } \kern0pt
{ + B x – B + C { x ^ 3 } } \kern0pt
{ + D { x ^ 2 } – C x – D } = { 1 , } $$

$$ \large { \left ( { A + B + C } \right ) { x ^ 3 } } \kern0pt
{ + \left ( { A – B + D } \right ) { x ^ 2 } } \kern0pt
{ + \left ( { A + B – C } \right ) x } \kern0pt
{ + A – B – D } = { 1 . } $$

بنابراین، داریم:

$$ \large { \left \{ \begin{array}{l}
A + B + C = 0\\
A – B + D = 0\\
A + B – C = 0\\
A – B – D = 1
\end{array} \right.,\;\;}\Rightarrow
{\left\{ \begin{array}{l}
A = \frac{1}{4}\\
B = – \frac{1}{4}\\
C = 0\\
D = – \frac{1}{2}
\end{array} \right..} $$

در نهایت، انتگرال‌ده به‌صورت زیر درمی‌آید:

$$ \large { \frac { 1 } { { { x ^ 4 } – 1 } } }
= { \frac { { \frac { 1 } { 4 } } } { { x – 1 } } } - { \frac { { \frac { 1 } { 4 } } } { { x + 1 } } } - { \frac { { \frac { 1 }{ 2} } } { { { x ^ 2 } + 1 } } . } $$

و پاسخ کامل انتگرال به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

 $$ \large { \int { \frac { { d x } } { { { x ^ 4 } – 1 } } } } \\ \large
= { { \frac { 1 } { 4 } \int { \frac { { d x } } { { x – 1 } } } } - { \frac { 1 } { 4} \int { \frac { { d x } } { { x + 1 } } } } - { \frac { 1 } { 2 } \int { \frac { { d x } } { {{ x ^ 2 } + 1 } } } } } \\ \large
= { { \frac { 1 } { 4 } \ln \left| { x – 1 } \right| } - { \frac { 1 }{ 4 } \ln \left| { x + 1 } \right| } - { \frac { 1 } { 2 } \arctan x + C } } \\ \large
= { { \frac { 1 } { 4 } \ln \left| { \frac { { x – 1 } } { { x + 1 } } } \right| } - { \frac { 1 } { 2 } \arctan x + C . } } $$

مثال ۸

انتگرال $$ {\large\int\normalsize} {{\large\frac{{5x}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^3}}}\normalsize} dx} $$ را محاسبه کنید.

حل: انتگرال‌ده را به کسرهای جزئی بسط می‌دهیم:

 $$ \large { \frac { { 5 x } } { { { { \left( { x – 1 } \right) } ^ 3} } } }
= { \frac { A } { { { { \left( { x – 1 } \right) } ^ 3 } } } } + { \frac { B } { { { { \left( { x – 1 } \right) } ^ 2 } } } } + { \frac { C } { { x – 1 } } . } $$

ضرایب را می‌توان با تساوی‌های زیر محاسبه کرد:

$$ \large { { A + B \left( { x – 1 } \right) } + { C { \left( { x – 1 } \right) ^ 2 } } = { 5 x, } \;\; } \\ \large \Rightarrow
{ { A + B x } - { B + C { x ^ 2 } } - { 2 C x + C } = { 5 x ,}\;\;} \\ \large \Rightarrow
{ { C { x ^ 2 } + \left( { B – 2 C } \right) x } + { A – B + C } = { 5 x . } } $$

بنابراین، داریم:

$$ \large {\left\{ \begin{array}{l}
C = 0\\
B – 2 C = 5\\
A – B + C = 0
\end{array} \right.,\;\;}\Rightarrow
{\left\{ \begin{array}{l}
A = 5\\
B = 5\\
C = 0
\end{array} \right..} $$

در نتیجه، کسر جزئی به‌صورت زیر خواهد بود:

$$ \large { \frac { { 5 x } } { { { { \left ( { x – 1 } \right) } ^3 } } } }
= { \frac { 5 } { { { { \left ( { x – 1 } \right) } ^ 3 } } } } + { \frac { 5 } { { { { \left ( { x – 1 } \right) } ^ 2 } } } . } $$

در نهایت، انتگرال به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large { \int { \frac { { 5 x } } { { { { \left( { x – 1 } \right)}^3}}}dx} }
= {{\int {\left( {\frac{5}{{{{\left( {x – 1} \right)}^3}}} }+{ \frac{5}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}} \right)dx} }} \\ \large
= {{5\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^3}}}} }+{ 5\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}} }} \\ \large
= {{5 \cdot \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^{ – 2}}}}{{ – 2}} }-{ \frac{5}{{x – 1}} + C }}
= {{ – \frac{5}{{2{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} }-{ \frac{5}{{x – 1}} + C.}} $$

مثال ۹

انتگرال تابع $$ {\large\int\normalsize} {\large\frac{{dx}}{{{{\left( {{x^2} + x – 1} \right)}^2}}}\normalsize}  $$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا چندجمله‌ای $${{x^2} + x – 1}$$ مخرج را به‌صورت کامل می‌نویسیم:

$$ \large { \int {\frac{ { d x }}{ { { {\left( {{ x ^ 2} + x – 1} \right) } ^ 2 } } } } }
= {\int {\frac { { d x } } { { { {\left( { { x ^ 2 } + x + \frac { 1 } { 4 } + \frac { 3 } { 4 } } \right) } ^ 2 } } } } } \\ \large
= {\int {\frac { { d x } } { { { {\left( { {{ \left( {x + \frac{1}{ 2 } } \right)} ^ 2 } + { { \left( {\frac{{ \sqrt 3 } } { 2 } } \right) } ^ 2 } } \right)} ^ 2 } } } } . } $$

اکنون، انتگرال را با فرمول کاهش زیر حساب می‌کنیم:

$$ \large { \int {\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} + {m^2}} \right)} ^ k } } } } } \\ \large
= {\frac { t } {{ 2 { m ^ 2} \left ( { k – 1 } \right) { { \left( { {t ^ 2 } + { m^ 2 } } \right) } ^ { k – 1 } } } } }
+ { \frac { { 2 k – 3 } } { { 2 { m ^ 2} \left( { k – 1 } \right)}}\cdot}\kern0pt{ \int {\frac{{dt}} { { {{ \left( { { t ^ 2 } + { m ^ 2 } } \right) } ^ { k – 1 }} } } } } $$

در نتیجه، داریم:

$$ \large {\int {\frac { { d x } } {{ { {\left( { { {\left( {x + \frac{ 1 }{ 2} } \right) } ^ 2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 } } { 2 } } \right)} ^ 2 } } \right)} ^ 2 } } } } } \\ \large
={ \frac { 1 }{ { 2 \cdot \frac {3 } { 4 } \cdot 1 \cdot \left( {{{\left( {x + \frac { 1 } { 2 } } \right)} ^ 2 } + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }} { 2 } } \right)} ^ 2 }} \right)}} }
+{ \frac { { 4 – 3}}{{2 \cdot \frac { 3} { 4} \cdot 1}}\cdot}\kern0pt{\int {\frac{{dx}}{{\left( {{{\left( {x + \frac { 1 } {2 } } \right)} ^ 2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }} { 2 }} \right)} ^ 2 }} \right)}}} } \\ \large
={{ \frac{ 2 } { { 3\left( {{ x ^ 2 } + x + 1} \right)}} }+{ \frac { 2} { 3}\int {\frac{{dx}}{{\left( {{{\left( {x + \frac { 1 } {2 }} \right)} ^ 2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)} ^ 2}} \right)}}} }} \\ \large
= {{ \frac { 2} { { 3\left( {{ x ^ 2} + x + 1} \right)}} }+{ \frac { 2} { 3 } \cdot \frac{ 2 }{ {\sqrt 3 }}\arctan \frac{{x + \frac { 1}{ 2 } }}{{\frac{{\sqrt 3 }} { 2 }}} }+{ C }} \\ \large
={{ \frac{2}{{3\left( {{ x ^ 2 } + x + 1} \right)}} }+{ \frac{4}{{3\sqrt 3 }}\arctan \frac { { 2 x + 1}}{{\sqrt 3 }} }+{ C . } } $$

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• آموزش ریاضیات عمومی 2
• آموزش ریاضی عمومی 2 (مرور و حل تمرین)
• روش تغییر متغیر برای حل انتگرال - به زبان ساده
• انتگرال توابع هیپربولیک — از صفر تا صد
• تقلب نامه (Cheat Sheet) مفاهیم و روابط انتگرال

^^