آزمون مقایسه سری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

۳۷۴۰ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۹ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۴۵ دقیقه
آزمون مقایسه سری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس درباره سری‌ها، مباحثی مانند سری توانی، را معرفی کردیم. همچنین با همگرایی سری‌ها و کاربردهای آن‌ها در حل معادلات دیفرانسیل آشنا شدیم. همگرایی یا واگرایی سری، با استفاده از شرایط کافی اثبات می‌شود. آزمون مقایسه سری و آزمون مقایسه حدی آن که در این آموزش آن‌ها را بیان می‌کنیم، شرایط کافی همگرایی یا واگرایی سری‌ها هستند.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

آزمون مقایسه سری

سری‌های $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} $$ و $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} $$ را در نظر بگیرید که در آن‌ها رابطه $$ 0 \lt {a_n} \le {b_n} $$ برای همه $$n$$ها برقرار است.

آزمون‌های مقایسه به‌صورت زیر بیان می‌شوند:

  • اگر سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} $$ همگرا باشد، آن‌گاه $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} $$ نیز همگرا خواهد بود.
  • اگر سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} $$ واگرا باشد، آن‌گاه $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} $$ نیز واگرا خواهد بود.

آزمون مقایسه حدی

سری‌های $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} $$ و $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} $$ را در نظر بگیرید که در آن‌ها $$a_n$$ و $$b_n$$ برای همه $$n$$ها مثبت هستند. آزمون‌های مقایسه حدی به‌صورت زیر بیان می‌شوند:

  • اگر $$ 0 \lt \lim\limits_{n \to \infty } {\large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize} \lt \infty $$، آن‌گاه $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} $$ و $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} $$ هر دو همگرا یا واگرا هستند.
  • اگر $$ \lim\limits_{n \to \infty } {\large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize} = 0 $$، آن‌گاه همگرایی $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} $$ همگرایی سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} $$ را نتیجه می‌دهد.
  • اگر $$ \lim\limits_{n \to \infty } {\large\frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\normalsize} = \infty $$، آن‌گاه واگرایی $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} $$، واگرایی سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} $$ را نتیجه می‌دهد.

سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^p}}}\normalsize} $$ که سری $$p$$ نام دارد، برای $$ p \gt 1$$ همگرا و برای $$ 0 \lt p \le 1 $$ واگرا می‌شود.

مثال‌ها

در ادامه، چند مثال از کاربرد آزمون‌های مقایسه را در تعیین همگرایی سری‌ها بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

همگرایی یا واگرایی سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{{e^{\frac{1}{n}}}}}{{{n^2}}}\normalsize} $$ را تعیین کنید.

حل: همان‌طور که می‌دانیم، $$ {e^{\large\frac{1}{n}\normalsize}} \le e $$ است. با استفاده از آزمون مقایسه داریم:

$$ \large {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{e^{\large\frac{1}{n}\normalsize}}}}{{{n^2}}}} }
\le {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{e}{{{n^2}}}} }
= {e\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} .} $$

از آن‌جایی که سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^2}}}\normalsize} $$ مانند یک سری $$p$$ با توان $$p=2$$ همگرا است، سری اصلی نیز همگرا است.

مثال ۲

همگرایی یا واگرایی سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{{n^2} – 1}}{{{n^4}}}\normalsize} $$ را تعیین کنید.

حل: از آزمون مقایسه استفاده می‌کنیم. همان‌طور که می‌دانیم، رابطه $$ {\large\frac{{{n^2} – 1}}{{{n^4}}}\normalsize}<{\large\frac{{{n^2}}}{{{n^4}}}\normalsize}= {\large\frac{1}{{{n^2}}}\normalsize} $$ برای همه $$n$$های صحیح مثبت برقرار است. از آن‌جایی که $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^2}}}\normalsize} $$ یک سری $$p$$ با $$ p = 2 \gt 1 $$ است، همگرا می‌شود. در نتیجه، سری داده‌شده همگرا است.

مثال ۳

همگرایی یا واگرایی سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{{n^2}}}{{{n^3} – 3}}\normalsize} $$ را تعیین کنید.

حل: از آزمون مقایسه استفاده می‌کنیم. همان‌طور که می‌دانیم، رابطه $$ {n^3} – 3 \lt {n^3} $$ برای همه $$n$$های صحیح برقرار است.بنابراین، داریم:

$$ \large {\frac{1}{{{n^3} – 3}} \gt \frac{1}{{{n^3}}},\;\;}\Rightarrow
{{\frac{{{n^2}}}{{{n^3} – 3}} }\gt{ \frac{{{n^2}}}{{{n^3}}} }={ \frac{1}{n}.}} $$

از آنجایی که $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{n}\normalsize} $$ یک سری هارمونیک است، واگرا می‌شود. بنابراین، سری داده‌شده نیز با استفاده از آزمون مقایسه واگرا خواهد بود.

مثال ۴

همگرایی یا واگرایی سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{3n – 1}}{{2{n^3} – 4n + 5}}\normalsize} $$ را تعیین کنید.

حل: از آزمون مقایسه استفاده می‌کنیم. همگرایی سری فوق را با همگرایی سری $$p$$ دیگر $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^2}}}\normalsize} $$ مقایسه می‌کنیم. در نتیجه، داریم:

$$ \large {L = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{3n – 1}}{{2{n^3} – 4n + 5}}}}{{\frac{1}{{{n^2}}}}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\left( {3n – 1} \right){n^2}}}{{2{n^3} – 4n + 5}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{3{n^3} – {n^2}}}{{2{n^3} – 4n + 5}}.} $$

حاصل تقسیم صورت و مخرج بر $$n^3$$ برابر است با:

$$ \large \require{cancel}
{L }={ \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{3\cancel{n^3}}}{{\cancel{n^3}}} – \frac{{{n^2}}}{{{n^3}}}}}{{\frac{{2\cancel{n^3}}}{{\cancel{n^3}}} – \frac{{4n}}{{{n^3}}} + \frac{5}{{{n^3}}}}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{3 – \frac{1}{n}}}{{2 – \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{5}{{{n^3}}}}} }={ \frac{3}{2}.} $$

بنابراین، با توجه به آزمون مقایسه حدی، سری همگرا خواهد بود.

مثال ۵

همگرایی یا واگرایی سری $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{\sqrt n }}{{2{n^2} + n + 5}}\normalsize} $$ را تعیین کنید.

حل: این سری را با سری همگرای $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^{\frac{3}{2}}}}}\normalsize} $$ مقایسه می‌کنیم. در نتیجه، خواهیم داشت:

 $$ \large {L = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{\sqrt n }}{{2{n^2} + n + 5}}}}{{\frac{1}{{{n^{\frac{3}{2}}}}}}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt n \cdot {n^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{{2{n^2} + n + 5}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^2}}}{{2{n^2} + n + 5}} } \\ \large
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{\cancel{n^2}}}{{\cancel{n^2}}}}}{{\frac{{2\cancel{n^2}}}{{\cancel{n^2}}} + \frac{n}{{{n^2}}} + \frac{5}{{{n^2}}}}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{2 + \frac{1}{n} + \frac{5}{{{n^2}}}}} }={ \frac{1}{2}.} $$

بنابراین، با استفاده از آزمون مقایسه حدی می‌توان گفت سری ‌داده‌شده همگرا است.

مثال ۶

همگرایی یا واگرایی سری $$ \sum\limits_{n = 4}^\infty {\large\frac{n}{{{n^2} – 2n – 3}}\normalsize} $$ را تعیین کنید.

حل: از آزمون مقایسه حدی کمک می‌گیریم و سری را با سری هارمونیک واگرای $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{n}\normalsize} $$ مقایسه می‌کنیم. برای محاسبه حد، صورت و مخرج را بر $$ n ^2$$ تقسیم می‌کنیم. در نتیجه داریم:

$$ \large {L = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{n}{{{n^2} – 2n – 3}}}}{{\frac{1}{n}}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^2}}}{{{n^2} – 2n – 3}} } \\ \large
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{\cancel{n^2}}}{{\cancel{n^2}}}}}{{\frac{{\cancel{n^2}}}{{\cancel{n^2}}} – \frac{{2n}}{{{n^2}}} – \frac{3}{{{n^2}}}}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{1 – \frac{2}{n} – \frac{3}{{{n^2}}}}} }={ 1.} $$

بنابراین، با توجه به آزمون مقایسه حدی، سری واگرا است.

مثال ۷

همگرایی یا واگرایی سری زیر را تعیین کنید.

$$ \large {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{2\sqrt 3 }} }+{ \frac{1}{{3\sqrt 4 }} + \ldots }+{ \frac{1}{{n\sqrt {n + 1} }} + \ldots } $$

حل: از آزمون مقایسه حدی کمک می‌گیریم و سری را با سری $$p$$ تعیین‌شده $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{{{n^{\frac{3}{2}}}}}\normalsize}  $$ مقایسه می‌کنیم. حد به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large {L = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{n\sqrt {n + 1} }}}}{{\frac{1}{{{n^{\frac{3}{2}}}}}}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\cancel{n}\sqrt n }}{{\cancel{n}\sqrt {n + 1} }} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} }} } \\ \large
= {\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{n}{{n + 1}}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{{\frac{\cancel{n}}{\cancel{n}}}}{{\frac{\cancel{n}}{\cancel{n}} + \frac{1}{n}}}} }
= {\lim\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{1}{{1 + \frac{1}{n}}}} }={ 1.} $$

بنابراین، از آزمون مقایسه حدی نتیجه می‌گیریم که سری اصلی همگرا است.

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

فیلم‌ های آموزش آزمون مقایسه سری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فیلم آموزشی آزمون مقایسه سری

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی آزمون مقایسه حدی

دانلود ویدیو
بر اساس رای ۲۸ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math24
۲ دیدگاه برای «آزمون مقایسه سری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)»

بشدت عالی بود، واقعا نمیتونم فکر کنم چطور باید bn رو بسازم “((((((

استاد زندی بی نهایت ممنونم
عمیق و حرفه ای بیان میکنید مطالب را چنان که زیبنده یک استاد و معلم حرفه ای هست.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *