اعداد رادیکالی و محاسبات مربوط به آن ها — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

اغلب با مجموعه اعداد صحیح و طبیعی آشنایی دارید. انجام محاسبات برای این گونه اعداد به وسیله محور اعداد به راحتی میسر است. ولی اگر به مجموعه اعداد صحیح، اعداد رادیکالی را نیز اضافه کنیم، مجموعه اعداد ما ارتقاء یافته است و باید شیوه انجام محاسبات ریاضی را برای این اعداد نیز فراگیریم.

در این نوشتار از مجله فرادرس ابتدا اعداد رادیکالی را معرفی، سپس محاسبات ریاضی مانند جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد رادیکالی را یادآوری می‌کنیم. یکی از انواع اعداد رادیکالی، ریشه دوم یا جذر یک عدد است. به منظور آشنایی بیشتر با مفهوم ریشه دوم و نمایش آن روی محور اعداد بهتر است مطلب جذر یا محاسبه ریشه دوم عدد — به زبان ساده  از مجله فرادرس را مطالعه کنید. همچنین خواندن نوشتار معادله رادیکالی — به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

اعداد رادیکالی و محاسبات مربوط به آن‌ها

به توان رساندن را به نوعی، ضرب کردن برای اعداد صحیح در نظر می‌گیریم. به این معنی که اگر a و b دو عدد صحیح و مثبت باشند، a به توان b را به صورت ضرب a به تعداد b بار در خودش در نظر می‌گیریم.

فیلم آموزش ریاضی – پایه نهم در فرادرس

کلیک کنید

این رابطه در زیر نوشته شده است.

$$\large a^b = \underbrace{a\times a \times a \cdots\times a}_{b} =c$$

حال اگر این عمل را عکس کنیم چه اتفاقی می‌افتد. به این معنی که به دنبال عددی مثل a می‌گردیم که اگر آن را b با در خودش ضرب کنیم برابر با c شود. پیدا کردن این عدد بوسیله محاسبه رادیکال برمبنای b از عدد c حاصل می‌شود. رادیکال را در ریاضیات با علامت $$\sqrt{\;\;}$$ نشان می‌دهند. در این حالت می‌نویسیم.

$$\large \sqrt[b]{c}=a\rightarrow a^b =c$$

عبارت سمت چپ را به صورت «ریشه bام عدد c برابر است با a» می‌خوانند.

برای مثال اگر a=5 و b=3 باشد مقدار c نیز برابر با ۱۲۵ خواهد بود. در این حالت داریم:

$$\large \sqrt[3]{125}=5 \rightarrow 5^3 =125$$

عبارت سمت چپ به صورت «ریشه سوم ۱۲۵ برابر است با ۵» خوانده می‌شود.

نکته: اگر مقدار b برابر با ۲ باشد، a را ریشه دوم عدد c می‌گویند و می‌نویسند:

$$\large \sqrt{c} =a \rightarrow a^2 =c$$

در این حالت عبارت سمت چپ را به صورت «ریشه (یا رادیکال) c برابر است با a» می‌خوانند. همانطور که دیده می‌شود، برای ریشه دوم، دیگر از عدد ۲ در بالای رادیکال استفاده نمی‌کنند. پس متوجه می‌شویم هرگاه بالای رادیکال عددی دیده نشود، منظور ریشه دوم است. ریشه دوم را برای راحتی گاهی رادیکال نیز می‌خوانند.

با توجه به اعداد و ارقامی که در جدول بالا دیده می‌شود، مشخص است که ریشه دوم یا رادیکال برای اعداد مثبت تعریف شده است. زیرا نمی‌توان یک عدد صحیح را در خودش ضرب کرد و حاصل مقدار منفی بدست آید. بنابراین قادر به محاسبه $$\sqrt{(-4)}$$ یا $$\sqrt{-(25)}$$ نیستیم.

نکته: برای اعداد منفی، ریشه‌های زوج موجود نیست. ولی ریشه‌های فرد اعداد منفی وجود دارد. برای مثال:

$$\large \sqrt[\;3]{-125}=-5$$

زیرا:

$$(-5)\times (-5)\times (-5)=-125$$.

از آنجایی که توان ۲ یا مربع و رادیکال عکس یکدیگر هستند، بهتر است که به شکل تابع $$y=x^2$$ نیز نگاهی بکنیم.

اگر ریشه دوم را به صورت عکس تابع توان ۲ یا مربع در نظر بگیریم، شکل تابع رادیکال یا ریشه دوم با جابجا کردن محور افقی و عمودی یا چرخش ۹۰ درجه‌ای نمودار قبلی بدست می‌آید.

از آنجایی که ریشه دوم در بحث ما فقط برای اعداد نامنفی تعریف شده، این منحنی در نقطه 0 بریده شده است و دیگر ادامه نخواهد داشت.

نمایش اعداد رادیکالی به صورت توان

با توجه به رابطه عکسی که بین رادیکال و توان وجود دارد، به نظر می‌رسد که اگر $$a=\sqrt{c}$$ باید بتوان نتیجه زیر را نوشت:

$$\large \sqrt{c} = a \rightarrow a^2= a \times a = \sqrt{c} \times \sqrt{c}=c$$

به این ترتیب مشخص است که اگر رادیکال یک عدد را دوبار در خودش ضرب کنیم، با خود عدد برابر خواهد شد. این رابطه را می‌توان به صورت توان نیز نوشت:

$$\large c^? \times c^? =c^1$$

از آنجایی که علامت ?ها یکسان هستند، هنگام ضرب دو عدد، توان‌ها با هم جمع می‌شوند. بنابراین باید رابطه زیر برقرار باشد.

$$\large  c^? \times c^? =c^{?+?} =c^1 \rightarrow 2\times ?=1 \rightarrow ?=\frac{1}{2}$$

در نتیجه می‌توان ریشه دوم را به صورت توان $$\frac{1}{2}$$ نیز نشان داد. بنابراین خواهیم داشت:

$$\large \sqrt{c}=c^{\tfrac{1}{2}}$$

همین عمل را برای ریشه‌های سوم، چهارم و ... نیز می‌توان انجام داد. در نتیجه تساوی زیر همیشه برقرار است.

$$\large \sqrt[3]{c} = c^{\tfrac{1}{3}}, \;\; \sqrt[4]{c}=c^{\tfrac{1}{4}},\;\; \sqrt[5]{c}=c^{\tfrac{1}{5}}, \cdots $$

نکته: اگر ارتباط بین a, b, c و d به صورت $$a^b = c^d$$ باشد، می‌توان نوشت:

$$\large a= \sqrt[^b\;]{c^d} = c^{\tfrac{d}{b}}$$

برای مثال اگر a=4 , b= 2 ,c=2, d= 4 باشد داریم:

$$\large \sqrt[^2\;]{{2^4}} = 2^{\tfrac{4}{2}}=2^2=4$$

جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد رادیکالی

با توجه به شیوه نمایش توانی اعداد رادیکالی، براساس قواعد مربوط به اعداد توان‌دار می‌توان عمل جمع، تفریق، ضرب و تقسیم را انجام داد. همانطور که می‌دانید هنگام جمع یا تفریق، اعداد با توان‌های یکسان با یکدیگر به کار می‌روند.

در اینجا قواعد محاسباتی برای جملات توان‌دار را به اختصار معرفی می‌کنیم.

فیلم آموزش جبر جابجایی در فرادرس

کلیک کنید

قاعده جمع و تفریق: هنگام جمع یا تفریق جملات توان‌دار، فقط ضرایب جملات با پایه و توان‌های یکسان با یکدیگر جمع یا تفریق می‌شوند.

$$\large 2a^2+3b^3-5a^2-2b^3=-3a^2+b^3$$

قاعده ضرب و تقسیم: در ضرب جملات توان‌دار، توان‌های جملاتی که دارای پایه‌های یکسان هستند با یکدیگر جمع می‌شوند. در تقسیم جملات توان‌دار نیز توان‌های جملات با پایه‌های یکسان، از یکدیگر تفریق خواهند شد.

$$\large \dfrac{(3a^2 \times 4a^3 \times 5b^6)}{6b^4}= 10a^5b^2$$

مثال ۱

برای انجام محاسبات زیر می‌توان از قواعد توان استفاده کرد. یعنی جملات با ریشه‌های یکسان با یکدیگر جمع یا تفریق می‌شوند.

$$\large \sqrt{2} + 5\sqrt[3]{8} - 3\sqrt{2} - 2\sqrt[3]{8}=-2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{8}=-2\sqrt{2}+3\times 2 = 6-2\sqrt{2}$$

مثال ۲

رابطه‌های زیر را براساس قواعد ضرب برای جمله‌های توان‌دار، ساده می‌کنیم.

$$\large \sqrt{2 \times 3} = (2\times 3)^{\tfrac{1}{2}}=2^{\tfrac{1}{2}}\times 3^{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{2} \times \sqrt{3}. $$

$$\large \sqrt{2}\times \sqrt[3]{2} = 2^{\tfrac{1}{2}} \times 2^{\tfrac{1}{3}} = 2^{(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3})}= 2^{(\tfrac{5}{6})}=\sqrt[^6\;]{2^5}.$$

مثال 3

براساس تبدیل رادیکال به توان، عبارت‌های زیر را ساده‌تر می‌نویسیم.

$$\large \sqrt[^3\;]{2^4}=2^{\tfrac{4}{3}}=2^{(1+\tfrac{1}{3})}=2\times 2^{\tfrac{1}{3}}=2\sqrt[3]{2}.$$

$$\large \dfrac{\sqrt[^3\;]{2}}{\sqrt[^3\;]{3}}=\sqrt[^3\;]{\tfrac{2}{3}}.$$

مثال 4

براساس تبدیل رادیکال به توان عبارت زیر را ساده می‌کنیم.

$$\large \dfrac{\sqrt[^3\;]{2^4}\times \sqrt[^2\;\;]{4^3}}{\sqrt[^3\;]{8^4}}=\dfrac{2^{\tfrac{4}{3}}\times 4^{\tfrac{3}{2}}}{8^{\tfrac{4}{3}}}=\\ \large (\dfrac{2}{8})^{\tfrac{4}{3}}\times 4^{\tfrac{3}{2}}=(\dfrac{1}{4})^{\tfrac{4}{3}}\times (2^2)^{\tfrac{3}{2}}=\dfrac{1}{4^{(\tfrac{4}{3})}}2^{(\tfrac{6}{2})}= \\ \large \dfrac{2^3}{4\times 4^{(\tfrac{1}{3})}}=\dfrac{2^3}{4\times \sqrt[3]{4}}=\dfrac{2}{\sqrt[3]{4}}=\\ \large 2\times 4^({-\tfrac{1}{3}})=2\times 2^{(-\frac{2}{3})}=2^{(1-\tfrac{2}{3})}=2^{\tfrac{1}{3}}$$

از آنجایی که تمایل داریم که مخرج کسرها به صورت گویا نوشته شوند، خط آخر را در ادامه محاسباتمان اضافه کرده‌ایم.

مثال 5

رابطه زیر را براساس قواعد ضرب و تقسیم برای جمله‌های توان‌دار، ساده می‌کنیم.

$$\large \dfrac{2\sqrt{2}\times 3\sqrt[5]{3}\times 5 \sqrt[3]{4}}{5\times \sqrt[3]{8}\times 10 \times \sqrt[5]{5}}=\dfrac{6}{10}\dfrac{2^{\tfrac{1}{2}}\times 3^{\tfrac{1}{5}}\times 4^{\tfrac{1}{3}}}{8^{\tfrac{1}{3}}\times 5^{\tfrac{1}{5}}}=\dfrac{3}{5}(2)^{\tfrac{1}{2}}\times (\dfrac{3}{5})^{\tfrac{1}{5}}\times (\dfrac{4}{8})^{\tfrac{1}{3}}=\\ \large
\dfrac{3}{5}(2)^{\tfrac{1}{2}}\times (\dfrac{3}{5})^{\tfrac{1}{5}}\times (\dfrac{1}{2^{\tfrac{1}{3}}})=\dfrac{3}{5}(\dfrac{3}{5})^{\tfrac{1}{5}}\times \dfrac{2^{\tfrac{1}{2}}}{2^{\tfrac{1}{3}}}=(\dfrac{3}{5})^{(1+\frac{1}{5})}\times 2^{ (\frac{1}{2}-\frac{1}{3})}=\\ \large  (\dfrac{3}{5})^{(\frac{6}{5})}\times 2^{ (\frac{1}{6})}= \sqrt[^5\;]{(\tfrac{3}{5}})^6 \times \sqrt[6]{2}= \dfrac{3}{5}\sqrt[^5\;]{(\tfrac{3}{5}}) \times \sqrt[6]{2}=\\ \large \dfrac{3}{5}\sqrt[^5\;]\frac{3\times 5^4}{5\times 5^4}\times \sqrt[6]{2}=\dfrac{3}{25}\sqrt[^5\;]{3\times 5^4}\times\sqrt[6]{2}$$

از آنجایی که تمایل داریم که مخرج کسرها به صورت گویا نوشته شوند، خط آخر را در ادامه محاسباتمان اضافه کرده‌ایم.

ریشه زوج اعداد

فرض کنید رابطه $$a^2=c$$ برقرار است. در نتیجه می‌توان با گرفتن ریشه دوم از دو طرف این معادله را برحسب c حل کرد. بنابراین خواهیم داشت:

$$\large  a^2=c \rightarrow a=\pm \sqrt{c},$$

زیرا با ضرب $$-\sqrt{c}$$ در خودش به a خواهیم رسید. همچنین $$\sqrt{c}\times \sqrt{c}= a $$.

آزمون اعداد رادیکالی

در این قسمت به منظور درک بهتر اعداد رادیکالی و محاسبات مربوط به آن‌ها، تعدادی پرسش چهار گزینه‌ای به صورت آزمون تهیه شده است.